圆锥曲线题型及方法.

1、黄冈立传教育导学案高二数学导学案学生:课题 名称圆锥曲线复习时间2012年1 1月曰 第课时课型复习课课时6主备人张思藤审核人教学目标：掌握圆锥曲线和其它知识点交汇综合性问题的解题技巧。将圆锥曲线知识 系统化，形成问题规律化。教学重点:椭圆的定义、标准方程、椭圆的简单儿何性质及应用等知识，主要考查概念、 基本量求解、求曲线方程、求参数范圉问题等儿类高考中常出现的问题主要解题策略:运用第一定义，笫二定义进行突破；构造含参数的不等式，通过解 不等式求参数范围；与直线有关的问题经常通过消元，得到一个一元二次方程,再利用 韦达定理进行变形求解;充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷,因此在 解

2、题时要提高运用曲线的定义及图形的儿何特征的意识体现主要数学思想有：化归 与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.应注意的问题是 对直线斜率是否存在的讨论，应用定义时是否符合要求等.（一）考查概念2例1 （2009,全国）已知椭圆C:- + r = 1的右焦点为F,右准线为/，点Ae/,线段AF交C于点B ,若用=3丽，则丨乔1二（）Ao x/2 B.2 C. y/3 D 3解析：过点方作丄/于M并设右准线/与轴的交点为A；易知FA-=1.由题意 FA = 3FBflBM =-3又由椭圆的第二泄义，得I BF !=- = 2 33最新资料推荐/.I AF 1= y/2 故选

3、A.归纳小结:本题充分挖掘图形的几何性质，应用椭圆的第二泄义解决问题.X2 y2例2椭圆+ = 1的焦点为片，&,点P为其上的动点，当ZFfF?为钝角时，点P横坐 标的取值范围是.分析:欲求点P横坐标的取值范用，需要建立关于卞的不等式，从不同的知识点切入就得 到不同的解法.解法1：（两个泄义相结合）由条件可知，。=3, b = 2,所以c =书,e = - = .a 3根据椭圆的左义，I P斥1 + 1 P笃1=2。= 6,于是两边平方得可+可'+ 2引P可=36,又在化中，由余弦宦理得，cos6“紳:中旦.v0,2呵两|所以用+|P坊f v|朽笃=20将代入上式得,|P/=；

4、|-|P/s|8,设P的横坐标为由焦半径公式得(ci + ex0) (« ex0) > 8 > 所以 9二故< x0 <.解法2 :（与向量知识结合）因为ZF,PF2为钝角，所以两PF；0 设 P(% 儿)，由分析 1 可知，PF =(->/5-x0,-y0), PF2=(>/5-x-y0) 9所以(>/5 x0, yQ).(y/5 , y0) x +y02 5<0.2 2又P（%儿）在椭圆上，所以 普+严=1,.两式联立,消去儿，即得礙新资料推荐归纳小结:本题考查椭圆的龙义及余弦定理、向量、不等式等知识综合，因此应注意提髙综 合解决问

5、题的能力.例3( 2 0 0 9全国卷I【理)已知直线y = k(x+2)伙>0)与抛物线C:y2=8x相交于4、B两点,F为C的焦点，若FA=2FB.则斤=()A3解析:分析图形，利用三角形相似，再利用抛物线的龙义将问题转化，求岀直线上一点的坐标， 求得k的值.设抛物线C:/=8x的准线为/:x = -2.直线y = k(x+2)(£>0)恒过定点P(-2,0)如图 过人 3分别作4M丄/于M ,BN丄/于由 I 朋 1=21 FBI,则 IAMI=2IBVI,点 B 为 A P的中点连结 O B ,则 1031=丄1 AFI,1 (2).OB 1=1 BF.点B的横坐

6、标为1 .故点3的坐标为(1,22) /. k =,故选I).归纳小结:充分研究图形，结合抛物线的左义解决问题是解析几何重要方法.(二) 基本量求解2 2例4 ( 2 0 0 9,上海)已知片、化是椭圆C:二+二= l(d>b>0)的两个焦点，P为椭cr b-圆C上一点,且函丄两若F2的面积为9,则b二可+阳=2。解析:依题意，有 <j|Pf；|-|PF,| = 18,PF+PF=可得 4 c+ 3 6-4a，即 a'c"=9,故有 b=3.归纳小结:本题主要考查椭圆的立义、长轴、短轴、焦距之间的关系.属于基础知识、基本 运算的考査.2 2例5椭圆二+= 1

7、(" > > 0)的半焦距为c,若直线y = 2x与椭圆一个交点P的横坐CT 少标恰好为C ,则椭圆的离心率为()B。我3C. a/2-1 Do V3-12 2分析:求离心率关键是根据已知条件得到a、b. c的等量关系.若能充分利用图形的几何特 征及曲线的定义，可简化运算过程达到求解的目的.X" V"解法1:由题知点pg),因为点P在椭圆正+* “上,c2 4c2所以+ = 1,cr化简得b2c2+4a2c2 = a2b2,又因为F =a2-c2,所以(a2 -c2)c2 +4a2c2 =a2(a2-c2),化简得 C4 -6a2c2 +2=0,同除以

8、/得/-6e2+l = 0,解得护=3±2 =(返±1尸,因为0 vevl,所以e =故选C.t2解法2：由题知点P在椭圆上且横坐标为c,纵坐标为正数，所以点P的坐标为(G),又因 a为点P在直线y = 2x上，所以= 2c,a即 b2 = 2ac» 又因为b =a2 -c2,所以 c2+2ac-a2 =0,同除以/得e2+2e- = 0,解得e = -l±Q因为0 <e<l,所以e = y/2-f故选C.解法3:由题意可知点P坐标为（c,2c）,即PF21= 2c.所以PFF2为等腰直角三角形，所以IP/* 1= 2近c.由椭圆泄义IPFJ

9、 + IP巧1=2“，即 2 迈c + 2c = 2a ,归纳小结:本题三种解法各有特点，解法2、解法3充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解 法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的泄义及图形的几何特征的意识.X2 V2,例2（2 009山东理）设双曲线r - r = 1的一条渐近线与抛物线y = x2+只有一个公共点,则双曲线的离心率为（2 2 2 解析：双曲线亠-二=1的一条渐近线为y =由方程组 yA ,消去八 得a Zra?.所以=2 , e = = Jl + ()2 = >/5，故选 D.aa a a（三）最值问题例6已知抛物线y2 = 4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交

10、于ACwJBg,儿)两点，则 )f + y；的最小值是.解析：由于过点P(4,0)且与抛物线y2 = 4x相交的直线不能是x轴，故可设这条直线为x = my + 4(也e R),与抛物线方程联立，消去J,得y2 一4my-6 = 0,所以屮心产钿进而>?i2 + y22 = 5 + >*2)2 -2力为=16+ 32 n 32,当且仅当加=0,即直线与x轴垂 直时，+=32.归纳小结:本题并没有落入“设直线的斜率为将才+卅转化为£的函数，这个函数的最小 值”的俗套而是类比直线方程的斜截式，将这条直线设为x = my + 4(meR),如此处理，既不丢解 又简捷明快.2 2

11、例8(2006江西)P是双曲线=1的右支上一点，M , N分别是圆("5)2 + y2 = 4和916(x-5)2 + y2=l上的点，贝iJIPMI I/WI的最大值为()Ao 6B.7Co 8D.9解析：双曲线的两个焦点/ (-5,0)与竹(5,0)恰好是两圆的圆心，欲使IPMI-IP/VI的值最 大，当且仅当IPMI最大且IPNI最小，由平而几何性质知，点M在线段卩几的延长线上，点N是 线段PF?与圆的交点时所求的值最大。此时IPMI1阳1=(可+ 2)-(鬥1|)=州一月+ 3 = 9.因此选D.(四) 突出几何性质的考査例6 如图，已知圆0方程为，+于=ioo，点A的坐标为

12、(-6,0), M为圆O上任意一点，线段4M的垂直平分线交OM于点P ,则点P的轨迹方程为()Q4-16I25X2D呼2516A.C.716解析：由于|P4|+q =M|+|pq=io>6,所以，点p的轨迹是以q、o为焦点、以 10为长轴长的椭圆.因此选B.归纳总结:应用左义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过 程，给人以简捷、明快之感立义法是解析几何中求动点轨迹及其方程的重要方法之一.例7已知椭圆卩宁“的左右焦点分别柿、时过林的直线交椭圆于从。两点,过只的直线交椭圆于乩C两点，且AC丄BD,垂足为2(1)设尸点的坐标为(卞,儿)，证明：巫+卫1<1: 3

13、2(2 )求四边形切的而积的最小值.分析:因为AC丄BD于点P,又F2是两个立点，所以，点P在以线段FF?为直径的圆上,即尸点的坐标为(无,儿)满足兀+y： = 1，这样问题就转化为在此代数条件下求代数式巫+圧 32的取值范围的问题了.方法显然不唯一.由条件知ABCD是对角线互相垂直的四边形，那么，这样的四边形的而积怎样计算呢？由平 而几何易知,Sabcd=丄IACIJBDI.这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了，显然IACI,2IBDI的长由它们的斜率决左，这已是常规的解析几何问题了.解：(1)方法1:椭圆的半焦距c = y/32 = 1,由AC丄BD知点P在以线段斥F2为直径的圆上,故+ =

14、b方法2:由方法1知，丘+ £ = 1,即元=1一怎(2)( i)当3D的斜率R存在且R工0时，BD的方程为y = k(x +1),代入椭圆方程y+y = l,并化简得(3/ + 2)x2 +6k2x + 3k2-6 = 0.|BD| = 7(,-2)2+(>*->'2)2 =(1 + /).匕2+%2)24尤$2=辻g :打又由于直线AC与3D过同一点P,且相互垂直，同理可得,四边形ABCD的而枳为S = Smbc + S=-ACBP+-AC24伙 2+1)2、24伙 2+ 1)29655 r =(3“ +2)(22 +3) (3疋 + 2) + (2/+3)丁

15、 25当疋=1时，上式取等号.(ii)当3D的斜率£=0或斜率不存在时，四边形ABCD的而积5=4.96综上，四边形ABCD的面枳的最小值为一.25归纳小结:第一问实际上是证明点尸在椭圆的内部，这只需利用不等式进行放缩即得到结论, 或者，由点P满足的关系，消去变疑y0,得到关于仏的函数，求其取值范用即可;第二问把要解决 的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下"几何 问题代数化"的具体体现.(五) 轨迹问题Q)直接法：直接利用条件建立忑y之间的关系F(x, y) = 0 ；如已知动点P到定点F (1, 0)和直线x = 3的距

16、离之和等于4,求P的轨迹方程.(答：X = -12(x-4)(3<x<4)ny2 = 4x(0<x<3); 待定系数法:已知所求曲线的类型，求曲线方程一 一先根据条件设岀所求曲线的方程,再由条 件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M (m,O) (m > 0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴 为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为(答:y2 = 2x); 定义法：先根拯条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的左义直接写出动点的轨 迹方程；如由动点P向圆X2 + y2 = 1作两条切线PA、PB,切点分别为A、B, ZAPB=60

17、'则动点P 的轨迹方程为(答：/ +尸=4)：(2)点M与点F (4,0)的距离比它到直线/: 1+5 = 0的距离小于1,则点M的轨迹方程是 (答：F = 16x)：(3) 一动圆与两圆0M： x2 + y2 = 1和ON： x2 + y2 -8兀+ 12 =0都外切，则动圆圆心的 轨迹为(答:双曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x, y)依赖于另一动点0(无,儿)的变化而变化，并且0(心儿)又在 某已知曲线上，则可先用的代数式表示兀,儿，再将勺,儿代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线y = 2x2 +1上任一点，定点为A(0,-l)，点M分力所成的比为2,则N4的 轨迹

18、方程为(答：y = 6x2-l)：3 参数法:当动点Pgy)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程).如AB是圆0的直径，且AB二2a, M为圆上一动点，作MN丄AB,垂足为N ,在0M上取点P, 使 IOPITMNI,求点 P 的轨迹.(答：x2 + y2=ay):(2)若点P(X|,) |)在圆X2 +y2 =1上运动，则点(?(召儿,召+>*!)的轨迹方程是(答：y2 =2x + l(lxl< ):2 2例7 已知点片（心凡）为双曲线二-鼻=1（方为正常数）上任一点迅为双曲线的右焦点,8b b过

19、P、作右准线的垂线,垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2 求线段片P2的中点P的轨迹E的 方程.分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P是线段A巴的中点，可利用 相关点法.83v解:由已知得尺（3匕0）/（儿），则直线EA的方程为:y = _（3b）3 b令入=0得y = 9儿出卩人（0,9儿）3设P（上y）,则2代入金4£莎2W即P的轨迹E的方程为恭-希HgR）归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法.（六）求参数范围问题2 2例8（2008,福建）椭圆二+二=1 （a>b>0）的一个焦点是F（l.O）, O为坐标原点. a b（1）已知椭

20、圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F的直线/交椭圆于A.方两点.若直线/绕点尸任意转动，恒有 |OA|2 + |OB|2 <AB2,求a 的取值范围.分析:将儿何条件“椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形"转化为代 数等式，解之即得戻r/J,继而山椭圆参数之间的关系便可求出4；对于第（2）问，容易知道，当三点A.O.B不共线时，|OA| + |O3v |ABO cos AOB v0o OA OB <0 <=> xrv2 + yy2 < 0（设人3/）（厂丿2）由此可得关于""的不等式，再由b

21、2=a2-消去方，就得到关于d的不等式，解之即可.解：(I )设M,N为短轴的两个三等分点,因为AA/NF为正三角形，所以|OF| = £|MN|, 1 =解得223/=护+1 = 4,因此，椭圆方程为- + = 1.4 3(2)设 AU，©,") (i)当直线AB与兀重合时，|O4|2 +OB = 2a29AB =4a2(a2 > 1),因此，恒有+|OB <|AB|2.(ii)当直线AB不与x轴重合时，2 2设直线初的方程为A- = my + l(w e R),代入罕+缶=1,整理得(a2 +b2m2)y2 +2lrmy+ b2 -a2b2 =0,

22、所以2b2mb2 -a2b2a2+b2m29 '4 = /+必厂因为恒有+|O3 <|AB|2,所以ZAOB恒为钝角.即 oa oh =（%）,）i） （花*2）=州七 + yy2 < o 恒成立+ X y2 = （iny + l）（/ny2 +1） + 牙儿=（/ + 1）”儿 + 加（X + >2）+1（m2 +1）（庆-a2b2）2b2m2 t -m2a2b2 +b2-a2b2 +a2 n;； + 1 =；< 0 . cr +bnrcr +lmrcr +lmr乂/ +b2m2 >0,所以-m2a2b2 +b2 -a2b2 +a2 <0对rneR

23、恒成立,即 m2a2b2 > a2 +b2 -a2b2 对 m e R 恒成立，当 m eRW, m2a2b2 最小值为 0,所以+b2 -a2h2 <0, a2 <b2（a2 - ） = b因为“>0,/?>0,a<b2=a2->a2-a->0f解得土色或“<上点（舍去），即°>上空，2 2 2综合（i） （ii）,a的取值范围为（匕匕5,乜）.2归纳小结：主要考查直线、椭圆和不等式等基本知识，侧重考查椭圆与不等式交 汇问题，是对多个知识点的综合考查.本题的亮点在第2问，实质是探究“椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内&quo

24、t;的充分 必 要 条 件. 当 三 点 A.O.B 不 共 线 时,|O4|2 + <|AB|2 O cos AOB v 0 o xxx2 + yxy2 < 0 为了得到召勺+ ）卩2,需要将过点尸的直线与椭圆的方程联立，通过消元，得到 一个一元二次方程，再利用韦达定理整体变形，得到坷兀+）'2用加表示解析式，应 用不等式性质使问题获得解决.如果选择“点斜式”的方法给出直线的方程，则需 要按直线与X轴是否垂直分类讨论.例7过抛物线C : y =，上两点M N的直线I交y轴于点P（O,b）若而丽<0（0为坐标原点），求实数方的取值范屁（2）若b = 2,曲线C在点M,

25、 N处的切线的交点为。.证明：点0必在一条泄直线上运动.分析：结合向量知识及抛物线的知识建立关于b的关系式求方的取值范羽；（2）问结合导数 的知识求切线的方程，求交点Q满足的关系.解：（1）设点M , N坐标分别为（旺,才），（花工）（州x2）,则OM =（x1,x12）,丽=（召工）由题意可设直线/方程为y = kx+by = kx + b因为丽师vO,所以OM ON = x,x2 +x12x22 = -b + b2 <0y解得0vbvl.所以实数方的取值范用为(0)(2)当b = 2时，由(1)知+勺=« x2 = -/? = -2,因为函数y = x2的导数为y'

26、 = 2x,抛物线在Mg,卅)，Ng,卅)两点处切线的斜率分别 为褊=2a, , kN = 2x2 ,所以抛物线在点M , N处的切线方程分别为)，斤=2册(x-xj和 y-xl = 2x2(x-x2),由 2i(X "),(旺工乳2),解得交点Q的坐标(x,y)满足y-乞=2x2(x-x2)=k_即' =2'所以点Q在泄直线y = -2上运动.丿=-2,归纳小结：(2)中结论的一般化是:过点(0")的宜线与抛物线X2 = 2py相交于A,3两点，抛 物线在A, B两点处的切线的交点为0,则点。的轨迹是y = -b (去掉在抛物线内部的部分).例8 给泄抛物线C：b=4x, F是C的焦点，过F的直线/与C交于4、3两点，记O为 坐标原点.(1)求丙面的值；(2)设AF = AFB,三角形OA3的而积Se2,J引时，求兄的取值范風分析:结合向量知识和解析几何知识，设坐标,列出关系式求几的取值范困.(1)解:设 A(xry)9 B(x2,y2)则OA OB = xlx2+yl