2012高考数学 精英备考专题讲座第一讲函数 第五节函数的综合应用2（理）

1、第五节 函数的综合应用(2)函数、导数、不等式等这三部分或它们的综合，在每年高考试题中都有大量出现，综合性都比较强，题目都有较高的难度；利用函数解不等式，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值等是考查的重点.特别今后，高考的应用题不一定是概率题，那么函数作为解决生活实际问题的重要方法，其应用题出现在高考试题中，并且可能常态化那也在情理之中.考试要求 能结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极大值、极小值以及生活中的优化问题.能够利用函数解决一些生活实际问题.题型一 函数与不等式例设函数，则使得的自变量的取值范围为（ ） A.

2、 B. C. D. 点拨：由分段函数的表达式知，需分成两类：解析：由，则或，解该不等式组得，.选A例2 已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是A B C D 点拨：注意的取值范围，利用均值不等式求解.解：作出函数f(x)=|lgx|的图象，由知，考察函数的单调性可知，当时，函数单调递减，故选C.易错点：例1分段函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式没注意到真数大于0，或没注意底数在（0，1）上时，或不等号的方向写错等；例2直接利用均值不等式求解得最小值为等错误.变式与引申1：已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为 变

3、式与引申2：已知二次函数，不等式的解集为若方程有两个相等的实根，求的解析式；若的最大值为正数，求实数的取值范围 题型二 函数与数列例3 已知函数 （1）求的值； （2）若数列，求列数的通项公式； （3）若数列bn满足，则实数k为何值时，不等式恒成立.点拨：（2）注意到，及，构成对进行运算；（3）求出，将裂项，并求和求出，再利用二次函数单调性求解.解：（1）令 令 （2） 由（1），知 +，得 （3）, 由条件，可知当恒成立时即可满足条件.设,当k0时，又二次函数的性质知不可能恒成立当k=0时，f（n）=n20恒成立；当k0时，由于对称轴直线f（n）在上为单调递减函数只要f（1）0，即可满足恒成

4、立由，k0 综上知，k0，不等式恒成立易错点：没有发现，可以结合，进行逆序求和；对不能裂项求和或求和中出错，对恒成立的讨论不够严谨造成错误.变式与引申3：已知定义在R上的函数，对于任意的实数a，b都有，且 求的值； 求的解析式（）变式与引申4：一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量（件）与电视广告每天的播放量（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.试写出该产品每天的销售量（件）关于电视广告每天的播放量（次）的函数关系式；要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加，则每天电视广告的播放量至少需多

5、少次？题型三 含参数的函数极值问题例4 设x1、 的两个极值点. （1）若，求函数f(x)的解析式； （2）若的最大值； （3）若，求证：点拨：（2）根据根与系数关系得出两根异号，则，再用导数求的最大值；（3）将不等式问题转化为求函数的最大值问题.解： （1）是函数f(x)的两个极值点， （2）x1、x2是 f(x)是两个极值点，x1、x2是方程的两根.= 4b2 + 12a3， >0对一切a > 0，恒成立. 由 令在（0，4）内是增函数； h (a)在（4，6）内是减函数.a = 4时，h(a)有极大值为96，上的最大值是96， b的最大值是 （3）证法一：x1、x2是方程的两

6、根， ， 证法二：x1、x2是方程的两根，.x1 < x < x2， 易错点：本题讨论、计算较多，不小心都容易出错，对问题的转化能力要求较高.变式与引申5： 若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围变式与引申6：已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围；题型四 函数应用题例5 2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即；9点20分作为第二个计算人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算

7、单位. （图1-5-2）10800360011 24 36 72 90 n对第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系（如图1-5-2）： ，对第个时刻离开园区的人数和时间（）满足以下关系（如图1-5-3）：（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻.（附） 点拨：（1）计算出入园游客总数与出园游客总数，其差就是所求；（2）当入园游客总数与出园游客总数之差最大，则游客总人数最多，按每段函数分别计算.解：（1）当且时， 当且时， 所以××； 另一方面，已经离开的游客总人数是：×；2分所以（人

8、）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有位游客. （2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间； (ii)当时，令，得出，即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多； 当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多； (iii)当时， 令时，即在下午点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. 易错点：（1）下午3点是哪个时段算不清出错；（2）不能读懂题意和看图，无从下手. 变式与引申7：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/

9、小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当时，求函数的表达式;（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时） 本节主要考查：函数与不等式、数列等知识的综合运用能力；考查了如何用导数求函数中含参数的与极值有关的综合题，考查了用函数如何建模，如何解决实际生活中出现的问题.考查了数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解

10、能力.点评：导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式或解决数列中的一些问题等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.习题1-5 .已知函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是A （-1，0）（0，1） B （-，-1）（1,+） C （-1，0）（1,+） D （-，-1）（0,1）.拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由（元）决定，其中m>0,是大于或等于m的最小整数，（如,），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 . .已知函数(1) 求证: 函数是偶函数;(2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明;(3) 若, 求证: .有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,26这26个自然数,见如下表格:abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526给出如下一个的变换公式:X= (xN,1x26,x不能被2整除) +13(