sx1209数学与当代科学技术报告

1、专题 9数学与当代科学技术在科学发展的进程中，数学的作用日渐凸显，一方面，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学；另一方面，随着计算机科学的迅猛发展，数学兼有了科学与技术的双重身份，现代科学技术越来越表现为一种数学技术。当代科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是数学思想和方法的运用。精确定量思维是对当代科技人员的共同要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的计算机软件，以便得到更广泛和方便的应用。高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不

2、是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。传统的观点认为， 理论与实验是科学研究的两个基本方法。 由于 20世纪前半期数学的巨大发展，使得它的研究领域空前扩大，因而使得众多的实际问题可以转化为数学问题。二次世界大战以来，社会各方面的实际需要向数学提出了空前大量的问题。二次世界大战后电子计算机及计算机技术（软件、多媒体等）的发展，使得以往无法实现的繁杂计算和不敢设想的算法（如计算机模拟）都可以进行。如今，科学计算已经和理论、实验共同构成当代科学研究的三大支柱。第一部分数学与当代自然科学我们这里所说的自然科学，主要是指物理学、化学、天文学、地学、生物学这样一些基础学科。数学与自然科学在2

3、0世纪越来越紧密地相互结合，越来越深刻地相互影响和渗透，产生出许多交叉学科，形成了一个规模庞大的数理科学系统。传统的观点认为，理论与实验是科学研究的两个基本方法。由于 20世纪前半期数学的巨大发展，使得它的研究领域空前扩大，因而使得众多的实际问题可以转化为数学问题。二次世界大战以来，社会各方面的实际需要向数学提出了空前大量的问题。二次世界大战后电子计算机及计算机技术（软件、多媒体等）的发展，使得以往无法实现的繁杂计算和不敢设想的算法（如计算机模拟）都可以进行。如今，科学计算已经和理论、实验共同构成当代科学研究的三大支柱。一、数学与天文学天文学是最早运用数学的科学领域，这可以上溯到2000 多年

4、前的古希腊时代。17 世纪，牛顿完成了哥白尼所开创的天文学革命，为经典天文学奠定了基础，而他的天文学（天体力学）本质上是数学的而不是物理学的。借助数学方法和和计算技术，天体力学在当代获得了引人注目的成就，例如，应用牛顿定律和高速计算机，天文学家们已经预测了太阳系在未来亿年内的运动情形。当代，数学在天文学中的应用更加广泛和深入。一个著名的例子是天体物理中的数值模拟。天文学研究的许多问题，如宇宙、星系的演化，太阳系中行星、卫星的形成，其尺度常常是以光年计算的（例如，离太阳系最近的恒星是半人马座比邻星，距离大约为4.3 光年；银河系的范围约为 10 万光年； 最近的河外星系的距离约为100万光年），

5、其时间常常是以亿年计算的（例如，太阳系是在距今50 46 亿年前形成的） ，天体及宇宙空间中的超高温、超低温、超高压、超高密度以及其他许多物理条件，都不是世界上任何实验室所能达到的，研究有关的物理过程又涉及到极为复杂的多变量微分方程和积分方程。例如，太阳的表面温度为 5770K ，白矮星的密度为每立方厘米105 107 克， 20 世纪20 年代，人们发现天狼星的一颗伴星，其质量约为太阳的1.053 倍，但半径却只有0.0074太阳半径，平均密度高达每立方厘米 10 6 克，温度约 107K。中子星的密度为每立方厘米1013 10 16 克等。因此，对这些问题的研究既需要进行大型的复杂计算，又

6、需要进行大量的模拟试验。随着大型计算机的出现与计算机科学的发展，数值模拟方法应运而生，成为天文学家手中的强有力工具。现代宇宙学中的宇宙模型。二、数学与物理学一位物理学家写道： “贯穿整个物理科学的曲折变化的历史， 有一个仍然不变的因素， 就是数学想象力的绝对重要性。每个世纪都有它特有的科学预见和它特有的数学风格。每个世纪物理科学的主要进展是在经验的观察与纯数学的直觉相结合的引导下取得的。对于一个物理学家来说，数学不仅是计算现象的工具，也是得以创造新理论的概念和原理的主要源泉。 ” 相对论和量子力学是现代物理学的核心领域，它们的建立与发展都与数学有密切关系。1爱因斯坦的广义相对论。1905 19

7、15 年，爱因斯坦发展了他的广义相对论，其核心是引力理论，关键是认识到引力只是时空弯曲的一种表现。广义相对论认为，引力场的分布将影响到光的传播路径，例如，爱因斯坦预言，来自恒星的光从太阳近旁掠过时将向太阳一方偏斜，于是，从地球上观测到的恒星位置将背离太阳移动。由于光线在空间中总是沿着最短路径传播，光线路径的弯曲实际上表明引力场的空间是弯曲的。空间弯曲的程度是由宇宙中物质的分布所决定，一个区域内的物质密度越大，空间的曲率也就越大。爱因斯坦并不需要重新发明关于弯曲空间的数学，他发现一切都已经准备好了：在此之前半个世纪，数学家黎曼就研究了弯曲的三维空间的问题；广义相对论所需要的另一个数学工具张量分析

8、也已经在 19 世纪末初步建立。2量子力学。量子力学的两种基本形式：矩阵力学与波动力学。1900 年，德国物理学家普朗克发现，像物质一样，能量也只能被分为有限的份数，而不是无穷多份。他的这个工作的中心是一个数学关系，它表明，量子的能量可以用辐射的频率乘以一个新的基本自然常数来计算，现在这个常数就被称为普朗克常数。1925 年月，德国物理学家海森堡发表论文“关于运动学和动力学关系的重新解释” ，从丹麦物理学家玻尔的对应原理出发，由经典运动方程加量子条件，得到了一个仅以可观察量为基础的量子力学运动方程，并用这个方程求解一个较简单的非谐振子量子力学系统，得到了与实验相符的频率和跃迁几率。两个月后，德

9、国物理学家玻恩及其学生P. 约旦发表论文“论量子力学” ，用矩阵代数的形式系统地表示海森堡理论，矩阵元对应于可观察量，矩阵乘法规则与海森堡运算规则一致，得出的矩阵方程相当于海森堡量子条件。随后， 他们与海森堡合作发表了论文“论量子力学” ，系统地发展起矩阵形式的量子力学体系，成功地处理了一系列问题，从而建立了量子力学的基本形式之一 矩阵力学。矩阵论是在 19 世纪中期由英国数学家凯莱在研究线性变换不变量问题时开创的，矩阵代数的运算与通常的代数运算有一个明显的差异：矩阵乘法不满足交换律。后来人们认识到，这个不对称的数学特点联系着这样一个事实：仅仅是测量的前后次序不同，微观世界就可能给出不同的结果

10、。这是量子世界所显示的许多奇特性质之一。从1926 年 1月27日到 6 月23日，奥地利物理学家薛定谔接连发表篇关于量子力学的论文，致力于用一个全新的数学量 波函数描述微观客体在时空中的定态和运动变化，并建立起相应的波动方程，以数学语言表达了在空间以特定形式传播或振动的波的性质，给出了波函数随空间坐标和时间变化的关系。求解这些偏微分方程得出的本征值就是量子化假设中的分立能级，对一系列实例得出了与实验相符的理论解。论文还分析了微观系统和宏观的关系，证明了这种波动力学与矩阵力学在数学上的等价性。还有一件事情值得一提：1924 年，希尔伯特出版了数学物理方法 ，它恰好为第二年出现的量子力学准备了工

11、具。3群论与物理学。 运用群论方法， 研究系统的对称性质，引出系统的各种定量和定性的结论，有下面两个重要特点： 只要依据的对称性质是严格的，则由它引出的结论是精确的、可靠的； 对称性质与系统的具体细节无关，特别当我们对所研究对象还知之甚少的情况下，分析系统的对称性质，就可以得出一些带普遍性的结论来，甚至可以以对称性质作为依据，猜测和探索系统的基本运动规律。4规范场与纤维丛。 杨振宁几何和物理学 ：“回顾前面关于规范场的历史渊源的画面，我已经在其中列举了物理学家认为在描述实验定律时是必要的那些概念的发展。寻求这些概念的动机渊源于物理现象。因此十分令人惊讶的是人们发现规范场概念等同于叫做纤维丛的几

12、何概念，它是数学家完全独立地发展起来的，与物理实在没有任何关系。”5正电子的发现。1930 年，英国理论物理学家狄拉克(Paul Ddrac)发现了描述电子运动的正确方程，这一发现主要是基于对称性的考虑。但是出人意料的事情发生了：狄拉克方程预示着存在一个除了负荷外，每个方面都与电子一样的粒子。以前从未有人观察到这个假设中的“反粒子” ，于是实验物理学家们开始去寻找它。 1932 年 8 月?2 日，美国物理学家卡尔安德森 (Carl D.Anderson) 发现了正电子。人们称这个用数学方法预言而作出的发现是一个“比现实还现实”的优美例子。三、数学与地球科学在地球科学中运用数学方法，产生了计量

13、地理学、数学地质学、数值天气预报等一系列研究领域与方法，并在地震预报、地球物理学、海洋学等方面发挥了巨大作用。此外，现代地球科学中还广泛采用了高速计算、高速通讯、高速自动资料整理、数值模拟等高科技方法，许多实质性的进展依赖于有关的数学理论与方法的发展。数学在地球科学中不仅已经显示出巨大的作用，而且必将产生更为广泛和深刻的影响。航空摄影测量学。为了勘探地形和地下矿藏，一种简便易行的方法是用飞机或人造地球卫星在飞航途中每隔一定时间拍摄一张照片，再将许多照片上的图象拼成一幅完整的大图。由于地面时有起伏，机身也难免时有倾斜，种种因素影响，每张照片都可能存在误差。摄影过程实际上是一个中心投影变换，将地面

14、图景投影到照相底片的平面上。这两个平面如果不平行，底片上的图象就会变形，因而必须再通过中心投影变换把误差纠正过来，偏差多大角度就要纠正多大角度，这时就要应用射影几何知识进行精密的计算。1967 年，美籍法国数学家曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot， 1924）发表了 “不列颠的海岸线有多长，统计自相似性和分数维”一文，其中首先注意到更早的理查德森（ Richardson）已经作出的研究：当用无穷小的尺度去测量海岸线时，会得出海岸线是无限长的令人困惑的结论。曼德尔布罗特把这一结果与周期为无限的曲线结构联系起来。此后，他于 1977 年出版了分形：形状、机遇和维数，标志着分形理论的正

15、式诞生。这种探讨最初主要是纯粹数学意义上的，然而大量事实表明，分形在自然界中广泛存在着。在地球科学方面，十分引人注目的是分形地貌学的创立。分形地貌学是一门用现代非线性科学中的分形方法及原理研究地球表面起伏形态及其发生、发展和分布规律的新兴科学。以直线为基础的欧几里得几何无力描述大自然的真实面貌，而让位于以描述客观自然（如处处连续处处不可微的曲线）为己任的分形理论，分形地貌学也应运而生。19世纪末，挪威学者已将流体力学引入气象学研究，1922年理查森提出数值解法，但只有冯 诺伊曼等借助计算机与适当的数值方法才于1952 年首次实现数值天气预报。与气象学一样，当前一系列科学与工程领域的发展都依赖于

16、计算机与计算方法，这导致了大规模科学计算的迅猛发展。1998 年，当时的美国副总统戈尔提出了“数字地球”的构想，成为近年来地球科学领域最引人注目的话题之一。通俗地说，所谓数字地球就是一个数字化的地球仪，它可以按照统一的地球空间坐标，将地球的自然地理信息、社会经济数据、人文信息等组织起来，构成一个具有多分辨率、多类型、多时项的三维地球数据集。这种数字地球可以提供普通地球仪无法提供的许多重要信息，使人们可以任意选择、逐级放大或缩小所感兴趣的观察对象，可以快速、形象地了解地球上各种宏观、微观情况。 实现数字地球的基本前提是计算技术的支撑。气象、海洋、地震、遥感、资源探测、环境、生态等各种数据，其数量

17、都是大得难以想象的，必须借助电子计算机并运用强大的科学计算方法加以处理，以便从中得到有关地球的各种宏观和微观规律。四、数学与化学1数量化的化学分支。20 世纪以来，数学在化学中的作用日益广泛和深入，不仅已经成为化学领域不可缺少的工具，而且由于数学与化学的结合，产生了许多交叉学科，例如数理化学、化学动力学、量子化学、分子拓扑学、计算机化学等。当今化学由定性研究迅速向定量化研究的方向发展，与之相适应的数学及其算法不断出现。2几个著名的例群论与化学。群论是数学家们为探求一般五次以上高次方程的公式解而于19世纪创立的，如今它已在化学中获得了极为广泛的应用，例如对分子对称性的研究，对分子振动的研究，对晶

18、体结构的研究等，都使用了群论方法。此外，由于化学研究的需要也促进了群论中一系列相关的理论与方法的发展。正多面体与钛化合物。当代化学研究的结果表明，钛化合物具有正多面体的结构，而对正多面体的研究是古希腊数学家在两千多年前纯粹为了数学自身的目的发展起来的，最初完全是“无用”的。20世纪 80年代以前，人们认为碳只能以两种主要形式出现：金刚石和石墨。但是，数学家受到十二面体的旋转群启发，推测自然界有可能存在60，因为在数学上它有十分稳定的结构。 1985 年，化学家与物理学家合作，造出了由60个碳原子构成的形如足球的60分子，激起了科学界的极大震动。后来科学家又发现了50、 70、 84、 120

19、等各种各样的多面体碳分子，化学家根据它们的对称性对各种分子进行分类，群论在阐明它们的结构和性质方面特别有用。分形理论。近年发展起来的分形理论在化学中也有广泛的应用，例如：固体和流体间的化学反应是化学、化工、冶金、材料制备加工、腐蚀等极重要的反应过程。固体表面一般是粗糙的，于是就需要用分形理论和方法加以描述和研究。多孔性物质在地球表面极为普遍，在海洋化学、地球化学、石油开采等许多方面都遇到这样的表面，例如油田中贮油的砂岩的多孔结构等等。 生物躯体和生物高分子集团的复杂结构， 如肌肉中的微血管分布， 是“三维”的“粗糙”结构，这一结构与许多医药化学（如药物在人体中的扩散过程动力学）问题有密切关系。

20、大量的化学图谱（光谱、波谱、极谱 ）曲线实际上多是不平滑的，其粗糙度与信息量的关系值得探讨。液态和非晶态固体中原子排列、空隙分布、不同种原子及其集团的分布，牵涉到许多不规则的图形。许多不可逆过程的曲线，如化学振荡和化学混沌现象的曲线，也是欧几里得几何学难于描述的曲线。描述上述各种复杂的几何图象，把握其规律，从而研究上述化学体系的课题，在理论上和实际上都具有重大意义，分形理论的出现不仅为研究这些问题提供了理论基础，而且提供了强有力的方法。拓扑学研究的是图形经过连续变形之后仍能保持的性质。分子拓扑学的基本依据是：尽管分子的几何参数如原子间的距离、化学键的键角能够测定，但由于存在着各种分子内的运动，

21、例如分子振动、内转动等，原子在分子中的位置是不固定的。同时，分子的几何性质也受到周围环境不可忽视的影响，例如在溶液情况下溶剂的影响，在晶体情况下压力等的影响等。由分子内运动和由各种外部影响所引起的分子几何性质的改变，只要没有化学键的破坏与形成，就可以看作连续的形变，此时，分子中原子间相互关联的性质保持不变。分子中原子相互连通的全部信息确定了分子的拓扑性质。 20世纪 60年代，拓扑学已经被广泛地应用到化学领域，讨论配位络合物，平面不饱和碳体系的金属复合物，金属原子簇化合物和硼氢化合物等。人们越来越清楚地认识到拓扑性质是分子的重要性质。此后，关于分子结构的拓扑理论进一步发展起来，分子电荷分布的拓

22、扑性质、分子、结构的稳定性、分子结构变化的数学模式、化学键的拓扑理论、核势能与能量之间的拓扑关系以及分子体系势能面的拓扑性质等都逐渐建立，进而形成了一门以研究分子的拓扑性质及其应用为主要内容的分子拓扑学，并已成为分子结构和分子动力学理论中的重要组成部分。五、数学与生命科学19 世纪后期， 恩格斯曾指出， 数学在生物学中的应用等于零。20 世纪以来， 数学出人意料地与生命科学紧密地联系在一起，其结果是：在数学中出现了一个十分活跃的应用数学领域 生物数学；在生物学中则出现了数学生物学的庞大体系。简单地说，生物数学主要是指用于生物科学研究中的数学理论和方法，包括生物统计学， 生物微分方程， 生态系统

23、分析，生物控制，运筹对策等；数学生物学主要是指生物学不同领域中应用数学工具后所产生的生物学分支，例如：数学生态学，数量生理学，数量遗传学，数量分类学，数量生物经济学，传染病动力学，数理医药学，分子动力学，细胞动力学，人口动力学，以及神经科学的数学模拟等。今天，数学几乎触及到生物学的每个领域。数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一，它充分显示了数学的威力和多方面的适用性。这些数学工具帮助人们把生物学研究推到了科学的前沿 了解生命和智力。DNA 分子是生物传宗接代的主要物质基础，它是遗传信息存储的基本单位，许多有关生命起源的重大问题都依赖于对这种特殊分子的性质的深入了解。因此，关于DNA 分

24、子的结构与功能问题，几十年来一直吸引着许多生化学家和遗传学家们的注意。最近十几年来，科学家们越来越清楚地认识到，DNA 分子的三维空间的拓扑构型对它在细胞里如何发挥其功能有重要影响。借助数学模型方法，数学生物学家们解释了为什么处于哺乳动物体积分布谱两端的大象和老鼠身上的颜色比较均匀一致，而不太大也不太小的动物，例如斑马、金钱豹等，它们身上的花纹就会很不寻常。数学模拟可以解释为什么世界上有身上是斑点、尾巴是条纹的动物，却没有身上是条纹、 尾巴是斑点的动物。例如： 金钱豹的尾巴太细，使斑点都合并成了条纹。在当代，数学模型被广泛应用于在生理学领域，例如心脏、肾、胰脏、耳朵和许多其他器官的计算模型。随

25、着近年在计算技术和数值算法方面迅猛的发展，人们已经能够充分详细地模拟人体流体动力学功能并运用于认识和治疗疾病。数学模型还使高速计算机在药物成分设计和染色体组织的分析方面得以广泛应用。X 射线计算机断层扫描仪（简称CT）的问世是20 世纪医学中的奇迹，被认为是放射医学领域的一次革命性突破。其原理是基于不同的物质有不同的X 射线衰减系数。 如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图象。 但通过 X射线透射时， 只能测量到人体的直线上的 X 射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。能否通过这个平均值以求出整个衰减系数的分布呢？人们利用数学中的

26、拉东变换解决了这个问题，如今拉东变换已经成为CT 理论的核心。首创 CT 理论的 A.M.科马克及第一台 CT 制作者 C.N.洪斯菲尔德因而获得了1979 年诺贝尔医学和生理学奖。 另外，20 世纪 80 年代后期兴起的磁共振显像（MRI ）的主要技术之一也是数学方面的，它以19 世纪发展起来的傅立叶变换的快速精确的反演为主要特征。医学中应用数学方法的另一个典型例子是计算机数值诊断，即利用数学的信息理论、数据处理技术以及电子计算机这个强有力的工具，对病患者的症状表现和各种化验和检验指标进行数学加工分析，做出疾病的定量诊断结果。临床诊断是医生根据自己的经验和理论知识的推理做出最有可能的判断，诊

27、断的准确性与医生本人的经验和知识水平有着直接的关系。而数值诊断则不然，它依赖于大量的历史诊断记录和对这些资料的数学处理方式。已诊断的病例越多，症状资料越详细，处理方式越得当，就越能得到较确切的诊断结果。第二部分数学与高技术在当代高科技的发展中，数学的作用日渐凸显，一方面，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学；另一方面，随着计算机科学的迅猛发展，数学兼有了科学与技术的双重身份， 现代科学技术越来越表现为一种数学技术。当代科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是数学思想和方法的运用。精确定量思维是对当代科技人员的共同要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，

28、用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的计算机软件，以便得到更广泛和方便的应用。高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。数学在当代高技术中的应用极为广泛，我们只能象征性地举几个实例。一、数学与电子计算机电子计算机的发明与使用是第二次大战以来对人类文明影响最为深远的科技成就之一。电子计算机是数学与工程技术结合的产物，而在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作用。通用计算机的概念最先是由数学家巴贝奇提出；图灵从数学上证明了制造通用数字计算机的可能性；冯诺伊曼的程序存

29、储等思想至今仍是现代计算机的设计指南。毫无疑问，计算机的进一步发展，包括新型计算机（如大规模并行计算机、光计算机、量子计算机、生物计算机等） 的研制， 仍将借助于适当的数学理论与思想。电子计算机之所以有强大的功能，除了它本身独特的设计思想外，最主要的是因为有了软件的支持。计算机是由硬件和软件两部分组成的，如果说硬件是它的躯体，软件就是它的灵魂。软件的核心是算法，所以它是一种数学。 1997 年， IBM 公司制造的“深蓝”计算机惊人地一举击败了当今世界上国际象棋第一高手俄罗斯的卡斯帕罗夫，世界为之轰动。 “深蓝” 之所以能有如此水平，主要是由于十分巧妙的算法以及高速计算机的支持。二、可靠性的数

30、学理论所谓可靠性，是指单元或由单元组成的系统在一定条件下完成其预定功能的能力。在一个由若干元、部件组成的系统中，每个元、部件都有一定的寿命。某些元、部件的失效会导致整个系统的失效。为改善系统的可靠性性能，可以采取各种措施（如增设备份、预防性维修、定期更换等）。研究在各种措施下每个系统的概率规律性、 可靠性程度、 在给定时间内的失效数，以及在给定条件（如投资额、体积、重量等）下应采取怎样的措施使系统可靠性达到最大的数学理论，称为系统的可靠性理论。随着科学技术的进步， 虽然单个元部件的可靠性不断得到改善， 但是各类系统日趋复杂，要求它完成的功能也更广泛。单个元部件失效引起整个系统失效的代价越来越昂

31、贵，会在经济上、信誉上造成巨大损失，有时还会造成人员伤亡及政治上、心理上的严重后果。因此，象大型客机、核电站、宇航系统、军事指挥系统、大型计算机等都要求有极高的可靠性。如何正确估计大型系统的可靠性，是个重要的实际问题。三、数学、编码与通讯现代社会是信息化的社会，信息的获得、存储与传递都是十分重要的问题，而密码则是一种独特而重要的信息传递方式，其重要性在军事对抗、政治斗争、商业竞争等涉及不同利益的集团的对抗或竞争中是不言而喻的。一方面是有效地在我方内部迅速准确地传递各种信息而不被对方破译，另一方面是寻找破译对方信息的有效方法。因此，密码学的研究一直是世界各国政府和军方特别关注的。此外，密码学在控

32、制论、语言学、分子生物学等领域也有着重要的发展前景。现代密码学中几乎充满了数学：代数学、数论、组合数学、几何学、概率统计以及一些较新的数学分支，如信息论、 自动机理论等， 都对密码学的发展作出了贡献。近年来，计算机科学（尤其是算法论与计算复杂性理论）更对密码学产生了深刻的影响。1976年11月，美国斯坦福大学的两位电工学工程师迪费和海尔曼发表论文密码学的新方向，用他们提出的陷门单向函数发明了公开密钥码体制。传统的保密密钥码，其加密过程与解密过程是对称的， 加密密钥与解密密钥是相同的。陷门单向函数 f(n) 由一个重要性质：仅由已知的计算f(n) 的算法，要想找出计算其反函数f -1 (l)的容

33、易算法非常困难从而实际上是不可能的。这样就可以用f(n)作加密密钥并将其公开，用它的反函数f-1(l) 作为解密密钥并严格保密。 利用陷门单向函数， 就可以构成如下的公开密钥码体制。有一个部门， 下设 A，B ，C， 若干机构，各机构均有自己的陷门单向函数，分别为fA (n) ，f B(n) ， fC(n) ， ，各函数的算法分别作为各部门的编码(加密 )方法而公开，诸f A-1(l) ，f B-1(l) ， fC-1(l) ， 的容易算法，作为解密密钥是保密的。这样，部门中的任一机构（包括部门外的机构）都可给其中的一个机构发保密信。例如，B向 A 发保密信，方法是，设B向 A 所发的明文为

34、n，代入 A所公开的 f A (n)，得 f A(n) m， m 即为密文，由于只有A 知道 fA -1 (m)的容易算法，可由fA -1(m) f A -1(f A(n) n脱密。部门内的各成员可以彼此发签名信，例如B给 A 发签名信，方法是，先用 f B-1(l) 对明文n加密得f B-1(n) m，再用 fA (n)对 m加密得 f A(m) t. A 收到 t后，由 fA -1(t) m得 fB (m) fB (f B-1 (n) n，即可读到B 的原信。因为只有B才能发这样的双重加密信，所以B的签名是无法伪造的。近年来在通信事业中发展起一门新的科学 安全技术，包括消息认证和身份验证两

35、个方面。消息认证是检查收到的消息是否真实的一种手段，应用十分广泛，例如证券交易所和股票市场都离不开消息认证，在当今通信事业中，以及军事指挥中心、军事监听机构中等都要有很好的消息认证系统，以使受假消息影响的程度为最小。身份验证是检验消息的来源 （发信者）是否正确，或者传递的消息是否到达正确目的地（收信者）的方法。例如，如果你拥有一个计算机网络的终端设备，就不但可以随时查到你所需要的资料或信息，而且可以解决许多实际生活中的问题，如预订机票、市场购物、银行转账等，甚至可以通过计算机网络签署文件。使用计算机网络进行这些活动时，都需要将自己的身份告诉对方。为了使对方能确认你的身份是真实的，就需要相应的身

36、份验证方法。日常生活中，在信件上签名是很普通的事，但要通过电子通信手段在遥远的异地完成签名就不容易了。这种通过电子通信完成签名的手段称为数字签名。 前面介绍的 RSA 体制就是实现数字签名的一种有效方法。 数字签名首先是一种消息认证方法，另一方面，在通信双方发生争执时，又可由仲裁者进行公正裁决，因此它又是一种身份验证方法。四、数学与军用技术虽然在今天电子计算机已经渗透到现代社会的每个角落，但它最初却是为了军用目的发展起来的。计算机具有运算速度快、记忆容量大、逻辑判断能力强、计算精度高、自动化程度好等优点，因而从一诞生起就受到了军事家的青睐，被广泛用于侦察、预警、指挥、通信、兵器控制、导航、定位

37、、电子对抗、作战模拟和各种保障等方面。由于计算机技术的进步和数学算法的巨大改进，已可能用数学模型来代替许多试验，结果大大节省了成本，提高了设计的质量。这对于武器的研制特别重要，因为若进行具体的试验，不但既费钱又危险，而且在初期阶段实际上是无法办到的。例如，假如有一天世界全面禁止核试验，掌握了强大计算技术的国家仍然可以借助在以往核试验中获得的数据在计算机上进行模拟核试验，即使在核试验尚未被禁止的情况下，模拟试验也可以用来选择最佳试验方案从而减少试验次数，节省大量投资和时间并提高设计水平。显然，实现计算机模拟核试验的关键问题是相应的数学的理论与方法是否已经建立。模拟装置在一些发达国家的军队中使用已

38、久， 特别是随着最新技术的发展， 使军队可以把军事演习、实战演习和微观模拟融于一体，创造出一种高度逼真的模拟世界，使士兵如同置身于实战战场，从而获得最佳的演习效果。模拟装置有许多种，能适应各种不同的训练需要。虚拟模拟器，它能模拟飞机和坦克的驾驶舱，可以在无需高成本和长时间实际训练的情况下向学员传授基本的操作技术。实战模拟，它能控制在所需的范围内，使成千上万的真实士兵在虚拟的战场上用实战武器相互射击，武器中发射的是不会造成伤害的激光束或雷达波。结构性模拟， 它是一种专为高级指挥官设计的微观军事演习，它们基本上是电脑辅助的对弈，是一种可以取代大规模军队行动的软件计算。数字化战争。主要是以先进的数字

39、化技术，通过“数据兼容调制解调器”装置，实现战场上各军兵种和武器系统之间的相互联系，改变战场上的信息传递方式，从而加快部队的行动节奏和反应能力，提高部队的整体战斗力。与此同时，交战双方都将利用一切手段对对方指挥、控制系统进行打击、干扰、压制、迷惑和误导。1982 年英国与阿根廷马岛（马尔维纳斯群岛）海战。1991 年海湾战争。1999 年科索沃战争。随着高科技的发展， 一些国家的军事科技人员发现， 如果将计算机病毒的破坏和繁殖功能与“逻辑炸弹”的潜伏性结合起来，加上人工智能设计一种病毒程序，便可以造出更灵巧的病毒武器，它们既能够破坏特定目标，又可避开防毒程序。特制的计算机病毒武器能够有效地破坏

40、计算机系统或者使之发生误差，在军事上可用以破坏敌方的指挥、通信与控制系统，用于识别导弹发射、控制弹道和提供情报的战略计算机系统等。在 1991 年的海湾战争中美国就对伊拉克使用了计算机病毒武器。五、数学与航空航天技术20世纪 70年代以前， 飞行器设计所依靠的数据都是靠风洞模型实验得到的。特别是高性能飞机，过去通常主要用风洞试验以及类似的试验来设计，然后就建造一个模型，由试飞员去试飞，这不仅周期长、费用高，而且相当危险。70年代后期，这种情况有了改变。由于电子计算机技术的飞速发展，特别是高速巨型计算机的出现，能计算出极其精确的结果，导致了计算流体力学的诞生。计算流体力学研究如何对各种类型流体（气体、液体和特殊情况下的固体）在各种速度范围内的复杂流动，用大型计算机进行数值模拟计算。它涉及用计算机寻求流动问题的解和计算机在流体力学研究中的应用这两方面的问题。在当代飞行器的设计中，计算流体力学、风洞实验和自由飞行一起构成了获得气动数据的三种手段。虽然风洞实验仍是一个主要方法，但建造风洞的费用很高，而且有一定的局限性。随着现代高速飞行器设计的需要，实验的花费就更加巨大。如今，数值模拟方法已代替了许多实验，因为在大多数情况下采用这种方法不仅可以大大地缩短周期，降低费用，提高安全可靠性，而且具有容易改变参数重复计算的特点，这对于已有模型的微小改动工作（改型设计）尤