常微分方程模拟试题

1、常微分方程模拟试题一、填空题(每小题3分，本题共15分)1一阶微分方程的通解的图像是2维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解y“(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是方程y -2y、y = 0的基本解组是个不可延展解的存在在区间一定是 方程 矽一 y2的常数解是 dx、单项选择题(每小题3分，本题共15分)6 .方程 ¥ = x_3 y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( (A)上半平面5.(B)xoy平面7.方程= y 1 ()奇解.dx(A)有一个区间.)(C)下半平面(C)无(D)(B)有两个8. f (y)连续可微是保证方程 矽二f (y)解存在

2、且唯一的( dx(A )必要(B)充分9 .二阶线性非齐次微分方程的所有解(A )构成一个2维线性空间(C)不能构成一个线性空间dy I10.方程 3y过点(0, 0)有(dx(D)除y轴外的全平面有无数个)条件.(C) 充分必要).(B)构成一个3维线性空间(D) 构成一个无限维线性空间(D)必要非充分B ).(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解三、计算题(每小题6分，本题共 30分)求下列方程的通解或通积分：直=y In ydx1(y)2 上dxx x(D)只有三个解11.12.13.14.dxdy5y xydx222xydx (x - y )dy 二 0y =xy 2( y)3

3、15.四、计算题(每小题10分，本题共20分) 16求方程y”-5y、-5x2的通解.17.求下列方程组的通解.Jy+丄dt si nt取一xdt五、证明题(每小题10分，本题共20分)18设f(x)在0,，：)上连续，且lim f(x)=0，求证：方程dy f(x)dx的一切解 y(x)，均有 lim y(x) =0 x_bc19.在方程 y p(x)y q(x)y = 0 中，p(x), q(x)在(心，：)上连续，求证：若 p(x) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(：，：)上的严格单调函数.常微分方程模拟试题参考答案一、填空题(每小题3分，本题共15分)1 .

4、22 线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)XX亠/3. e , xe4 .开5. y=：1二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)6. D7. C8. B 9. C 10. A三、计算题(每小题6分，本题共 30分)11.解：y=1为常数解(1 分)当y = 0，y 1时，分离变量取不定积分，得（3 分）（6分）dx Cyl ny '通积分为In y 二 Cex注：y=1包含在常数解中，当 c=0时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。13.解:方程两端同乘以y，得dy-4y xdx-5 y（1 分）x取(x。，y。)=(0, 0)，原方程的通积分为（4分）xy 202xydx

5、 - 0 y dy 二 C计算得213x y y 二 c315. 解： 原方程是克莱洛方程，通解为3y = Cx 2C四、计算题（每小题10分，本题共20分）16. 解： 对应齐次方程的特征方程为2 - 5 = 0 ,特征根为.1 = 0 , /. 2 5 , 齐次方程的通解为5 xy=GC2e因为=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2yx） = x（ Ax Bx C）代入原方程，比较系数确定出A=】，B3原方程的通解为5x 1 y 二 G C2ex31x2x52517.解：齐次方程的特征方程为特征根为 - _i求得特征向量为因此齐次方程的通解为!；W令非齐次方程特解为二 C1 (t)co

6、stsi nt.sint I9爲G (t)G (t)满足costJ -sin t解得sintC1 (t) costjC2 (t)_丄sin t-0 一" cost "C1 (t), C2 (t) = 1sin t积分，得C,t) =ln sint， C2(t) =t（6分）（6分）（1 分）（2分）（4分）（6分）（9分）（10 分）（1 分）（2 分）（3 分）（4分）（5分）（6分）（8 分）（9分）通解为"si ntcost l n sin t|+ts int十C2 I十I11'cost-sint In sint+tcostxLcco茁y匚 si n

7、t 一五、证明题(每小题10分，本题共20分)18.证明_y设y = y(x)是方程任一解，满足 y(x°)= y°，该解的表达式为X f (s)e(s0)dsx0y(x)二書e(S-Xo)取极限lim -x_):f(s)e(5ds0X,0,若f(s)e(s*)ds ： X0''19.证明基行列式在(一匚斗-=0x叭二设yi(x)， y2(x)是方程的基本解组，则对任意(-：，：)，)上有定义，且 W(x) =0 .又由刘维尔公式W(x) =W(x0)e x0f(x)e(j0,若 f (s)e(s_x)ds 二:-x0p(s)ds0，X。，(：，r)W(x) =W(x0)ep(s)ds0