高中数学 2.3从速度的倍数到数乘向量教案 北师大版必修4

1、2.3从速度的倍数到数乘向量（2课时）一、教学目标：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1“模”与“方向”两点) 2三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助

2、学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解.2. 平面向量基本定理的理解. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影

3、机.四.教学设想 【探究新知】1思考: （引入新课）已知非零向量 作出+和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN=+=3=(-)+(-)+(-)=-3 讨论： 3与方向相同且|3|=3| -3与方向相反且|-3|=3|2从而提出课题：实数与向量的积；实数与向量的积，记作： 定义：实数与向量的积是一个向量，记作： |=|>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=（请学生自己解释其几何意义）展示投影例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）例1.（见P96例1）略展示投影思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）

4、结合律：()=() 第一分配律：(+)=+ 第二分配律：(+)=+ 结合律证明：如果=0，=0，=至少有一个成立，则式成立如果¹0，¹0，¹有：|()|=|=|()|=| |=| |()|=|()| 如果、同号，则式两端向量的方向都与同向；如果、异号，则式两端向量的方向都与反向。 从而()=()第一分配律证明：如果=0，=0，=至少有一个成立，则式显然成立如果¹0，¹0，¹当、同号时，则和同向，|(+)|=|+|=(|+|)|+|=|+|=|+|=(|+|)|、同号 两边向量方向都与同向 即：|(+)|=|+| 当、异号，当>时

5、 两边向量的方向都与同向当<时 两边向量的方向都与同向还可证：|(+)|=|+| 式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或=0，=1则式显然成立OABB1A1当¹，¹且¹0，¹1时1°当>0且¹1时在平面内任取一点O，作= = = = 则=+ +由作法知：有ÐOAB=ÐOA1B1 |=| OABOA1B1 ÐAOB=Ð A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|=| 与方向也相同AOBB1A1(+)=+ 当<0时 可类似证明：(+)=+ 式成立【探究新知】（师生

6、共同分析向量共线的充要条件）若有向量(¹)、，实数，使= 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线(¹)且|：|=，则当与同向时=；当与反向时=-从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=.展示投影例题讲评（师生共同分析，学生动手做）PBAO例2. （见P97例2）略例3.（P97例3改编）如图：，不共线，P点在AB上，求证：存在实数使（证明过程与P97例3完全类似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）【巩固深化，加强基础】98练习1、2、3、4题.例3图，不共线，=t (tÎR)用，表示.【探究新知、展示投影】1思考

7、：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2教师引导学生分析ONBMMCM设，是不共线向量，是平面内任一向量= =1 =+=1+2= =2得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2.注意几个问题： 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底. 这个定理也叫共面向量定理.1，2是被，唯一确定的数量.同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.展示投影例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做，学生评讲，教师提示或适当补

8、充；）例41kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30°, 60°角，问两细绳各受到多大的力？解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90°P1PP230°60°=1 (kg) ÐP1OP=60° ÐP2OP=30°=cos60°=1=0.5 (kg)=cos30°=1=0.87 (kg) 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg例5.如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，和DMABMCMab 解：在 ABC

9、D中 =+=+ =-=- =-=-(+)=-=(-)=- =+=-=-=-+例6. 如图，在ABC中，=, =，AD为边BC的中线，G为ABC的重心，求向量DABMCMab 解法1：=, = 则=+=+而=DAEMCMabBMFMGM=+ 解法2：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F AEFABC = = = =+=+例7设,是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三点A, B, D共线，求k的值.解：=-=(2-)-(+3)=-4A, B, D共线 ,共线 存在使=即2+k=(-4) k=-8【巩固深化，发展思维】1在 ABCD中，设对角线=，=试用, 表示，2.已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=4.100练习1、2题.学习小结（学生总结，其它学生补充）数乘向量的几何意义理解.向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数，使=.平面向量基本定理的理解及注意的问题.五、评价设计1作业：习题2