专题突破立体几何之《立体几何中的最值问题》doc

1、突破立体几何之立体几何中的最值问题考点动向高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练例如图，在直三棱柱AABC A1B1C1 中，底面为直角三角形，CBACB90 ，AC6，BCCC12是 BC上一动点，则 CPA1PPA 的最小值11为解析考虑将立体几何问题通过图形变换，转化为平面几何问题解答A

2、解连结 A1B ，沿 BC1将 CBC1展开与 A1 BC1 在同一个平面内，如图所示，连A1C ，则 A1C 的长度就是所求的最小值通过计A1算 可 得A1C1C 90 ， 又 BC1C45 故图PC1B1CCBPC1B1A1C1C 135 ，由余弦定理可求得AC1 5 2例 如图，在四棱锥 PABCD 中， PPA 底面ABCD，DAB为直角，A B C，DA D 2C D， E，AFB分别为PC，CD 的中点A（ I）试证： CD 平面 BEF ；（ II ）设 PA k AB ，且二面角 E BD C的平面角大于 30 ，求 k 的取值范围图EDFCB图解析对（ I ），可以借助线面垂

3、直的判定定理，或者借助平面的法向量及直线的方向向量解答；对（ II ），关键是确定出所求二面角的平面角解法（ I）证：由已知 DF AB 且 DAB 为直角，P故 ABFD 是矩形，从而 CDBF 又 PA底面EABCD ， CD AD ，故由三垂线定理知CD PD DFC在 PDC 中， E ， F 分别为 PC ， CD 的中点，故ABEF PD ，从而 CD EF ，由此得 CD 面 BEF 图（II）连接 AC 交 BF 于 G ，易知 G 为 AC 的中点，连接 EG ，则在 PAC 中易知 EG PA 又因 PA 底面 ABCD ，故 EG 底面 ABCD 在底面 ABCD 中，过

4、 G 作 GH BD ，垂足为 H ，连接 EH ，由三垂线定理知EH BD，从而 EHG为二面角 EBDC 的平面角DFCABaPAC 中设， 则在，有EG1PA12ka 以下计算 GH ，考虑底面的2G平面图（如图），连接 GD，因HSGBD11BD GHGBDF，22AB故 GHGB DFa ，在 ABD 中，因 AB图BDAD2a ，得 BD5a 而 GB1 FB1 AD a ， DFAB ，22GB AB a a5EG1 ka5从而得 GH2k BD5aa 因此 tan EHGGH525a5故 k0知 EHG 是锐角，故要使 EHG30 ，必须5 k tan 303 ，23解之得，

5、k 的取值范围为 k215 15解法（ I）如图， 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AP所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，设ABa ，则易知点A， B，C，D，F 的坐标分别为 A 0，0，0 ， B a，0，0 ， C 2a，2a，0 ， D 0，2a，0 ， Fa，2a，0 从而 DC(2 a，0，0)，BF(0，2a，0) ， DC BF0，故 DCBF 设 PAb，则 P(00， )b，而 E为 PC中zybP点 ， 故， 从 而EE a， a，2DCFbDCBE 0，故B E 0， ， a A Ox2B图D CBE由此得 CD面BEF （

6、 II ）设 E 在 xOy 平面上的投影为G，过 G作GHBD 垂足为 H ，由三垂线定理知EHBD 从而EHG 为二面角 EBD C 的平面角由PAk AB 得 P(0，0， ka) ，kaE a， a， ， G (a， a，0) 设 H ( x， y，0) ，则 GH (x a， y a，0)，BD ( a，2a，0) ， 2由 GH BD 0 得 a(x a)2a( y a) 0 ，即 x 2 ya 又因 BH( xa， y，0) ，且 BH 与 BD 的方向相同，故x ay ，a2a即 2x y2a由解得342，1， ，5xaa 0GHa， ya ，从而 GH55a555EGka5t

7、an EHG2k GH52a5由 k0 知EHG 是锐角， 由EHG 30，得 tan EHGtan30，即5 k3 23215故 k 的取值范围为 k15 规律小结 立体几何中的最值与范围，需要首先确定最值或范围的主体，确定题目中描述的相关变动的量，根据必要， 可确定是利用几何方法解答，还是转化为代数 （特别是函数） 问题解答其中的几何方法， 往往是进行翻折变换，这时可以想象实际情形，认为几何体是利用硬纸等折成的，可以动手翻折的，在平时做练习时，不妨多动手试试，培养自己的空间想象能力，在考试时就可以不动手，动脑想就可以了特别注意变动的过程，抓住变动的起始与终了等特殊环节考点误区分析（）这类问

8、题容易成为难点，关键是学生的空间想象能力缺乏，或者对问题的转化方向不明确 因此，要注意常见的转化方向，如化立体几何问题为平面几何问题，或化立体几何问题为代数问题等，根据题目特征进行转化（）对题目所描述的情形没有清醒的认识也是造成错解的主要原因，注意产生量的变化的主要原因是什么，相关的数量和位置关系都做怎样的变化，抓住问题的关键，才能顺利解决问题同步训练如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1C1FAB BC2， BB1 2， ABC90 ， E,FEB1分别为 AA1 ,C1 B1 的中点，沿棱柱的表面从E到F两CA点的最短路径的长度为有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三Ba图角形的三边长分别为3a,4a,5a( a0) 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是_ 如图， 正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB 平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是图参考答案 解析分别将 A1B1C1 沿 A1B1 折到平面 ABB1 A1 上；将 A1B1C1 沿 A1C1 折到平面 ACC1 A1 上；将 BCC1B1 沿 BB1 折到平面 ABB1A1 上；将 BCC1B1 沿 CC1 折到平面 ACC1 A1上，比较其中EF 长即可答案 322解析可知，全面积最小的是四棱柱面