空间向量和立体几何练习题及答案

1、1 如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD 丄平面 ABCD ,点 M 在线段 PB 上 , PD / 平面 MAC , PA = PD = 7 , AB= 4 .(1) 求证：M 为 PB 的中点；(2) 求二面角 B - PD - A 的大小；(3) 求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.【分析】(1)设 ACnBD=O，则 0 为 BD 的中点，连接 OM，利用线面平行的 性质证明 OM / PD，再由平行线截线段成比例可得 M 为 PB 的中点；(2) 取 AD 中点 G， 可得 PG 丄 AD， 再由面面垂直的性质可得 PG 丄平面 ABC

2、D，则PG 丄 AD，连接 OG,贝UPG 丄 OG,再证明 OG 丄 AD .以 G 为坐标原点，分 别以GD、GO、GP 所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角 B- PD - A 的 大小；(3) 求出 P 的坐标，由与平面 PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得 直线 MC与平面 BDP 所成角的正弦值.【解答】(1)证明：如图，设 ACnBD=O , ABCD 为正方形，二 O 为 BD 的中点，连接 OM, PD/平面 MAC, PD?平面 PBD，平面 PBDn平面 AMC=OM , PD/

3、 OM，则丄-二，即卩 M 为 PB 的中点；BD BP(2)解：取 AD 中点 G, PA=PD，二 PG 丄 AD , 平面 PAD 丄平面 ABCD，且平面 PADG平面ABCD=AD , PG 丄平面 ABCD，贝 U PG 丄 AD，连接 OG，贝 U PG 丄 OG ,由 G 是 AD 的中点，O 是 AC 的中点，可得 OG / DC,贝 U OG 丄 AD .以 G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP 所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐 标系,由 PA=PD=V，AB=4，得 D( 2, 0，0)，A (- 2, 0, 0)，P (0，0,讥)，C (2, 4, 0)

4、,B (- 2, 4, 0), M (- 1, 2,平)，设平面 PBD 的一个法向量为| -. ，-.,取平面 PAD 的一个法向量为:,L II：二面角 B- PD - A 的大小为 60 ;(3)解:=,平面 BDP 的一个法向量为,1. 1.-直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为| cos =| .|=| - |=：Imllml +4+护 19m*DP=0则由，二工 f ,得LID*DB=O7：y0,取-cos =【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题.2.如图，在三棱锥 P- ABC 中，PA 丄底面 ABC, / BAC=90 .点 D

5、 , E, N 分 别为棱 PA，PC，BC 的中点，M是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2 .(I)求证：MN/平面 BDE;(U)求二面角 C- EM - N 的正弦值；(川)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为二，求-W-丄线段 AH 的长.【分析】(I)取 AB 中点 F,连接 MF、NF，由已知可证 MF/平面 BDE，NF/平面 BDE .得至 U 平面 MFN /平面 BDE，贝 U MN /平面 BDE ;(U)由 PA 丄底面 ABC，/BAC=90.可以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角

6、坐标系.求出平面 MEN 与平面 CME 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角c-EM-N 的余弦值，进一步求得正弦值；(川)设 AH=t，则 H (0, 0, t),求出而、瓦的坐标，结合直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为列式求得线段 AH 的长.21【解答】(I)证明：取 AB 中点 F，连接 MF、NF, M 为 AD 中点，二 MF / BD， BD?平面 BDE，MF?平面 BDE，二 MF / 平面 BDE . N 为 BC 中点，二 NF / AC，又 D、E 分别为 AP、PC 的中点，二 DE / AC,贝UNF / DE .vDE?平面 BDE , NF?

7、平面 BDE，二 NF / 平面 BDE .又 MFANF=F .平面 MFN /平面 BDE，贝 U MN /平面 BDE ;(U)解：vPA 丄底面 ABC, /BAC=90.以 A 为原点， 分别以 AB、 AC、 AP 所在直线为 x、y、 z 轴建立空间直角坐标 系.vPA=AC=4,AB=2, A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 4, 0) , M (0, 0, 1) , N (1, 2, 0), E(0, 2, 2),则叮.一，.一，设平面 MEN 的一个法向量为.1,由图可得平面 CME 的一个法向量为:.Q袖二0Z0f x+2y-z=0左远d得I沁

8、二0取 z=2，得-b:.I m | n |XI21二面角 C- EM - N 的余弦值为 ，则正弦值为;21 21（川）解：设 AH=t，则 H （0, 0, t）,而二（七 -2, t）,祝二（七厶2）.直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为,21| = | | =.|NH|BE|晶晶I迈迈21 解得：t=或 t=.52当 H 与 P 重合时直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，此时线段 AH 的21【点评】本题考查直线与平面平行的判定， 考查了利用空间向量求解空间角， 考 查计算能力，是中档题.3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其内部）以 AB 边所 在

9、直线为旋转轴旋转 120 得到的，G 是-的中点.（I）设 P 是卜上的一点，且 AP 丄 BE，求/ CBP 的大小；（U）当 AB=3 , AD=2 时，求二面角 E - AG - C 的大小.D coy=:二2t-21cosv忙,1=|长为一或.【分析】(I)由已知利用线面垂直的判定可得 BE 丄平面 ABP,得到 BE 丄 BP, 结合/EBC=120。求得/ CBP=30;(U)法一、取的中点 H，连接 EH , GH , CH，可得四边形 BEGH 为菱形， 取 AG中点 M，连接 EM , CM, EC,得至 U EM 丄 AG , CM 丄 AG，说明/ EMC 为 所求二面角

10、的平面角.求解三角形得二面角 E- AG-C 的大小.法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE, BP, BA 所在直线为 x, y, z 轴建立空间 直角坐标系.求出 A, E, G , C 的坐标，进一步求出平面 AEG 与平面 ACG 的 一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 E - AG - C 的大小.【解答】 解：(I)vAPIBE,AB 丄 BE,且 AB,AP?平面 ABP,ABAAP=A, BE 丄平面 ABP, 又 BP?平面 ABP, BE 丄 BP,又/ EBC=120,因此/ CBP=30;(U)解法一、取宀的中点 H，连接 EH , GH , CH ,vZE

11、BC=120,A四边形 BECH 为菱形， AE=GE=AC=GC=;?取 AG 中点 M，连接 EM , CM , EC,则 EM 丄 AG , CM 丄 AG ,Z EMC 为所求二面角的平面角.又 AM=1，二EM=CM=:二.在厶 BEC 中，由于/ EBC=120,由余弦定理得：EC2=22+22- 2X2X2Xcos120 =12 ,阮 II,因此 EMC 为等边三角形，故所求的角为 60 .解法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE, BP, BA 所在直线为 x,间直角坐标系.由题意得：A (0, 0, 3), E (2, 0, 0), G (1,灭，3), C (-故.J.，：

12、，-:.设 I，” |为平面 AEG 的一个法向量，-3z i = 0円如二 o,取Z1=2，得訊“刃;.：为平面 ACG 的一个法向量,y, z 轴建立空1,乙 0),由二二-“，得,Lm AG =0m*AE=0ffn*AG=0可得-一，可得，tn-CG=0Han 取 z2= - 2,得芯欧込 cos =m* n 1lwllnl-2-二面角 E - AG - C 的大小为 60 .【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角 的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题.4如图，在以 A ,B,C,D ,E ,F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2F

13、D ,/ AFD=90,且二面角 D - AF- E 与二面角 C- BE - F 都是 60 .(I)证明平面 ABEF 丄平面 EFDC ;(U)求二面角 E - BC- A 的余弦值.【分析】(I)证明 AF 丄平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF 丄平面 EFDC ;(U)证明四边形 EFDC 为等腰梯形，以 E 为原点，建立如图所示的坐标系， 求出平面 BEC、平面 ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 E - BC- A 的余弦值.【解答】(I)证明：ABEF 为正方形，二 AF 丄 EF.vZAFD=90,. AF 丄 DF,vDFnEF=F, A

14、F 丄平面 EFDC , AF?平面 ABEF , 平面 ABEF 丄平面 EFDC ;(U)解：由 AF 丄 DF , AF 丄 EF,可得/ DFE 为二面角 D - AF - E 的平面角；由 ABEF 为正方形，AF 丄平面 EFDC, BE 丄 EF, BE 丄平面 EFDC即有 CE 丄 BE,可得/ CEF 为二面角 C- BE - F 的平面角.可得/ DFE= / CEF=60. AB/ EF, AB?平面 EFDC, EF?平面 EFDC , AB/平面 EFDC ,平面 EFDCG平面 ABCD=CD , AB?平面 ABCD, AB/ CD, CD/ EF,四边形 EF

15、DC 为等腰梯形.以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a ,则 E (0,0, 0), B (0, 2a, 0) ,C C1, 0 , - a) , A (2a, T= (0 , 2a, 0),： =,设平面 BEC 的法向量为 =(xi, yi, zi),则2ayj=0则,西 八,取 E =(丙,0, - 1). yxj -2ay!+az设平面 ABC 的法向量为 n= (X2, y2, Z2),则 f 号n-AB=O0),则头戸毗+爭円，取：=(,価，4).2az2=:0设二面角 E - BC-A 的大小为B,贝上 os 9=1Im I- | n |=-4二龙佰I ；： :,【

16、点评】本题考查平面与平面垂直的证明， 考查用空间向量求平面间的夹角， 建 立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.5.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD , CD 上, AE=CF= , EF 交于 BD 于点 H，将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置，0D=不.(I)证明： D H 丄平BABCD;(U)求二面角 B- D A-C 的正弦值.【分析】(I)由底面 ABCD 为菱形，可得 AD=CD ,结合 AE=CF 可得 EF / AC, 再由 ABCD 是菱形，得 AC 丄 BD，进一步得到

17、EF 丄 BD，由 EF 丄 DH，可得 EF 丄D H,然后求解直角三角形得 D H 丄 OH， 再由线面垂直的判定得 D H 丄 平面 ABCD ;(U)以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的 坐标，得到厂、.的坐标，分别求出平面 ABD与平面 ADC的一个 法向量二，设二面角二面角 B- D A- C 的平面角为求出|cos|B.则二 面角 B- D A- C 的正弦值可求.【解答】(I)证明：ABCD 是菱形， AD=DC，又 AE=CF=匚，4，贝 U EF/ AC，EA FC又由 ABCD 是菱形，得 AC 丄 BD，贝 U EF 丄 BD，EF 丄 D

18、H，贝 U EF 丄 D H， AC=6，AO=3，又 AB=5，AO 丄 OB，OB=4，0H=1，贝 U DH=D H=3，AD| OD |2=| 0H|2+| D H |2,贝 U D H OH，又 OHAEF=H，D H 丄平面 ABCD ;(n)解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，TAB=5，AC=6， B(5,0, 0),C(1,3,0),D(0,0,3),A(1,3,0), . 一.: 1. - :,二 ,设平面 ABD的一个法向量为：,:,4x+3y=0，取 x=3，得 y= 4, z=5.-x+3y+3z=0m-.J同理可求得平面 ADC的一个法向量-I-;, I

19、j J.设二面角二面角 B D A C 的平面角为9,|nt*n2IHI_5V2XV10 25【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用 平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题.6.在三棱柱 ABC AEG 中，CA=CB ,侧面 ABBA 是边长为 2 的正方形， 点 E, F 分别在线段 AA“ AQ 上， 且 AE= - ,CE 丄 EF.24(I)证明：平面 ABBiAi丄平面 ABC;(U)若 CA 丄 CB,求直线 ACi与平面 CEF 所成角的正弦值.I 13X3+5X11 75则 | cos|0=【分析】取 AB 的中点 D，连

20、结 CD , DF, DE 计算 DE , EF, DF，利用 勾股定理的逆定理得出 DE 丄 EF ,由三线合一得 CD 丄 AB，故而 CD 丄平面 ABB1A1，从而平面 ABB1A1X平面 ABC;(II)以 C 为原点建立空间直角坐标系，求出和平面 CEF 的法向量-1，则直 线 ACi与平面 CEF 所成角的正弦值等于|cosv | .【解答】证明：(I)取 AB 的中点 D，连结 CD，DF, DE . AC=BC，D 是 AB 的中点，二 CD 丄 AB .侧面 ABBiAi是边长为 2 的正方形，AE=1，AiF=：；. EF2+DE2=DF2，ADE丄 EF，又 CEXEF

21、，CEADE=E，CE?平面 CDE，DE?平面 CDE， EF 丄平面 CDE，又 CD?平面 CDE， CD 丄 EF，又 CD 丄 AB，AB?平面 ABBiAi，EF?平面 ABBiAi，AB，EF 为相交直线, CD 丄平面 ABBiAi,又 CD? ABC，平面 ABBiAiX平面 ABC.（II）：平面 ABBiAi丄平面 ABC,三棱柱 ABC- A1B1C1是直三棱柱，二 CG 丄平面 ABC.TCA 丄 CB, AB=2，二 AC=BC=.以 C 为原点，以 CA, CB, CCi为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 A （V，0, 0），C（0, 0, 0），Ci（0

22、, 0,2），E ，0，寺）,F（，2).:=(-,0,2),1= ( ,0, ), =(, ,2).设平面 CEF 的法向量为i= （x, y, z）,z=0,令 z=4,得 i=2z=0：=10, | F =6 ,j = . g =ru【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中 档题.Ti5V3018187.如图，在四棱锥中 P ABCD , PA 丄平面 ABCD , AD / BC, AD 丄 CD，且AD=CD=2 *：, BC=4 :, PA=2 .(1) 求证：AB 丄 PC;(2) 在线段 PD 上，是否存在一点M，使得二面角M- AC D 的大小为

23、 45 , 如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性质求出 AB，AC 的长，根据勾股定理的逆定理得出 AB 丄 AC,由 PA 丄平面 ABCD 得出 AB 丄 PA，故 AB 丄平面 PAC，于是 AB 丄PC;(2)假设存在点 M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出 M 到平面 ABCD 的距离从而确定 M 的位置，利用棱锥的体积求出 B 到平面 MAC 的距离 h,根据 勾股定理计算 BM，则十即为所求角的正弦值.Dnl【解答】解：(1)证明：四边形 ABCD 是直角梯形，AD=CD=2 匚,BC=4 匚, AC=4,

24、 AB=丄 ：=4, ABC 是等腰直角三角形，即 AB 丄 AC, PA 丄平面 ABCD , AB?平面 ABCD , PA 丄 AB, AB 丄平面 PAC,又 PC?平面 PAC, AB 丄 PC.(2)假设存在符合条件的点 M,过点 M 作 MN 丄 AD 于 N，则 MN / PA, MN 丄平面 ABCD，二 MN 丄 AC.过点 M 作 MG 丄 AC 于 G,连接 NG，则 AC 丄平面 MNG , AC 丄 NG，即/ MGN 是二面角 M - AC - D 的平面角.若/ MGN=45 ，贝 U NG=MN , 又 AN=匚 NG=匚 MN , MN=1，即 M 是线段

25、PD 的中点.存在点 M 使得二面角 M - AC - D 的大小为 45 .在二棱锥 M - ABC 中，VM-ABC=丄 5 厶ABC?MN =二二】-=,3323的距离是 h,则VB-MAC=， | ,-MAC=2:,解得 h=2 :.BN=；-;八,BM=：.卩=3 :,h = 2血厂 .【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质， 空间角与空间距离的计算，属于中 档题.8如图，在各棱长均为 2 的三棱柱ABC- A1B1G 中，侧面 AiACCi丄底面设点 B 到平面 MAC MG= =MN=乙在 ABN 中,AB=4 ,AN= 匚,/BAN=135, BM 与平面 MAC 所成角的正弦

26、值为、 DABC,/ AiAC=60.（1）求侧棱 AAi与平面 ABiC 所成角的正弦值的大小；（2）已知点 D 满足=二+于，在直线 AA!上是否存在点 P,使 DP /平面 ABQ? 若存在，请确定点 P 的位置，若不存在，请说明理由.【分析】（1）推导出 A0 丄平面 ABC，BO 丄 AC，以 0 为坐标原点，建立如图 所示的空间直角坐标系 0 - xyz,利用向量法能求出侧棱 AAi与平面 ABiC 所成角 的正弦值.（2）假设存在点 P 符合题意，则点P 的坐标可设为 P （ 0，y，z），则.利用向量法能求出存在点 P，使 DP /平面 ABiC，其坐标为（0，0,诉）,即恰好

27、为 Ai点.【解答】解：（i）v侧面 AiACCi丄底面 ABC，作 AiO 丄 AC 于点 O,AiO 丄平面 ABC .又/ ABC= / AiAC=60,且各棱长都相等， AO=i , OAi=OB= ，BO 丄 AC .（2 分）故以 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz.则 A (0,- 1, 0), B (诉,0, 0),Ai(0, 03), C (0, 1, 0),瓦=(0, 1,讥)，画=(五 g_Vs), AC= (0, 2, 0). ( 4 分)设平面 ABiC 的法向量为:,npABVs+Sy-VsOLnpAC=2y=0设侧棱 AA1与平面 ABQ

28、所成角的为9, -AAi -n眉J7则 sin9=os |=丨. I,1|讪卜|n|2V2 4侧棱 AA1与平面 ABQ 所成角的正弦值为 ( 6 分)4(2)：匚，而:-:,二，-.,|：, 1= (- 2 二,0, 0),又：B (、),点 D (-二,0, 0).假设存在点 P 符合题意，则点 P 的坐标可设为 P（0, y , z）一 .DP /平面 AB1C , = (- 1 , 0 , 1)为平面 ABQ 的法向量,又 DP?平面 ABQ ,故存在点 P ,使 DP/平面 AB1C ,其坐标为（0,0,二）,即恰好为 A1点.（12 分）取 x=1，得 i= (1, 0,1)fy+

29、l=人 y=0.(10 分)【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与 求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.9.在三棱柱 ABC-AEG 中，侧面 ABBiAi为矩形，AB=2，AA= ，D 是AA、的中点，BD 与 ABi交于点 0,且 CO 丄平面 ABBiAi.(I)证明：平面 ABiC 丄平面 BCD;(U)若 OC=OA， ABiC 的重心为 G,求直线 GD 与平面 ABC 所成角的正弦 值.【分析】(I)通过证明 ABi丄 BD，ABi丄 CO,推出 ABi丄平面 BCD，然后证明 平面ABiC 丄平面 BCD .(U)以 O 为坐

30、标原点，分别以 OD，OBi, OC 所在直线为 x, y，z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系 O - xyz求出平面 ABC 的法向量，设直线 GD 与平 面 ABC 所成角a,利用空间向量的数量积求解直线 GD 与平面 ABC 所成角的正 弦值即可.【解答】(本小题满分 i2 分)解:(I) vABBiAi为矩形，AB=2 , D 是 AAi的中点，二/ BAD=90,.Liu.,，-二从而-,i |i= =_-7,；-一.一二_】-.,ADZ1D DI 1Z/ ABD= / ABiB,（2 分） rfn .叶|甘一，从而 ABBD（4分）CO 丄平面 ABB1A1, AB1?平面 A

31、BB1A1, AB1 CO,： BD A CO=O , AB1丄平面 BCD, ABi?平面 ABiC,平面 ABiC 丄平面 BCD（6 分）（U）如图，以 O 为坐标原点，分别以 OD , OBi, OC 所在直线为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz.在矩形 ABBiAi 中，由于 AD / BBi，所以 AOD 和厶 BQB 相似， 从而：OA OD AD乙又- -，二 ill；丨讣；：.-匚 E，-，-，QB严,心2晅八“斶C（0, 0,竽），野（0,誓G（0,竽.竽），尿您A（0T马二0）, B（弋2, 0、0） GABiC 的重心，0）, D2V3（

32、8分）设直线 GD 与平面 ABC 所成角设 平屁（罟，竽，0）,玄（,竽，竽），23 .23亠= 丁 日令 y=i，则 z= - i,：, 一 ，所以一 I .：.（ iO 分）面 ABC 的由住迺 R 可得一Ln - AC =0法 向 量23丽、丽、y+z=0为 ：.二.丁、二.二，_所以直线 GD 与平面 ABC 所成角的正弦值为一 （ 12 分）65【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法, 考查空间想象能力以及计算能力.10. 在矩形 ABCD 中，AB=4 匸，AD=2 二，将 ABD 沿 BD 折起，使得点 A 折cos9二时，求 BC 与平面 A

33、BD 所成角的正弦值.【分析】（1）过 A 作 BD 的垂线交 BD 于 E，交 DC 于 F，连接 CE，利用勾股定 理及余弦定理计算 AE，CE,由 A E 丄 CE 得出 A C;（2）利用余弦定理可得 A F=，从而得出 A F 丄平面 ABCD，以 F 为原点巒爭呼* T）起至 A,设二面角 A - BD - C 的大小为9.(1)当9=90。时，求 AC的长;(2)当CBC建立坐标系，求出和平面ABD 的法向量I,则 BC 与平面 A BD 所成角的正弦值为|cosv二三| .【解答】解：（1）在图 1 中，过 A 作 BD 的垂线交 BD 于 E,交 DC 于 F,连接CE.AB

34、=4“；：！;, AD=2：!；， BD= |：=10.，BE=8，cos/CBE，= 一 .在 BCE中，由余弦定理得CE=-| =2 _;.V0=90 ,二 A E 丄平 ABCD，二 A ESE.二1 AC =E+CE42“!.（2）DE= =2. tan/ FDE=岸干-_,AEF=1, DF=p=:当仝-1 即 cos/ A EF=时，,_）I J .AE2=AF2+EF2,A/AFE=90又 BD 丄 AE , BD 丄 EF，二 BD 丄平面 AEF，二 BD 丄 AF.AF 丄平面 ABCD .以 F 为原点，以 FC 为 x 轴，以过 F 的 AD 的平行线为 y 轴，以 F

35、A为 z 轴建立 空间直角坐标系如图所示: .A（ 0, 0,岳），D（頁，0, 0）, B（3 燥,於,0）, C（鉅,0,0）.1= （0,2 - , 0）, 1.= （4: ,2： ,0） ,二（-,0, _?）.设平面 ABD 的法向量为 n= （x , y , z）,贝,Ln-DAZ二0lV5x+/15z=0令 z=1 得匸2_、,1） .-cosv- 二 = =-cos . BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为丄丄.【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题.11. 如图，由直三棱柱 ABC- A1B1C1和四棱锥 D - BBiGC 构成的几何体中，/

36、BAC=90, AB=1，BC=BBi=2，CiD=CD= 二，平面 CCiD 丄平面 ACCiAi.(I)求证：AC 丄 DCi；(U)若M为 DCi的中点，求证：AM /平面 DBBi；7T(rn)在线段 BC 上是否存在点 P,使直线 DP 与平面 BBiD 所成的角为 ？若【分析】(I)证明 AC 丄 CG,得到 AC 丄平面 CCiD，即可证明 AC 丄 DCi.(U)易得/BAC=90，建立空间直角坐标系 A-xyz,依据已知条件可得 A (0, 0, 0)，G 岳)，苗，0)，B (0, 0, i)，Bi（2, 0, 1）, D（L 站，2）,利用向量求得 AM 与平面 DBBi

37、所成角为 0,即 AM /平面 DBBi.（川）利用向量求解【解答】 解：（I） 证明： 在直三棱柱 ABC - AiBiCi中， CG 丄平面 ABC,故 AC 丄 CCi,由平面 CCiD 丄平面 ACCiAi,且平面 CCiD Cl 平面 ACCiAi=CCi,所以 AC 丄平面 CCiD ,又 CiD?平面 CCiD，所以 AC 丄 DCi.（U）证明：在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，AAi丄平面 ABC,所以 AAi丄 AB, AAi丄 AC,又/ BAC=90，所以，如图建立空间直角坐标系 A - xyz,依据已知条件可得 A （0, 0, 0）, . 1，亠? J,B（

38、0, 0, i）,Bi（2, 0, i）, D（l,応 2）,所以厂1 H，亍i.-,设平面 DBBi的法向量为二.；,n-BBi =0 f 2x=0由1即 :E 丽二 01 比+口令 y=i，则二 ，x=0，于是 n= （山 1, W3），因为 M 为 DCi 中点，所以（一-:,所以-_- ,由：.：.丨1.- | ,可得乩 ,所以 AM 与平面 DBBi所成角为 0, 即 AM /平面 DBBi.(川)解：由(n)可知平面 BBlD 的法向量为/7 .设王 J 三，入 0, 1,若直线 DP 与平面DBBi 成角为二， 则3- ，I n | | DP | 吋 4 入 J 入 +52解得1

39、41 .，故不存在这样的点.D【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角属于中 档题12. 如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方形，平面 AED 丄平面 ABCD，AB=EA=ED，EF / BD(I)证明：AE 丄 CD(II) 在棱 ED 上是否存在点M，使得直线 AM 与平面 EFBD 所成角的正弦值 为上？若存在，确定点 M 的位置；若不存在，请说明理由.【分析】(I)利用面面垂直的性质得出 CD 丄平面 AED，故而 AE 丄 CD;(II)取 AD 的中点 0,连接 EO ,以 0 为原点建立坐标系，设 -，求出平ED面 BDEF 的法向量，

40、令| cosv叮.：|二二，根据方程的解得出结论.【解答】(I)证明：四边形 ABCD 是正方形，二 CD 丄 AD，又平面 AED 丄平面 ABCD，平面 AEDG平面 ABCD=AD，CD?平面 ABCD， CD 丄平面 AED AE?平面 AED， AE 丄 CD .(II)解： 取 AD 的中点 0,过 O 作 ON / AB 交 BC 于 N， 连接 EO， EA=ED， 二 OE丄 AD，又平面 AED 丄平面 ABCD，平面 AEDG平面 ABCD=AD，OE?平面 AED， OE 丄平面 ABCD，设正方形 ACD 的边长为 2,.,-入)设平面 BDEF 的法向量为= (x,

41、 y, z),以 O 为原点建立空间直角坐标系 O - xyz.如图所示:则 A (1, 0, 0), B (1, 2, 0), D (- 1,0, 0), E (0, 0, 1), M (-入，0, 1AM=(-入-1, 0, 1-入)：= (1,0,1), = (2, 2, 0),Bn*DB=O则*二二，即*LnpDE=O誓,令 x=1 得二Lx+z=O(1,- 1,- 1),令 Ii-,解得入=o,V3rV2 +2$当M与点 E 重合时，直线 AM 与平面 EFBD 所成角的正弦值为；.【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题.13. 如图，在四棱锥 P AB

42、CD 中，/ ABC= / ACD=90, / BAC= / CAD=60, PA丄平面 ABCD，PA=2，AB=1 .(1) 设点 E 为 PD 的中点，求证：CE/平面 PAB;(2) 线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 CN 与平面 PAC 所成的角B的正弦 值为一一？若存在，试确定点 N 的位置，若不存在，请说明理由.5【分析】(1)取 AD 中点 M，利用三角形的中位线证明 EM /平面 PAB，利用同 位角相等证明 MC/ AB，得到平面 EMC /平面 PAB，证得 EC/平面 PAB;(2)建立坐标系，求出平面 PAC 的法向量，利用直线 CN 与平面 PAC 所成的

43、角 B的正弦值为 I ，可得结论.5 COSV.L = M =三 r.r -:【解答】(1)证明：取 AD 中点 M，连 EM , CM,贝 U EM / PA. EM?平面 PAB, PA?平面 PAB, EM /平面 PAB.在 RtAACD 中，/ CAD=60, AC=AM=2 ,二/ ACM=60.而/ BAC=60,：MC / AB. MC?平面 PAB, AB?平面 PAB,AMC /平面 PAB . EMAMC=M，二平面 EMC / 平面 PAB . EC?平面 EMC ,二 EC / 平面 PAB. N 为 PD 的中点,使得直线 CN 与平面 PAC 所成的角B的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学(2)解：过 A 作 AF 丄 AD，交 BC 于 F,建立如图所示的坐标系，则 A(0 ,0 ,D(0, 4, 0), P(0, 0, 2),设平面 PAC 的法向量为= (x, y, z),设 PN=讯)(0|，巧，(=,1, 0),生分析解决问题的能力，属于中档题.14. 如图，四棱锥 P- ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，平面 PAB 丄平面 ABCD ,PB=PC,/ ABC=45,点 E 是线段 PA 上靠近点 A 的三等分点.（I）求证：AB 丄 PC;“）若厶 PAB 是边长