高中数学_必修4_第2章(平面向量)平面向量基础

1、平面向量 【基本概念与公式】【基本概念与公式】 【 任何时候写向量时都要带箭头 】1. 向量 :既有大小又有方向的量。记作:AB 或 a。 2. 向量的模 :向量的大小(或长度 ,记作:|AB 或 |a。3. 单位向量 :长度为 1的向量。若 e 是单位向量,则 |1e =。4. 零向量 :长度为 0的向量。记作:0 。 【 0方向是任意的,且与任意向量平行】5. 平行向量(共线向量 : 方向相同或相反的向量。 6. 相等向量 :长度和方向都相同的向量。 7. 相反向量 :长度相等,方向相反的向量。 AB BA =-。8. 三角形法则: AB BC AC += ; AB BC CD DE AE

2、 += ; AB AC CB -=(指向被减数 9. 平行四边形法则 :以 , a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b + , a b - 。 10. 共线定理 : /a b a b = 。当 0时, a b 与 同向;当 0时, a b与 反向。 11. 基底 :任意不共线的两个向量称为一组基底。 12. 向量的模:若 (, a x y =,则 |a = 22|a a = , |a b += 13. 数量积与夹角公式:|cos a b a b = ; cos |a b a b =14. 平行与垂直: 1221/a b a b x y x y = ; 121200a b a b x

3、 x y y =+=平面向量 【基本题型】题型 1. 基本概念判断正误 :(1共线向量就是在同一条直线上的向量。(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 AB CD =。(5若 AB CD =,则 A 、 B 、 C 、 D 四点构成平行四边形。(6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c共线。(8若 ma mb = ,则 a b =。(9若 ma na =,则 m n =。(10若 a 与 b 不共线,则 a 与 b都不是零向量。 (11若 |

4、a b a b =,则 /a b 。 (12若 |a b a b +=-,则 a b 。题型 2. 向量的加减运算1. 设 a 表示“向东走 8km ” , b 表示“向北走 6km ” , 则 |a b +=。2. 化简 ( ( AB MB BO BC OM +=。3. 已知 |5OA = , |3OB = , 则 |AB的最大值和最小值分别为 、 。4. 已知 AC AB AD 为 与 的和向量, 且 , AC a BD b = , 则 AB = , AD =。5. 已知点 C 在线段 AB 上,且 35AC AB = , 则 AC = BC , AB =BC 。题型 3. 向量的数乘运算

5、1. 计算:(1 3( 2( a b a b +-+=(2 2(253 3(232 a b c a b c +-+-=2. 已知 (1,4, (3,8 a b =-=- ,则 132a b -=题型 4. 作图法球向量的和已知向量 , a b,如下图,请做出向量 132a b + 和 322a b - 。ab题型 5. 根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在 ABC 中, D 是 BC 的中点,请用向量 AB AC , 表示 AD。2. 在平行四边形 ABCD 中,已知 , AC a BD b =,求 AB AD 和 。题型 6. 向量的坐标运算1. 已知 (4,5AB =, (2,3A ,

6、则点 B 的坐标是 。2. 已知 (3, 5 PQ =-, (3,7P ,则点 Q 的坐标是 。3. 若物体受三个力 1(1,2 F = , 2(2,3 F =- , 3(1, 4 F =-, 则合力的坐标为 。4. 已知 (3, 4 a =-, (5,2 b = ,求 a b + , a b - , 32a b - 。5. 已知 (1,2,(3,2A B , 向量 (2, 32 a x x y =+-与 AB 相等,求 , x y 的值。6. 已知 (2,3AB = , (, BC m n = , (1, 4 CD =- ,则 DA =。7. 已知 O 是坐标原点, (2,1, (4,8 A

7、 B -,且 30AB BC += ,求 OC的坐标。题型 7. 判断两个向量能否作为一组基底1. 已知 12, e e是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:A. 1212e e e e +- 和 B.1221326e e e e - 和 4 C.122133e e e e +- 和 D.221e e e - 和2. 已知 (3,4a = ,能与 a构成基底的是( A. 34(, 55 B.43(, 55 C.34(, 55- D.4(1, 3-题型 8. 结合三角函数求向量坐标1. 已知 O 是坐标原点, 点 A 在第二象限, |2OA = , 150xOA =,求 OA

8、的坐标。2. 已知 O 是原点,点 A在第一象限, |OA = 60xOA =,求 OA 的坐标。 题型 9. 求数量积1. 已知 |3,|4a b = ,且 a 与 b的夹角为 60 ,求(1 a b , (2 ( a a b + , (3 1( 2a b b -, (4 (2 (3 a b a b -+ 。2. 已知 (2,6, (8,10 a b =-=-,求(1 |,|a b , (2 a b , (3 (2 a a b + , (4 (2 (3 a b a b -+。题型 10. 求向量的夹角1. 已知 |8,|3a b = , 12a b = ,求 a 与 b的夹角。2.已知 (a

9、 b =- ,求 a 与 b的夹角。 3. 已知 (1,0A , (0,1B , (2,5C ,求 cos BAC 。题型 11. 求向量的模1. 已知 |3,|4a b = ,且 a 与 b 的夹角为 60,求(1 |a b + , (2 |23|a b - 。2. 已知 (2,6, (8,10 a b =-=- ,求(1 |,|a b , (5 |a b + , (6 1|2a b -。3. 已知 |1|2a b = , |32|3a b -= ,求 |3|a b +。题型 12. 求单位向量 【与 a 平行的单位向量:|ae a =】1. 与 (12,5a =平行的单位向量是 。2. 与

10、 1(1, 2m =-平行的单位向量是 。题型 13.向量的平行与垂直 r r r r r r 1.已知 a = (6, 2 ， b = (-3, m ，当 m 为何值时， （1） a / / b ？（2） a b ？ r r r r r r 2.已知 a = (1, 2 ， b = (-3, 2 ， （1） k 为何值时，向量 ka + b 与 a - 3b 垂直？ r r r r （2） k 为何值时，向量 ka + b 与 a - 3b 平行？ r r r r r r r r r r 3.已知 a 是非零向量， a b = a c ，且 b c ，求证： a (b - c 。 题型 14

11、.三点共线问题 1.已知 A(0, -2 ， B(2, 2 ， C (3, 4 ，求证： A, B, C 三点共线。 uuu r r r r uuu r r r 2 r r uuu (a + 5b, BC = -2a + 8b, CD = 3(a - b ，求证： A、B、D 三点共线。 2.设 AB = 2 uuu r r r uuu r r r uuu r r r 3.已知 AB = a + 2b, BC = -5a + 6b, CD = 7a - 2b ，则一定共线的三点是 。 4.已知 A(1, -3 ， B(8, -1 ，若点 C (2a - 1, a + 2 在直线 AB 上，求

12、a 的值。 5.已知四个点的坐标 O(0, 0 ， A(3, 4 ， B(-1, 2 ， C (1,1 ，是否存在常数 t ，使 uuu r uuu r uuu r OA + tOB = OC 成立？ 6 题型 15.判断多边形的形状 uuu r r uuu r r uuur uuu r 1.若 AB = 3e ， CD = -5e ，且 | AD |=| BC | ,则四边形的形状是 2.已知 A(1,0 ， B(4,3 ， C (2, 4 ， D(0, 2 ，证明四边形 ABCD 是梯形。 。 3.已知 A(-2,1 ， B(6, -3 ， C (0,5 ，求证： DABC 是直角三角形。

13、 uuu r uuu r uuur 4.在平面直角坐标系内，OA = (-1,8, OB = (-4,1, OC = (1,3 ,求证：DABC 是等腰 直角三角形。 题型 16.平面向量的综合应用 r r r r r r 1.已知 a = (1,0 ， b = (2,1 ，当 k 为何值时，向量 ka - b 与 a + 3b 平行？ r r r r r 2.已知 a = ( 3, 5 ，且 a b ， | b |= 2 ，求 b 的坐标。 r r r r r r 3.已知 a与b 同向， b = (1, 2 ，则 a b = 10 ，求 a 的坐标。 r r r r 4.已知 a = (1

14、, 2 ， b = (3,1 ， c = (5, 4 ，则 c = r a+ r b。 r r r r r r 5.已知 a = (5,10 ， b = (-3, -4 ， c = (5,0 ，请将用向量 a, b 表示向量 c 。 r r r r 6.已知 a = (m,3 ， b = (2, -1 ， （1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求 m 的范围； r r （2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围。 7 r r 7.已知 a = (6, 2 ， b = (-3, m ，当 m 为何值时， r r r r （1） a 与 b 的夹角为钝角？（2） a 与 b 的夹角为锐角？

15、8.已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(-1, 2 ， B(3, 4 ， D(2,1 ，且 AB / / DC ， AB = 2CD ，求点 C 的坐标。 9.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1 ， B(-1,3 ， C (3, 4 ， 求第四个顶点 D 的坐标。 10.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方 向成 30o 角，求水流速度与船的实际速度。 11. 【2007 年广东卷】 已知 DABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4 ，B(0,0 ， C (c,0 ， uuu r uuur （1）若 AB AC = 0 ，求 c 的值； （2）若 c = 5 ，求 sin A 的值。 【备用】 r r r r r r r r 1.已知 | a |= 3,| b |= 4,| a + b |= 5 ，求 | a - b | 和向量 a, b 的夹角。 r r r u r r r r r r r r u r 2.已知 x = a + b ， y = 2a + b ，且 | a |=| b |= 1 ， a b ，求 x, y 的夹角的余弦。 r r r r r r 3