高三数学一轮复习必备精品32不等式组及线性规划

1、第32讲 不等式解法及应用一【课标要求】1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2一元二次不等式经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图3二元一次不等式组与简单线性规划问题从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决二【命题走向】分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节

2、（如函数、数列等）交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用预测2010年高考的命题趋势：1结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；2以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力；3在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；4对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏三【要点精讲】1不等式的解法解不等

3、式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）；2一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。情况分别解之。3一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象4分式不等式分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，0。5简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、

4、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|<ax2<a2a<x<a(a>0)，|x|>ax2>a2x>a或x<a(a>0)。一般地有：|f(x)|<g(x)g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。6指数不等式 ；7对数不等式 等， （1）当时，；

5、（2）当时，。8线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当时，通常把原点作为此特殊点（2）有关概念引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，即点在直线

6、：上，作一组平行于的直线：，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，。在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标

7、函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解四【典例解析】题型1：简单不等式的求解问题例1、（福建省福州市普通高中09年高三质量检查）已知，则不等式 的解集是（ ）A（2，0）BC D答案 C 8如果那么的取值范围是_。答案：解析：因故易错警示：利用真数大于零得x不等于 ，从而正弦值就不等于.其实x等于时可取得该值。例2同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列 满足，则 （结论用数学式子表示）.和17. 在4×9×=60的两个中，分

8、别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。答案：设两数为x、y，即4x9y=60，又= ，等于当且仅当，且4x9y=60，即x=6且y=4时成立，故应分别有6、4。点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式（注意分母不为零）题型2：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例3（1）某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2,v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为 A. B. C.D. 解：设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段的增长量相等，设为M，则M= v

9、1 t1= v2 t2=v3 t3，整个时段内的平均增长速度为=，选D（2） 如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？(14)解：设池塘的长为x米时占地总面积为S （1分） 故池塘的宽为米 （1分） （3分） 故 （2分） （2分） （1分） （3分） 答：每个池塘的长为米，宽为米时占地总面积最小。（1分）点评：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求（2）答案：C解法一：当x2时，原不等式化为，去分母得（x+2）（3x）（x+3）

10、（x2），即x2x6x2x6，2x2120，。注意x2，得2x；当0x2时，原不等式化为，去分母得x2x6x2x6。即2x0 注意0x2，得0x2。综上得0x，所以选C。x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=，不适合不等式，所以排除B；选C。点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。例4 （2）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）（3）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ ）(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）解

11、析：将（2）答案：C解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图46可得C答案。图46 图47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图47）。（3）C；点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。题型3：含参数的不等式的求解问题例5（1）设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围？（2）解关于x的不等式1(a1)。分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗解析：（1）M

12、1，4有两种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)当0时，1a2，M=1，4；当=0时，a=1或2；当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4。当0时，a1或a2。设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24，即，解得2a，M1，4时，a的取值范围是(1，)。（2）原不等式可化为：0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解。由于，原不等式的解为(，)(2，+)。 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解。由于，若a0，解集为(，

13、2)；若a=0时，解集为；若0a1，解集为(2，)。综上所述：当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2)。点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错例6（1）（2009湖南卷文）若，则的最小值为 .答案 2解析 ，当且仅当时取等号.（2）(北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)已知，都是定义在上的函数，且满足以下

14、条件：=·（）；。若，则使成立的x的取值范围是A.（，）（，+ ） B.（，） C.（，）（，+ ） D.（，+ ）答案 B 题型4：线性规划问题例7（1）(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4答案 A解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,

15、 而=,故选A.【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.（2）2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 A. B. C. D. 答案 BAxDyCOy=kx+解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A。 例8（1）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若x0，

16、则不论取何值，0显然成立；当x0 即时，0可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；当x0 即时，0可化为， 在区间上单调递增，因此，从而4，综上4【答案】4（2）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）(A) (B) (C) (D)（3）已知点 P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。解析：（1）约束条件为，选C；（2）A；（3）、。点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现题型5：不等式的应用例9（2009四川卷文） A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元

17、D. 27万元答案 D（3，4）（0，6）O（，0）913解析 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系： A原料 B原料甲产品吨 3 2 乙产品吨 3 则有： 目标函数 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当3，5时可获得最大利润为27万元，故选D例10(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元. 答案 2300解析 设甲种设

18、备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A类产品 (件)(50) B类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:, 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题. 点评：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力。五【思维总结】1在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解。加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏。加强函