圆周运动中的临界问题之欧阳索引创编

1、圆周运动中的临界问题欧阳家百(2021.03.07)1、在竖直平廂内作圆周运动的临界问题如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v临界= 能过最高点的条件：,当v>Rg时, 绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 不能过最高点的条件：VVV临界(实际上球 没到最高点时就脱离了轨道)。如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳 不同，它既能产生拉力，也能产生压力 能过最高点V临界=0,此时支持力N = mg欧阳索引创编2021.02.02 当Ovvv礙时，N为支持力，有OvNvmg,且N随v的增大而减小 当v =时，N =

2、 0 当v>顷，N为拉力，有N>0, N随v的增大而增大例1（99年高考题）如图4所示，细杆的一端与ba图4分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （）A、a处为拉力，b处为拉力小球相连，可绕过0的水平轴自由转动。现 给小球一初速度，使它做圆周运动。图中“、bB、a处为拉力，b处为推力C、a处为推力，b处为拉力D、a处为推力，b处为推力例2 长度为L = 0.5m的轻质细杆OA, A端有一质量为m = 3.0kg的小球，如图5所示，小球以0点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m / s, g取10m/s2,则此时细杆0A受到A、6.0N的拉

3、力 B、6.0N的压力C、24N的拉力 D、24N的压力例3长L = 0.5m,质量可以忽略的的杆，其下端固 定于O点，上端连接着一个质量m = 2kg的小球A, A绕O点做圆周运动（同图5）,在A通过最高点，试 讨论在下列两种情况下杆的受力： 当A的速率vl = lm/s时 当A的速率v2 = 4m/s时2、在水平面内作圆周运动的临界冋题在水平上做圆周运动的物体，当角速度0）变化c时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化） 趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体 受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例4如图6所示，两绳系一质量为m =

4、0.1kg的小球，上面绳长L = 2m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30。与45。，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？例5如图7所示，细绳一端系着质量M = 0.6kg的物 体，静止在水平肌，号一端通过光滑的小孔吊着质量 m = 0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m,并知 M和水平廂的最大静摩擦力为2N。现使此平廂绕中心轴线转动，问角速度co在什么范围m会处于静止状 态？ （g=10m/s2）说明：一般求解“在什么范围内"这一类的冋题就杲要分析两个临界状态。1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10m/s3、巩固练习3对桥的

5、压力为车重的o如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）A、15m/s B、20m/s C、25m/sD、30m/s2、如图8所示，水平转盘上放有质量为m的 物块，当物块到转轴的距离为时，连接物块和 转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和 转盘间最大静摩擦力是其下压力的卩倍。求：当转盘角速度血=/学时，细绳的拉力T1。当转盘角速度0)2 = 时，细绳的拉力T2。三.小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆丿山。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住杲关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及 这个力的方向如何。答案例1分析：答案A是正确的，只要

6、小球在最高点b 的速度大于個，其中L是杆的长；答案B也是正确 的，此时小球的速度有0 vv個；答案C. D肯定 是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定杲拉 力。例2解法：小球在A点的速度大于個时，杆受 到拉力，小于個时，杆受压力。V0=/gL =#10x0.5 m/ s = /5 m/s由于v = 2.0m/sv逅m/s,我们知道：过最欧阳索引创编2021.02.02欧阳索引创编2021.02.02高点时，球对细杆产生压力。小球受重力mg和细杆的支持力N由牛顿第二定律mg-N = mmg -v2T=6.0N故应选Bo例3解法一：（同上例） 小球的速度大于审m/s时 受拉力，小于a/5 m/

7、s时受压力。mg当vl = lm/sv逅m/s时，小球受向下 的重力mg和向上的支持力N由牛顿第二定律 N =N = mg mv2L= 16N即杆受小球的压力16NO当v2 = 4m/s逅m/s时，小球受向下Of 的重力mg和向下的拉力Fv2f由牛顿第二定律mg + F = mrF = m mg = 44N即杆受小球的拉力44NO解法二:小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A,则小球的受力就是上面解法中的的情形。由牛顿第二定律mg + F =v2m_L得到n,v2F=m(匸-g)当vl

8、=lm / s 时，Fl = 16NFl为负值,说明它的实际方向与 所设的方向相反，即小 球受力应向上，为支持 力。则杆应受压力。当 v2 = 4m/s 时，F2 = 44NOF2 为正值,说明它的实际方向与 所设的方向相同，即小 球受力就是向下的，是 拉力。则杆也应受拉 力。例4解析：当角速度co很小时，AC和BC与轴的夹 角都很小，BC并不张紧。当co逐渐增大到30。时, BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中 的张力仍然为零。设这时的角速度为col,则有：TACcos30° = mgTACsin30° = mcol2Lsm30°将已知条件代入上式解得c

9、ol=2.4 rad/s当角速度co继续增大时TAC减小，TBC增大。 设角速度达到32时，TAC = 0 （这又是一个临界 状态），则有：TBCcos45° = mgTBCsin45° = ma）22Lsin30°将已知条件代入上式解得0）2 = 3.16 rad / s 所以 当 co满足 2.4 rad/sScoS3.16 Tad/s, AC、 BC两绳始终张紧。欧阳索引创编2021.02.02本题所给条件o)= 3 rad/s,此时两绳拉力TAC、TBC都存在。TACsin30° + TBCsin45° =mco2Lsin30°

10、;TACcos30° + TBCcos45° = mg将数据代入上面两式解得TAC = 0.27N, TBC =1.09N注意：解题时注意圆心的位置(半径的大小)。如果0)<2.4说/$时，TBC = 0, AC与轴的夹角小于30。如果o)>3.16rad/s时,TAC = 0, BC与轴的夹角大于45例5解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而M与平面静止时有两个临界状态：当3为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的砂/:离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。一I 此时，对M运用牛顿第二定律。口 m图7有 T-fm = Mcol2T 且 T = mg欧阳索引创编2021.02.02欧阳索引创编2021.02.02解得 col = 2.9 rad