圆锥曲线中的取值范围最值问题资料

1、圆锥曲线中的最值取值范围问题2 290.已知Fi,F2分别是双曲线 一22 =l( a>0， b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点，a b若F1PF2 90 °,且Fi PF2的三边长成等差数列.又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为.3，双曲线与该椭圆离心率之积为乞6。3(I)求椭圆的方程;(n)设直线I与椭圆交于A , B两点，坐标原点 O到直线I的距离为3，求 AOB290.解：设面积的最大值.| PF1 | m,|PF2 I n,不妨P在第一象限，则由已知得n 2a,n2(2c)2, 5a2 6ac c2 0,e22c 2m.6e 50,解得(

2、舍去)。设椭圆离心率为e ,则 5e5 .一 63：/63可设椭圆的方程为2x2a1,半焦距为ab2b2632c2c3,2aa解之得b1,2.椭的方程为1.(n)当 AB x 轴时，|AB|-3.当AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为ykx m, A(xyj, B(X22),由已知k2于，得m23(k241),扌巴ykx m代入椭圆方程，整理得2 2 2(3 k1)x 6kmx 3m 3 0,x1x26 km3k2 1MX?3(m21)3k212 2 2| AB| (1 k )(X2 X1)12(m21)3k2 112(1 k2)(3k21 m2)3(k21)(9k2 1)(3k2(3k2

3、 1)22312k3 2 29k2 6k2112-1(k 0)9k2-y 6k24.2 3 62当且仅当9k21产即k时等号成立，此时3|AB| 2.当k 0时AB |.3.综上所述：|AB|max 2，此时AOB面积取最大值S1 | AB | max23232 22285.已知曲线C的方程为x 2y，F为焦点。（1） 过曲线上C 一点P（X0,y°）（ X） 0 ）的切线I与y轴交于A，试探究|AF|与|PF|之间 的关系；（2） 若在（1 ）的条件下P点的横坐标X0 2，点N在y轴上，且|PN|等于点P到直线2y 1 0 的距离，圆M能覆盖三角形 APN，当圆M的面积最小时，求圆

4、 M的方程。85.(A)(i由 J",徘弓jt1 y mjc在尸也血处切S6 方程:廿- jo =>*-3b)j： =<> It A *得 x， 7a_x9 = j< -2>fl = -)o(>-fl >0傑”权 F *祿(U冷)*I4FI = gm.又 1叩寺g.I廿I "叭由舄麵呛"的师为(t> 寺网乩专 厲”三林的 的 外搀嚴时.岡册财小,设此B5的贞用知护於+压 m厂八軒腭+J? "F > 0 岁点w的处穌为W*)时甥4-+ f =o424*!E*F=0 P- -5.E-,r= - IL *4

5、护+邛no此时所取的也的方軽为+)- I -G此时所求餉闻前方14 +4 +1/J + 2K4 r=D程A? + y +>- y-7«Q13 分隼上揃方R*：?4/ -5r + yy -1 =0./ / "- ；归=0 14分2 2Fi, F2分别为其74.已知椭圆Ci: X 2 1(a b 0)的长轴长为4，离心率为 a b左右焦点一动圆过点F2，且与直线x 1相切.(I ) ( i )求椭圆Ci的方程；(ii )求动圆圆心轨迹 C的方程;(n )在曲线C上有四个不同的点 M,N,P,Q，满足MF2与NF?共线，PF?与QF?共线，且PF2 MF20，求四边形PMQ

6、N面积的最小值.b2 a2 c23,C的焦点为(1,0)，准线方程2a 474.解：(I )( i )由已知可得c 1e -a 22 2则所求椭圆方程Ci : L 1 .43(ii )由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线为X 1，则动圆圆心轨迹方程为 C : y2 4x.(n )由题设知直线 MN , PQ的斜率均存在且不为零设直线MN的斜率为k(k 0), M(X1，yJ,N(X2，y2)，则直线MN的方程为: y k(x 1)2 2 2 2 2联立C : y 4x 消去y可得k x (2k4)x k 0由抛物线定义可知：| MN | | MF2 | NF2 | x11 x212k24同

7、理可得| PQ | 4 4k211又 Spmqn | MN | | PQ |(422(当且仅当k 1时取到等号所以四边形PMQN面积的最小值为32.和44k2)2 18(2 k2 冷)32k269如图，已知直线I: y kx 2与抛物线 uur uuu标原点，OA OB ( 4, 12)。(I)求直线I和抛物线C的方程；2py(p(n)抛物线上一动点P从A到B运动时,ABP面积最大值.69.解：(I)由kX 2,得,x2 2pkx2py4p0,设 A Xi,%,BX2,y20)交于A，B两点，0为坐则 X1 X2uuu因为OA2 pk, y1 uuu OBX1所以2pk2pk24,y2 k x

8、ix, y1y2解得12.所以直线I的方程为y(n)方法1：设P(xo,yo),依题意,X22x 2,抛物线y x，所以Xo2X。2pk,2pk22pk24,4=4,12 ,此时P到直线l的距离d2X 2, 得, x22y,1,2.抛物线过2, yo2、22(2)(C的方程为x2P的切线与1 22X02) 2评4x 40,|AB| 1 k2、(x X2)24怖也 ABP的面积最大值为匚2(n)方法 2: 由 y2 2X 2,x2y.l平行时, APB面积最大,2,所以P(4.551 22 、( 4)2 4( 4)2得，x 4x 40,2y,| AB |1 k2 .(x x2)2 4X21 22

9、、(4)2 4( 4)2, 2).4 109分设 P(t, 1t2) , ( 2 2,2 t 2 2.2)因为AB为定值，当P到直线I的距离d最大时， ABP的面积最大,d(t 2)2 42因为22 2 t22 2，所以当t2 时，dmax=M，此时 P( 2, 2).54怖迹 ABP的面积最大值为L22 266.椭圆 笃 每 1(a b 0)的长轴为短轴的.3倍,直线y x与椭圆交于A、B两点,a b3C为椭圆的右项点，OA OC .2(I )求椭圆的方程；(II )若椭圆上两点 E、F使OE OF OA, (0,2),求 OEF面积的最大值66.解：(t2 t2(1)根据题意，a .3b,

10、C (a,0),设 A(t,t),则t 0, 221.ab解得片4b；即t 333OA ( b, ),OC (a,0),OA OC2 22椭圆方程为y21.3OE OF OA,2x0X1X22 ,2y0y1y2. 3J22 2由-得宁y： y；E,F在椭圆上，则2X1X22y12y21,1,丘已卩 j丄31x1 x23y1 y23()设 E(X1, yj F(X2,y2), EF 中点为 M(x°,y。),直线EF的方程为y.3hx3 ),即 x3y2,3，代入y214343并整理得，4y2232y1 0,y1 y232 1,y2,2410 1 yi y2 1.10丄4( 2 1)2

11、2原点0(0,0)到直线EF的距离为h 3101 "3 142S OEF I EF |h2 4242>32 2、2时等号成立，所以OEF面积的最大值为32I EF |,(xi X2)2 (yi y2)222 y63.已知椭圆C： X4因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1,所以里20，解得y11，又因为点A(X1, y1)在椭圆C上，所以X：2节 1,即x2丄1，解得X14于，则点A的坐标为(1)或2,1),2 2所以直线I的方程为4 3x3y 3 0，或1，过点M(0, 1)的直线I与椭圆C相交于两点A、B.(I)若I与x轴相交于点P,且P为AM的中点，求直线I

12、的方程;1 uuu uuu(n)设点N(0,丄)，求| NA NB |的最大值.263.(I)解：设 A(X1, y1),4 . 3x 3y 30.uuu(n)设 A(X1, y1), B(x2, y2),贝U NAUJUuuu所以 NA NB (X1 X2,y1 y 1)，1 uuu1(X1,y1), NB (X2, y2),2 2uuu uujr 22则 | NA NB| . (X1 X2) (y1 y2 1)uuu一uuu当直线AB的斜率不存在时，其方程为0, A(0,2), B(0, 2)，此时 |NA NB | 1;当直线AB的斜率存在时，设其方程为y kx 1 ,由题设可得A、B的

13、坐标是方程组x2kx2y4的解，消去y得(4 k2)x2 2kx 301所以 (2k)212(4 k2)0,X12k卡，(kx11) (kx21)82，4 k2uuu 所以|NAuuu 2 2k 2 NB|(E(4飞1 1，(4 k2)2当k 0时，等号成立，即此时uuu|NAuuuNB |取得最大值1.综上，当直线AB的方程为Xuuu uuuy 1时，| NA NB|有最大值1.50.已知点A是抛物线y2= 2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K,已知丨AK|=2 I AF 三角形 AFK的面积等于(1 )求p的值；8.(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线

14、与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G H.求丨GH|的最小值.50.解：(I)设 A x0, y0 ,因为抛物线的焦点F卫,0 ,准线I的方程为:2卫,0 , 作AM l 于 M ,2则AMx0AF,又AK血|AF得AK 血|AM ,AKM为等腰直角三角形，KM又 Q S AFKAM(2)由 y270人号,即Ax0，x)号，而点A在抛物线上，2px0,2kf y。乡于是a£2 P.12P4.故所求抛物线的方程为y2 8x.6分8x，得f(2,0)，显然直线I1 ,l2的斜率都存在且都不为0.设11的方程为y k(x 2)，则12的方程为y1宀2).648.椭圆的中心为原点O，焦

15、点在y轴上，离心率e w，过咆1)的直线l与椭圆交于uur uuuB两点，且AP 2PB，求AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.48解：设椭圆的方程为2 y 2 a1(ab 0),直线I的方程为ykxA(為，)、B(X2°2),b1 23a ，则椭圆方程可化为2y3b21 即 3x23b2，联立3Xy2ykxk2)x22kx 13b2X1x22k2,而由已知AP3 k2PB 有 x12X2，代入得X22k3 k2所以S AOB|OP | | X1 X23|k|k23|k|23 |k|,32当且仅当、3时取等号由x23巳代入(*)式得所以 AOB面积的最大值为2取得最大值时椭圆

16、的方程为-52X- 153x246.已知椭圆C1 :-a(y 3)2是圆C2:x2好与圆C2相切。已知椭圆b(a b 0)的右焦点为F上顶点为A，1的一条直径，若与 AF平行且在y轴上的截距为P为C1上任一点,3. 2的直线MNI恰(1)C1的离心率;uuu uur若PM PN的最大值为49,求椭圆C1的方程.(1)由题意可知直线I的方程为bx cy (3. 2)c0，223c 3c 2 c2C2 : X (y 3)1 相切，所以 d-=1，既 ab c(2)46.解:因为直线与圆22c ,从而%;2 e(2 )设2 2p(x,y),则二爲2c c1(c0)又PMPN (PC2 C2M ) 2

17、(PC2 C2N) PC 2. 2C2Nx2(3y)2 1 (y 3)22c17(c y c)3时,(PM PN)max172c249,解得c4,此时椭圆方程为32乂 116c 3 时,(PMPN) max2C 3)172 249,解得c 5.23但c 5、233,故舍去。综上所述,椭圆的方程为2x322 y 162x25.已知椭圆 G :-a3，直线l : y x 2与以原点为圆321(a bb心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.(|)求椭圆G的方程；(II )设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直h于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点

18、M，求点M的轨迹C2的方程;0)的离心率为uuu uuu(HI )设C2与x轴交于点Q ,不同的两点R, S在C2上，且满足QR RSuuu0,求QS的取值范围.25.解：(2,2a b2c122,2a2 3b230与圆x2b2相切，b, b 2,b22 a23椭圆C1的方程是x2(n)T MP=MF 2,.动点到定直线l1 : x1的距离等于它到定点 F1 (1, 0)的距离,动点M的轨迹是C4x为丨1准线，F2为焦点的抛物线点M的轨迹C2的方程为2 20 )，设R亡,从岂手打QR2(严,yJ,RS4/ QR RS 02 2 2.y1 (y2y1)16yi (y2yi)y1y2, y1化 简

19、得y2(yi2y2y2 辔 32y13264当且仅当y2 学，y12y12y2 22,)y2416, yi4时等号成立- |QS| (1 . (y；8)2一64,又4，y264y； 64- y28时，|QS|min 8., 5,故|QS|的取值范围是8.5,min8. 8已知点P( 4,4),圆 C: (x m) y个公共点A ( 3, 1), F1、F2分别是椭圆的左、(I)求m的值与椭圆E的方程；2 25(m 3)与椭圆E：仔与a b右焦点，直线PF1与圆C相切.1(a b0)有(n)设Q为椭圆e上的一个动点，求uunAPuuir一AQ的取值范围.236，不合题意，舍去.11当&

20、2时，直线pF1与x轴的交点横坐标为-4 c= 4. Fi ( 4, 0) , F2 (4,0).L一一22a= AF1 + AF2= 5 22 6 2 , a 3 2 , a2= 18, b2= 2.椭圆 E 的方程为：18uuu(n) apUUT(1,3)，设 Q (x, y), AQuuu HIT(x 3, y 1), AP AQ (x 3) 3(y 1) x3y2 x182 21,即 x (3y)18,而 x (3y) > 2|x| |3y |， 18< 6xy< 18.则(x3y)22 2x2(3y)2 6xy 186xy的取值范围是0 , 36. x 3y的取值范

21、围是6,6. AP AQ x 3y 6 的取值范围是12, 0.2 212. 12.已知直线l : y x 1与曲线C:笃 爲 1 (a 0,b0)交于不同的两点 A, B ,a bO为坐标原点.(I)若|OA| |OB |，求证：曲线C是一个圆；(n)若OA OB，当 a b且a丄，二0时，求曲线C的离心率2 2e的取值范围.【解】(I)证明：设直线I与曲线C的交点为A(X1, yj, B(X2 ,y2)|OA|OB|2y12 2X2y2即:2X12y12X22y22 X12X22y22y12 X1 2a2y12X22a2y2两式相减得:2X1x222 a b7(y22 y12)2 a b7

22、即:b2曲线C是一个圆(n)设直线l与曲线C的交点为A(x1, y1), B(x2, y2),曲线C是焦点在x轴上的椭圆OA OBX1B 1 即：y1y2x1x2x 1 代入 b2x2a2y22 2a b 0整理得:(b2a2)x22a2x a2a2b2X22a2a2 b2x-ix22 2a (1b )a2b2y1y2(X1 1)(X21)X2X1X2xm22x1 x2X1X22a22 2 )a b a2 b22a2b20- a2 a2 c2 2a2(a2 c2)042222 2a 2a c 2a c 02a2(a21)2a212 c2 a2(a2 1)112a2 1 2a2112a2 1AP

23、tPB,即(xat(b:)则a,y)(11tt( x,b y) t)xt ,由题意知ty0,| AB | 2b24即 (12 2t) x-)y2 4点P轨迹方程C为:x24(1 t)22y4tZ(1 t)2(2) t=2 时，C 为9x22a212,415.已知动点 A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且AP tPB（t是不为零的常数）.设点P的轨迹方程为c。（1）求点P的轨迹方程C;（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（ M、N不在坐标轴上），点Q3 坐标为（一,3）,求厶QMN的面积S的最大值。215.【解】(1 )设 A(a,0),B(0,b)

24、, P(x,y)设M(Xi,yJ，则N ( Xi, yi)，则MN 2, x；设直线MN的方程为y凶x,(Xi 0)Xi点Q到MN距离为l|yi 3xi |当且仅当竽竽即X1S qmn的最大值为2、21yi时,等号成立212分22x y25.已知椭圆C1 : 22a b1(ab 0)的离心率为可，直线l：yx 2与以原点为圆 ijyi 3Xi |32223S QMN2 2x22 2 yd|3yi 3xi|iy 2 2 、XiyiS QMN9xi29 24yi9xiyi又 9xi29yi2 i9x2 -yi244i 64S2QMN4 9x y9x2 而 i29yi2 3x3yi9xiy462449X2 yi4i i分心、以椭圆G的短半轴长为半径的圆相切(I)求椭圆Ci的方程；(II )设椭圆Ci的左焦点为Fi，右焦点F2，直线li过点Fi且垂直于椭圆的长轴，动直 线l2垂直li于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； uuu uuuuuu(III )设C2与X轴交于点