小高奥数几何三角形五大模型及例题解析

1、三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;如右图Si :S2 a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACD Sx BCD ； 反之，如果Saacd Sabcd，则可知直线AB平行于CD . 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边

2、形底相等，面积比等 于它们的高之比.、等分点结论（“鸟头定理”）2 11 如图，三角形AED占三角形ABC面积的X -=-346三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) Si : S=S : S3 或者 Si X S3=SX S4AO： OC=(Si+S)：( S+S)梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) Si : S=a ： b S : S3: S : S= a : b: ab : ab ; S的对应份数为(a+b) 2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1) 相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2) 判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似;两个三角

3、形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相abchABCHSi :S=a2:A2SA ABGSAAGG SA BGESA GEC= BE:ECSA BGASA BGG SA AGFSA GFC= AF:FC;SA AGCSA BCG= SA ADGSA DGG ADDB模型五：燕尾定理【重点难点解析】1模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1.三角形面积等高成比2.“鸟头定理”3.“蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级探）如图，长方形ABCD勺面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H 为AD

4、边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级沁如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.【例3】（难度等级沁如图，在三角形 ABC中, BC=8厘米，AD=6厘米，E、F为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方【例4】（难度等级探） 如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是 AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面积之和。【例5】（难度等级探）如右图BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几ADE C证明【例6】（难度等级沁如图所示，四

5、边形 ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你它们的面积相等.【例7】（难度等级沁如图，在长方形 ABCD中, Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面积.【例8】（难度等级探）ECH的面如图，正方形ABCD勺边长为4厘米，EF和BC平行, 积是7平方厘米，求EG的长。【例10】（难度等级探） 如图已知四边形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形影三角形BFD的面积为多少平方厘米？【例11】（难度等级探）如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为12，23, 32,则图中阴影部分的面积为？ABCD勺边长为10厘米，那么图中阴【例12】（难

6、度等级如图，平行四边形 ABCD周长为75厘米，以BC 底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。 平行四边形ABCD勺面积。为求【例13】（难度等级如右图，正方形ABCD勺边长为6厘米， ABE ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.【例14】（难度等级FB如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分,BD=DC=4BE=3 AE=6甲部分面积是乙部分面积的几分之几【例15】（难度等级 某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线AC BD分成四个部分， AOB面积为1平方千米， BOC面积为2平方千米， COD勺面积为3平 公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工

7、湖的面积是 方千米B方千米，多少平【例16】（难度等级探） 图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米【作业】形1. 如图，三角形 ABC中，DC 2BD , CE 3AE，三角ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少2. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有 块面积分别是13, 35, 49.那么图中阴影部分的面积是 少3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边厘米，求三角形ABC的面积。4. 女口图，平行四边形 ABCD BE=AB CF=2CB GD=3DC HA=4AD平行四边形 ABCD勺HBEAFAFFB面积是2,求平行

8、四边形ABC与四边形EFGH积比.15. 如图，在 ABC中，延长 BD=AB CE= BC，2F是AC的中点，若 ABC的面积是2,则厶DEF的面积是多少【例1】（难度等级探） 如图，长方形ABCD勺面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCDi上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.半,【分析与解】如右图，连接BH HC，由E、F、G分别为ABCD三边的中点有 AE=EB BF=FC CG=CD因此S1=S2, S3=S4, S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一即阴影部分面积为2

9、8.的长【例2】（难度等级沁如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.【分析与解】上排4个阴影三角形的高都等于 BF,底边之和恰好为AB,他们的面积之和为-BF AB ;2下排4个三角形的高都等于CF,底边之和恰好为CD他们的面积221 BFAB1CFAB1BC2221 1之和为一 CF CD CF AB所以阴影部分面积为：1AB 3 4 6（平方厘米）.2分别厘米【例3】（难度等级沁如图，在三角形 ABC中, BC=8厘米，AD=6厘米，E、F为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方【分析与解】1S ABC .又E是21首

10、先 ，S ABC平方厘米，而F是AC中点，所以S ABF21 1AB中点，所以 S EBF 二 S ABF S ABC6平方厘米.2 4【例4】（难度等级探） 如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是 AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面积之和。【分析与解】连接DE,于是三角形AEF的面积=三角形EFD的面积，所求被转化为三角形 EDC勺面积。 因为F是AD中点，所以三角形AEC的面积和三角形EDC勺面积相等，设S BDE为1份,贝U S AEC=S EDC为3份因止匕S ABC-共7份，1 3每份面积为丄 所以S EDC占 3份为-。77【例5】（

11、难度等级 如右图BE= BC CD= AC,那么三角形AED的面积是三角形 ABC面积的几分之几【分析与解】上图中，三角形 AEC与三角形ABC的高相等，而BE= BC,于是EC= BC，基 2SABC 3 21所以，三角形AED的面积=-X三角形AEC的面积=-X X三角形ABC的面积=1又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=- AC,于是4AD=3AC,Saed -4X三角形ABC的面积【例6】（难度等级沁如图所示，四边形ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.AEC 4 3【分析与解】连接BE显然有 SABE2Sabcd，sabeSaeGF2所以Sabcd

12、Saegf【分析与解】【例7】（难度等级沁如图，在长方形 ABCD中, 丫是BD的中点, 求三角形ZCY的面积.【分析与解】Sabcd AB BC 192平方厘米Z是DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,的面积的边长为因为丫是BD中点，Z是DY中点，所以【例8】（难度等级探） 如图，正方形ABCD勺边长为4厘米，EF和BC平行，ECH A 是7平方厘米，求EG的长。E【分析与解】1 1丄 X EGX AE +1 X EGX EB = 7 平方厘米 22即1 X EGX AB=7平方厘米；EG=3.5厘米2【例10】（难度等级BFD的面积为多少平方厘米？匸-*_如图已知四边形 ABCD

13、和CEFG都是正方形，且正方形 ABCD 10厘米，那么图中阴影三角形【分析与解】连接CF由ABC环口 CEFG都是正方形有 BDC DCF 45 所以BD PCF .等高由平行线间距离相等知三角形 BDF和三角形BDC同底所以S BFDS BCDSabcd250【例11】（难度等级如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12, 23, 32,则图中阴影部分的面积为？【分析与解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以x=23+32+12x=67.【例12】（难度等级探） 如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16 厘米。求平行四

14、边形 ABCD勺面积。BCX 14=CDK 16, BC CD=16 14,757516BC+CD75 , BC=75 X 16=202 216 14ABCD面积=14X 20=280 （平方厘米）【例13】（难度等级如右图，正方形ABCD勺边长为6厘米， ABE ADF与四边形AECF勺面积彼此相等，求以四边形三分之一,三角形AEF的面积.【分析与解】因为 ABE ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所AECF的面积与 ABE ADF的面积都等于正方形面积的也就是:在厶ABE中，因为 AB= 6.所以BE= 4,同理DF= 4,因此CE= CF= 2, ECF的面积为 2X 2-2= 2.

15、所以AEF S四边形AECF SA E（F =丄S甲 S ABC S ABC , S乙 S ABC S甲 3 26 2 = 10 （平方厘米）【例14】（难度等级探）BD=DC=4如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分,BE=3 AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几【分析与解】1由 BD DC BD=DC有 BD -BC ;由 BE 213，AE 6，有BE 3AB.由鸟头定理有 6Sabc，故 %【例15】（难度等级某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线AC BD分成四个 部AD COD求人分， AOB面积为1平方千米， BOC®积为2平方千米, 的面积为3平方

16、千米，公园陆地的面积是6.92平方千米, 工湖的面积是多少平方千米【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有S AOB ScOD S AOD S boc所以Saod 13 21.5平方千米，故公园总面积为1 3 2 1.5 7.5平方千米，人工湖面积为7.5 6.92 0.58平方千米【例16】（难度等级图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部 面积是多少平方厘米？【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BGx，则 ABF的面积为3x，设厶AEG的面积为x，显然 EBG BFG FCG的面积均为1100Sabf - 20 10 100即x ，那么正方形内空白部分的面2 34004x3所以原题中阴影部分面积为20 20 400800 （平方厘米）3 3有三块【作业】1.如图，三角形ABC中，DC 2BD