概率论与数理统计期末考试题与答案

1、.模拟试题一一、 填空题（每空 3 分，共 45 分）1、已知 p(a) = 0.92, p(b) = 0.93, p(b|a) = 0.85,则 p(a| b ) =。6 / 6p( a b) =。2、设事件 a 与 b 独立， a 与 b 都不发生的概率为1，a 发生且 b 不发生的概率与 b 发生9且 a 不发生的概率相等，则a 发生的概率为： ；3、一间宿舍住有 6 个同学，求他们之中恰好有4 个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量x 的密度函数为：( x)aex , 1/ 4,x 00x2 ,则常数 a=, 分布函0,x2数 f( x)=

2、 ,概率p0.5x1；5、设随机变量 x b(2 ， p) 、y b(1 ， p) ，若p x15/ 9 ，则 p =，若 x 与 y 独立，则 z=max(x,y) 的分布律：；6、设 x b (200,0.01), y p (4),且 x 与 y 相互独立，则d(2x-3y)=,cov(2x-3y, x)=；7、设x 1, x 2, x 5 是总体x n (0,1) 的简单随机样本，则当k时，yk( x1x 2) t (3) ；x 2x 2x 23458、设总体x u (0,)0 为未知参数，x1, x 2, x n 为其样本，1 nxxi 为n i 1样本均值，则的矩估计量为： 。9、设

3、样本x 1, x 2, x 9 来自正态总体n (a,1.44) ，计算得样本观察值x10 ，求参数 a 的置信度为 95%的置信区间： ；二、 计算题（ 35 分）1、 (12 分) 设连续型随机变量x 的密度函数为：1 x,0x2(x)20,其它求： 1）p| 2 x1|2； 2） yx 2 的密度函数y ( y) ； 3）e (2 x1) ；2、(12 分) 设随机变量 (x,y) 的密度函数为( x, y)1/ 4,| y |x,0x2,0,其他1） 求边缘密度函数x (x),y ( y) ；2） 问 x 与 y 是否独立？是否相关？3） 计算 z = x + y的密度函数z ( z)

4、 ；3、（ 11 分）设总体 x 的概率密度函数为：x1 e,x0( x),00x0x1,x 2, ,x n 是取自总体 x 的简单随机样本。1）求参数的极大似然估计量?；2）验证估计量 ?是否是参数的无偏估计量。三、 应用题（ 20 分）1、（ 10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10 ，1/5 ，1/10 和 2/5 。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4 ，1/3 ， 1/2 。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2（ 10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5

5、，假定有害物质含量 x 服从正态分布。现在取5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530 ， 0.542 ， 0.510 ， 0.495 ， 0.515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05) ？ 附表：u0.9751.96, u0.951.65,t 0.975 (4)2.776, t0.95 (4)2.132, t 0.975 (5)2.571, t0.95 (4)2.015答 案（模拟试题一） 四、 填空题（每空 3 分，共 45 分）1、0.8286， 0.988；2、 2/3；c c143、 126112，6c6!12；12612 61 ex,x024、1/2

6、,f( x)=12x4,0x2 ， p0.5x13412e0.5；1,x25、p = 1/3， z=max(x,y) 的分布律：z012p8/27 16/273/27；6、d(2x-3y)= 43.92, cov(2x-3y, x)= 3.96；37、当 k时， yk( x1x 2) t (3) ；2x 2x 2x 23458、 的矩估计量为： 2x 。9、 9.216， 10.784；五、 计算题（ 35 分）91、解 1 ）p| 2x1|21(p0.5xy )(1.516y ),y0xxy ( y)2y0,y02）1 ,0y440,其它453） e(2 x1) 2ex12133x12、解：

7、 1） x (x)(x, y)dyx 40,dy,0x2其它x,20,0x2其它2y ( y)( x, y)dx|y| 40,1 dx,| y |21 (240,| y |),| y |2其它其它2）显然，(x, y)x ( x) y ( y) ，所以 x 与 y 不独立。又因为 ey=0， exy=0，所以， cov(x,y)=0，因此 x 与 y 不相关。3）z (z)( x, zx) dx2z 214dx,0z4120,z8,0z40,其它其它nn1xixi1i 13、解 1） l( x1 , x2 , xn ,)en ei 1ln l( x , x ,12, x ,n)n lnnx令d

8、 ln ldnnx20解出：?x2）e ?exex?是 的无偏估计量。六、 应用题（ 20 分）1、（ 10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10 ，1/5 ，1/10 和 2/5 。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4 ，1/3 ， 1/2 。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？解：设事件 a1，a2，a3，a4 分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于 3/10 ， 1/5 ， 1/10 和 2/5 ，事件 b 表示“迟到” ，已知概率 p b | ai , i1,2,3,

9、4 分别等于 1/4 ，1/3 ， 1/2 ， 04则 p b)p( ai ) p( b | ai )i 123120p( a | b)1p( a1) p( b | a1 )p(b)239， p( a | b)2p( a2) p(b | a2)p( b)823p( a | b)3p( a3) p(b | a3 )p( b)236， p(a | b)4p( a4 )p(b | a4)p( b)0由概率判断他乘火车的可能性最大。2（ 10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5 ，假定有害物质含量 x 服从正态分布n (a,2) 。现在取 5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530 ， 0.542 ， 0.510 ， 0.495 ， 0.515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05) ？解： h 0 : a0.5 （）， h 1 : a0.5拒绝域为：0x0.5s5t0.95 (4)计算 x0.518