十微分方程练习题

1、第十二章微分方程§2-1微分方程的基本概念一、判断题1. y=ce 2x （c的任意常数）是y ' =2x的特解。（）2. y=（ y ）3是二阶微分方程。（）3. 微分方程的通解包含了所有特解。（）4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（）5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。3. 积分曲线y=(c 1 +c2x)e2x中满足 y x=o=O, y" x=o=1的曲线是。三、选择题1. 下列方程中是常微分方程_2_22

2、 2 2darctan x3'32 2(A )、x+y =a (B)、 y+(e ) = 0 (C)、2 + =0( D)、y =x +ydxexcy2. 下列方程中是二阶微分方程2 y 2i-2232(A) ( y ) +x +x =0(B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0(D) y -y =sinx3.微分方程穿+w2y=0的通解是中c.ci.c2均为任意常数(A) y=ccoswx(B)y=c sinwx (C)y=c icoswx+c2sinwx(D)y=c coswx+c sinwx24. C是任意常数，则微分方程y =3y3的一个特解是 3333

3、(A) y-=(x+2)(B)y=x +1(C) y=(x+c)(D)y=c(x+1)四、试求以下述函数为通解的微分方程。222x3x1. y =Cx C (其中C为任意常数)2.y=CieC2e(其中C-C?为任意常数)五、质量为 m的物体自液面上方高为 h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运动的速度成正比。 用微分方程表示物体， 在液体中运动速度与时间的关系并写出初始 条件。12-2可分离变量的微分方程、求下列微分方程的通解2 21. sec .tacydx+sec ytanxdy=O2 22. (x+xy )dx-(x y+y)dy=0x+y xx+y y3. (e -e

4、 )dx+(e -e )dy=04. y =cos(x-y).(提示令.x-y=z)、求下列微分方程满足所给初始条件的特解-x兀1. cosydx+(1+e )sinydy=O. yx=o=4180 / 122.secxdy=xdx.y 32、设 f(x)=x+ . x f(u)du,f(x)是可微函数，求 f(x)四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1），且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。五、船从初速 vo=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求 船速随时间变化的规律。12-3齐次方程、求下列齐次方程的通解y1 xy -xsin0xyy2 (x+yco

5、s ) dx-xcos dy=0xx求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1. xy 虬x2+y2ax2 22.x dy+(xy-y )dx=0y x=i=1二、求方程：(x+y+1 ) dx=(x-y+1)dy 的通解四、设有连结点0(0, 0)和A (1, 1)段向上凸的曲线孤O A对于O A上任一点P(x，y),曲线孤与O P直线段Op所围图形的面积为x2，求曲线孤OA的方程。12.4 阶线性微分方程2. y +ytanx=sin2x、求下列微分方程的通解x1.x y +y=xedy _ ydx x y3ey、求下列微分方程满足初始条件的特解1. y cosy+siny =x2.(2x+1

6、)ey y 2ey=4y = 0、已知f(二),曲线积分，a sinx - f (x)l#dx f (x)dy与路径无关，求函数f(x).x四、质量为 M o克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒 m克的速率 减少，且所受空气阻力和下落速度成正比， 若开始下落时雨滴速度为零， 试求雨滴下落的速 度与时间的关系。五、求下列伯努利方程的通解1. y，+_y =x2y5x2. xy' +y-y2l nx=012-4 全微分方程、求下列方程通解221 cos(x+y )+3ydx+2ycos(x+y )+3xdy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0yy3

7、. e dx+(xe -2y)dy=0、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解21 ydx-xdy+y xdx=02 y(2xy+e x)dx-exdy=02f(0)=0, 试求函三、 xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2ydy=0 为全微分方程，其中函数 f(x) 连续可微， 数 f(x) ，并求该方程的通解。12-7可降阶的高阶微分方程、求下列各微分方程的通解1. y =xs inx2. y - y =x3.y y +( y )2= y4. y (1+ex)+y =0、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解1. 2 y =sin2yy xzotttftc22. xy -y

8、 1 ny+yinx=0 yx±=2 y x=e、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2 ,以及(x)-丄凶一 x丄単dt = 0 ,求f(x).x 出t2四、一物体质量为 m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为:,摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。12-8高阶线性的微分方程一、选择题1.下列方程中为线性微分方程(A) ( y ) +x y =x(B)y y -2 八 x(C)2 x2.已知函数yi= e2xyi= ei(x-1)y3=e(X 丿(A )仅yi与y2线性相关C)仅yi与y3线性相关(B )仅y2与y3线性相关(D)它们

9、两两线性相关(D) y 一 y 一 3xy 二 cos yi8i / i23 .若yi和y2是二阶齐次线性方程,y +p(x) y +4(x)y=0两个特解，CiC2为任意常数，则y=ciy什C2y2(B )是该方程的特解(D)不一定是方程的解(A) 一定是该方程的通解(C)是该方程的解4下列函数中哪组是线性无关的(A) Inx, lnx2(B)i , Inx(C)x, In2x(D)ln Jx , lnx2二、证明：下列函数是微分方程的通解iy=cix2+C2X2Inx(ci C2是任意常数)是方程x2 y -3x y +4y=0的通解x2y=c ie-x+C2eex (ciC2是任意常数)

10、是方程2 y - 2ex的通解三、设yi(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且yi(x)y2(x).y3(x).线性无关,证明：微分方程的通解为：y rGyjx)，C2y2(x) (i-Ci-C2)y3(x)四、试求以xi . x_X e_y= (ci e +C2e )+ -x2(Ci,C2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。12-9二阶常系数齐次线性微分方程一、选择题1以yi=cosx,y2=sinx为特解的方程是(A)y y=0(B) y y =0(C) y y、0(D)y _y：=02 .微分方程2 y ； y - y = 0的通解是xxx_2x / 、_x2x&q

11、uot;S_x2x(A) y = c1e-c2e(b)y =c,e-c2e2(C) y =c1e-c2e(D) y =c1ec2e3.常微分方程y ” (1 2)y':Y咒1 2y =0 ,(其中 1, 2是不等的系数)，在初始条件y1x=0= y x=0 =0特解是(A) y=0(B)y= Ge"+qe'2x (C) y=X2x2(D) y = e 中扎2)x22x4. y =e是微分方程y py 6y = 0的一个特解，则此方程的通解是 (A)2x |_3xy = c1ec2e(B) y = ©xc2 )e2x186 / 122x(D) y=e (c1

12、s in 3x c2 cos3x)5. y =c1ex c2e 是微分方程 的通解(A) y y = 0 (B) y'；： - y = 0(C) y y = 0 (D) y"-y = 0二、求下列微分方程的通解1. y -5y =02. y -4y 4y=03. y 4y y = 04. y -5y 6y = 05. y _6y 3y 10y =05. y _2厂 y =0三、求下列微分方程满足初始条件的特解1. y 2y 10y =0x=0=11x=0t=0=0d 2x dx2.3x=0dt dt四、一质量为 m的质点由静止（t=0,v=0 ）开始滑入液体，下滑时液体阻力的

13、大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为 k），求此质点的运动规律。12-10二阶常数非齐次线性微分方程、选择题1微分方程，y -2y = x的特解y形式为 (A)ax(B)ax+b2(C)ax2(D) ax bx2. 微分方程y -严=e 1的特解y形式为 (A) aex bxx(B) axe b( C) ae bxx(D) axe bxQ y* 一.3.微分方程y " - 2u = xe 的特解y形式为2x2 x(A) x(ax b)e (B) (ax b)e2x(C) xe, 2,、 2x(D) (axbx c)e4.微分方程y " 4y二cos2x的特解y形式为(D)

14、acos2x+bs in2x(A) acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x)25.微分方程y - y二xsin x的特解形式为 y*=(A) (ax+b) sin2x(C) (ax+b)cos2x+(cx+d)si n2x6.微分方程 y”-4y'-5y=e»(A) aebsin 5x(C) axe" bsi n5x二、求下列各方程的通解1. y 2y y 二 xex2 2(B)(ax+b)sin x+(cx+d)cos x(D) (ax+b)cos2x+(cx+d)s in 2x+ex+f-sin 5x的特解形式为 (B) ae* bcos5x csin 5x(D ) axe bcos5x csin 5x2. y"7 y 6y 二 sin x4. y y = x cosxx 3. y -2y 5y 二 e s