一阶常系数线性差分方程

1、第二节一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为yt+i+ayt f(t) (11 2 1)和yt+i+ayt 0,(11 2 2)其中f(t)为t的已知函数，a丰0为常数.我们称方程(11 2 1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11 2 2)称为其对应的齐次差分方程.一、齐次差分方程的通解将方程(11 2 2)改写为：yt+1 ayt, t 0,1,2,.假定在初始时刻(即t 0)时，函数yt取任意值A,那么由上式逐次迭代，算得y1 ayo aA,y2 ay1 ( a)2A,由数学归纳法易知，方程(11 2 2)的通解为yt A( a)t, t 0,1,2,.如果给定初始条

2、件t 0时yt yo,则A yo,此时特解为：yt y0( a)t.(112 3)二、非齐次方程的通解与特解求非齐次方程(11 2 1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11 2 1)的特解的常用方法为待定系数法.1.迭代法求通解将方程(11 2 1)改写为yt+1 ( a)yt+f(t), t 0,1,2,.逐步迭代，则有y1 ( a)yo+f(0),y2 ( a)2y0+( a)f(0)+f(1),y3 ( a)3y0+( a)2f(0)+( a)f(1)+f(2),由数学归纳法，可得yt(a)ty0+(a)t1f(0)+(a)t2f(1)+f(t1) (a)ty0+yt

3、,(t 0,1,2,)，(11 24)其中t 1yt ( a)t 1f(0)+( a)t2f(1)+.+f(t 1)( a)i f(t i 1)(11 2 5)i 0为方程(11 2 1)的特解.而yA(t) ( a)ty0为(11 2 1)对应的齐次方程(11 2 2)的通解.这里y A为任意常数.因此，(11 2 4)式为非齐次方程(11 2 1)的通解.与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(112 1)的通解(11 24 )也可以由齐次方程(11 2 2)的通解(11 2 3)经由常数变易法求得，这里不予赘述.1例1求差分方程yt+11 yt 2t的通解.22方程为一阶非齐次线性差分方程

4、其中1 ,f(t)2于是由非齐次方程的特解公式(11 25)有tyti2t i由(11 2这里A2t2t1(4)1 141(1)t1(22t 1).4）式，得所给方程的通解J、t 12 31ytA2)t+3(2)t1(22t1) 2t+12A 为任意常数.3待定系数法求特解2.迭代法虽然可直接推导出非齐次方程经常用公式（11 2 5）直接去求方程（11 1 1）的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方 程（11 2 1）的特解的别的方法.与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的f（t），常采用待定系数法去求方程（11 2 1）的特解，而不是直接利用公式（11 2 5）求特解.下面介绍经济学中常

5、见的几类特殊f（t）的形式及求其特解的待定系数法.情形If（t）为常数.这时，方程（11 2 1）变为yt+1 + ayt b,（11 2 1）的通解公式（11 2 4），但是在实际应用中(11 2 6)这里a,b均为非零常数.试以y 口（ 口为待定常数）形式的特解代入方程（11 2 6），得当a工1时，可求得特解yt当a 1时，这时改设特解yt11（ i为待定系数），将其代入方程（11 2 6），得1 (t+1)+ a t(1 + a) b,因a1,故求得特解Yt bt (a1).综上所述，方程(11 26）的通解为ytyA（t）+ytA( a)t1,(11 2 7)A bt,1,其中A为任

6、意常数.例2求差分方程yt+1解因a 2丰1,b 5,故由通解公式（112yt5的通解.2 7），得原方程的通解为10yt A 2t 5, A为任意常数.例3 求差分方程yt+i yt5满足初始条件yo 1的通解.解 因a 1,b5,则由通解公式(11 2 7)，得原方程的通解为yt A 5t,以t 0,yo 1代入通解之中，求得A 1.于是，所求方程的特解为yt 1 5t.情形n f(t)为t的多项式.为讨论简便起见，不妨设 f(t) bo+b1t(t的一次多项式)，即考虑差分方程 yt+1+ayt bo+b1t,t 1,2,，(11 2 8)其中a,bo,b1均为常数，且0,"工

7、0.试以特解yt+ t,(,为待定系数)代入方程(11 2 8)，得+ (t+1)+a( + t) bo+b1t,上式对一切t值均成立，其充分必要条件是：1)；当1+az 0时，即1于是， 方程(11 2 8)的特解为y当a 1时，改设特解(1 a)bo,(1 a)b1.时，bob1b12， ,1a (1a)1 abob1b!2t (a 丰 1 a (1 a) 1 aYt ( + t)t t+ t2,将其代入方程(11 2 8),并注意1,可求得特解- 1 1 2 yt (bo b1)t+b1t2 (a 1).2 2综上所述，方程(11 2 10)的通解为A( a)t-b-匚2-匚t, a 1

8、,(11 2 9)1a (1a)1 a1 1 2A (bo2d)t 2bit ,a 1.1例4求差分方程yt+1 3yt 2t满足yo 的特解.2解 因a 3丰1,bo o,b1 2,故由通解公式(11 2 9)得所给方程的通解为.1yt A 3t 一 t,2A为任意常数.1以t 0,y。1代入上式，求得 A 1,于是所求方程的特解为2t 1yt 3 t.2例5 求差分方程yt+i yt 3+2t的通解.解因a 1,bo 3,bi 2,故由通解公式(11 2 9)得所给方程的通解为yt A+2t+t2,A为任意常数.情形川f(t)为指数函数.不妨设f(t) b dt,这里b,d均为非零常数，于

9、是方程(11 2 1)变为yt+1+ayt b dt, t 0,1,2,.(11 2 10)当a+d工0时，设方程(11 2 10)有特解ytdt，这里 为待定系数.将其代入方程(11 2 10)，得dt+1+a dt b dt,求得特解- b yt - d (a+dz 0);a d当a+d 0时，改设(11 2 10)的特解yt 口 tdt, 口为待定系数，将其代入方程(11 2 10),注意a+d 0,可求得特解yt btdt(a+d 0).综合上述，方程(11 210)的通解为A( a)tb dt.,ad0,yt yA(t)+ yta d(11 2 11)A( a)tbtdt,ad0.例

10、6求差分方程yt+1 yt 2t的通解.解 因a 1,b 1,d 2，故a+d 1 z 0.由通解公式(11 2 11)得原方程的通解yt A+2t, A为任意常数.1例7求差分方程2yt+1 yt 3 (一)七的通解.2131解 因a ,b 一 ,d ,故a+d 0.由通解公式(11 2 11),得原方程的通解2 2 21 tyt (A+3t) (二)2A为任意常数.情形Wf(t)为正弦、余弦型三角函数.设f(t) b1cos® t+ b2sin31,其中b1,b2, ®均为常数，且w z 0, b1与b2不同时为零.于是非齐次方程(11 2 1)变为yt+1+ayt b

11、1coswt+b2sinwt, az0, t 0,1,2,.(11 2 12)设方程(11 2 12)有特解这里，均为待定系数将其代入方程(11 2 12)得cos3(t+1)+ 3»in 3(t+1)+a ocosw +a 3»int bicos® +b2Sin w t利用三角恒等式，经整理得(ocosw+ 传i nw+a o)cos w +( ain w+ 3cosw+a ®sin t bi cos w + b2s in w, 上式对t 0,1,2,恒成立的充分必要条件是(asincos ) sin(a cos )th,b2.这是关于，为未知量的线性

12、方程组,其系数行列式a cossinsincos(a+cos)2+sin2 ,当D工0时，则可求得其解1D1Db(atb(a当 D (a+cos )2+ sin2 0 时,2kn或1.coscos则有2ka 1.bzsi nb sin兀(k为整数).(11(112 13)2 13)'这时，我们改设特解,为待定系数.将其代入(11yt(11 2t( cosw + sin w),12),并利用条件(11D,b2.13)',经整理可得结合上述，方程a)t cos t t(b| cos2kn2 12)的通解为A(AytA(sin t, b2 sin 2k n),1)t t b cos(

13、2k(2k 1) n0,见(11 2 13),2k na 1,1) n psin(2k1) n,1.(11 2 14值得注意的是：若f(t)yt)b1coswt或f(t) b2sinwt时，方程(11 2 12)所应设的特解仍取为 ocosw + 3sin wt或 yt t( cosw + sin w )的形式，不能省略其中任何一项.例8 求差分方程yt+1 2yt cost的通解.解对应齐次方程的通解为yA(t) A 2t.设非齐次方程的特解为yt acost+ nt,其中a，卩为待定系数将其代入原方程，并利用三角函数的和角公式，得(COS1 2)si n1si n1 1,(cos12) 0

14、.由此求得cos1 2si n15 4cos154cos1于是，所给方程的通解为2 cos1sin1.,ytA 2tcostsint5 4cos15 4cos1其中A为任意常数.上述f(t)的四种类型，已基本包含了经济学应用中常见的函数类型.实际中，若遇到这几种类型的线性组合形式的f(t),则可设试解函数为同类型特解的线性组合例如，对于函数f(t) t+3et+2sint时，我们可设试解函数为ty (Bo+Bit)+B2e+B3cost+B4sint,这里Bo, B1, B2, B3, B4均为待定常数.习题11 21、t 2 t 11. 验证y1(t) = 1,y2(t) 是方程yt+2 2

15、yt+1 + yt 0的解，并求该差分方程的通t 1t 3 t 3解.2. 已知 y1(t) 2t,y2(t) 2t 3t 是差分方程 yt+1+a(t)yt f(t)的两个特解，求 a(t)及 f(t).3. 设 y1(t),y2(t),y3(t)分别是差分方程：yt+1 + ayt f1(t); yt+1+ayt f2(t); yt+1 + ayt f3(t)的解， 求证：z(t) y1 (t)+ y2(t)+ y3(t)是差分方程 yt+1+ayt f1(t)+f2(t)+f3(t)的解.4. 求下列差分方程的通解：(1) 3yt+1 + yt 4; 2yt+1+yt 3+t; yt+1+yt 2t； yt+1 yt 2t cosn t.提示：设特解 yt 2t(B1Cosn t+B2sin n t),B1,B2为待定系数5. 求下列差分方程的特解：(1) 16yt+1 6yt 1, yo 0.2;(2) 2yt+1 yt 2+t, yo 4; yt+1 yt 2t 1,yo 5; yt+1+4yt 3sinn t, yo 1.