导数与积分的概念及运算导数的实际应用

1、高考专题训练四导数与积分的概念及运算、导数的应用班级 姓名 时间：45分钟 分值：75分 总得分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出 的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上.1. （2011全国）曲线y= e2x + 1在点（0,2）处的切线与直线y= 0和y= x围成的三角形的面积为（）A3C2C.3D . 1解析：丫 =-2e-2x, y |x=0=-2,在点(0,2)处的切线为：y 2=-2x,即 2x+y 2= 0y = x由2x+ y 2= 02x=3 得 c2 2)，Ag，3丿,S 1ABO2 1=2§=3.y=2答案：A2. (201

2、1辽宁)函数f(x)的定义域为 R, f( 1)= 2,对任意 x R,B. ( 1,+x )f' (x)>2，则 f(x)>2x + 4 的解集为()A. ( 1,1)C.(汽一1)D . ( x,+x )解析：f(x)>2x + 4,即 f(x) 2x 4>0.构造 F(x) = f(x) 2x 4, F ' (x) = f (x) 2>0.F(x)在 R 上为增函数，而 F( 1) = f( 1) 2x( 1) 4 = 0xq 1,+ 乂), F(x)>F( 1),/x> 1.答案：B3. (2011烟台市高三年级诊断性检测 股a

3、=1(sinx + cosc)dx，则(aVx 丿0的二项展开式中含x2的系数是()B.佃2A. 192C. 96D . 96解析：因为 a= '"(sinx + cos()dx=( cosc + sinx)l o = 丿0(cos + sin ) ( coSO + sin0)= 2,所以走)2五-±6,贝何知其通项 Tr +1 = (- 1)rC626-rx6yr2 =( - i)rc626- rx3-r，令3- r = 2? r = 1,所以展开式中含x2项的系数是(-1)rC626-r=( 1)1C1126-1 =-佃2,故答案选 B.答案：B174. (20

4、11山东省高考调研卷)已知函数f(x) = QX3 x2-QX,则f( a2)与f(4)的大小关系为()A. f(-a2)<f(4)B. f(-a2)vf(4)C. f(-a2)>f(4)D. f( - a2)与f(4)的大小关系不确定 7解析：/f(x) = QX3 x2-十，二 f (x) = QX2- 2x- 217由 f' (x) = 2(3x- 7)(x + 1)= 0得 x=- 1 或 x=3.当xv -1时，f(x)为增函数；当一1<x<7时，f(x)为减函数；当x>3时，f(x)为增函数,计算可得f(-1) = f(4)= 2,又一a2&l

5、t;0,由图象可知f( - a2) < f(4).答案：A5. (2011山东省高考调研卷)已知函数f(x) = x3 + bx2-3x+ 1(b R)在x=Xi和x= X2(X1>X2)处都取得极值，且Xi X2= 2,则下列说法正确的是()A. f(x)在x=Xi处取极小值，在x=X2处取极小值B. f(x)在 x=Xi处取极小值，在x=X2处取极大值C. f(x)在 x=Xi处取极大值，在x=X2处取极小值D. f(x)在 x=Xi处取极大值，在x=X2处取极大值解析：因为 f(x) = x3+ bX2 3x+i,所以 f' (x) = 3x2 + 2bx 3,由题意

6、可知 f' (xi) = 0, f' (X2)= 0,即 xi, X2为方程 3x2+ 2bx 3= 0 的两根，所Xi- X2 =2+ x2 4xix2 =,4b2 + 363,由 Xi X2= 2,得 b= 0从而 f(x)=x3 3x+ i, f' (x) = 3x2 3 = 3(x + i)(x i),由于 Xi>X2，所以 Xi = i, X2=i,当xq , i)时，f' (x)>0，所以f(x)在xi= i处取极小值，极 小值为f(i)= i,在X2= i处取极大值，极大值为f( i) = 3.答案：Bn6. (20ii合肥市高三第三次

7、教学质量检测)对任意xi, X2 (0, ?), X2>xi,i + sinxii+ sinx?yi=x , y2=x ，则()xix2A. yi= y2B. yi>y2C. yi<y2D. y1, y2的大小关系不能确定1 + sinxxcosc sinx 1解析:x2设 f(x)=，则 f (x)=coscx tanx 1n=孑当 xqo, 2)时，xtanxvO，故 f (x)<0，所以 f(x)在(0，n)上是减函数，故由X2>xi得y2<yi答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.7. (2011广东)函数f(

8、x) = x3 3x2 + 1在x= 取得极小值.解析：由 F (x) = 3x2 6x= 3x(x 2)= 0,解得 x1 = 0, x2 = 2当 x<0 时，f(x)>0，当 0<x<2 时，f(x)<0，当 x>2 时，f(x)>0.当乂= 2 时，f(x)有极小值是 f(2)= 23 3X 22+ 1= 3.答案：2一一 一 28. (2011潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列an的首项为§,且a4= 14(1 + 2x)dx，则公比等于.丿12 解析：4(1 + 2x)dx= (x+ x2)|4 = (4 + 16) (1

9、+1) = 18,即 a4= 18=3 q3 丿1 3? q = 3.答案：39. (2009山东省高考调研卷)已知函数f(x) = 3x2 + 2x+1,若1f(x)dx 丿-1=2f(a)成立，则 a=.解析：因为 1 f(x)dx= 1 (3x2 + 2x+ 1)dx= (x3 + x2 + x)|1-1 = 4,所以冷 -112(3a2 + 2a+1) = 4? a=- 1 或 a= 1.答案：一1或1110. (2009 山东省高考调研卷)曲线y= x + 2x+2e2x,直线x= 1, x=e和x轴所围成的区域的面积是.解析：e(2+ 2x+ 2e2x)dx= dx + e2xdx

10、 + e2e2xdx= lnx|e+ x2|e + e2x|11 1 1 12e=e答案：e2e三、解答题：本大题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.x11. (12 分)(2011 北京)已知函数 f(x)= (x- k)2e k(1) 求f(x)的单调区间；1(2) 若对于任意的x (0,+乂)，都有f(x)；,求k的取值范围.x解：(1)厂(x) = 1(x2 k2) e k令 f' (x) = 0,得 x= ±k当k>0时，f(x)与 f' (x)的情况如下:x(一 x, k)k(k, k)k(k,)F (x)+0一0+f(x)

11、4k2e10所以，f(x)的单调递增区间是(一=,k), (k，+乂);单调递减区间是(k, k).当k<0时，f(x)与 f' (x)的情况如下:x(汽 k)k(k, k)k(k，+*)f(X)一0+0一f(x)04k2e一1所以，f(x)的单调递减区间是(一乂，k), ( k,+=);单调递增区间是(k, k).k+11(2)当 k>0 时，因为 f(k + 1)= e k >e，所以不会有？ x (0,+乂),1f(x)< e k2当k<0时，由(1)知f(x)在(0,+乂)上的最大值是f( k)=14k211所以？ x (0,+x), f(x) &

12、lt; 等价于 f( k) = 4 < ;解得一k<0.1 - 1故当？ x (0,+), f(x)<e时，k的取值范围是一2, 0ainx b12. (13分)(2011课标)已知函数f(x) = x+1 + x，曲线y= f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+ 2y 3= 0(1) 求a, b的值；inx k(2) 如果当x>0,且xm 1时，f(x)>+ x，求k的取值范围.x 1 x解：(1)f (x) =/ 、1 + x a inx< x丿2(X+1)x2.1由于直线x+ 2y3= 0的斜率为Q,且过点(1,1),f 1 = 1,b= 1,故

13、1 ，即a1if(1)=2& b= 2解得 a= 1, b= 1.inx 1(2)由(1)知 f(x) =+，所以x+1 xf(x)inx送111 x22inx+2 、(k 1Xx 1)x 丿考虑函数h(x)= 2inx +k 1 x2 1x (x>0),(k惦 +h (x)>0而 h(1)= 0,故当 xE1,)+ 2x则 h (x)=-22 2k(x +1)( x 1)(i )设 k<0,则 h(x)=x2知，当 XM 1 时，h(x)vo,1而 h(1) = 0,故当 x (0,1)时，h(x)>0，可得 2h(x)>0;1 x1当 x (1,+x)时，h(x)<0,可得 ;h(x)>0.1 x从而当x>0,且xm 1时，f(x) lnx込一1k'+ x >0,即卩 f(x)>In