2020年高考数学第56讲圆的方程

1、第 56 讲圆的方程丼圾1.圆心在直线 2x y 7= 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, - 4), B(0, 2)，则圆 C 的方程是(A)A . (x2)2+ (y+ 3)2 2= 5B . (x 2)2+ (y 3)2= 5C.(x+ 2)2+ (y 3)2= 5 D . (x+ 2)2+ (y+ 3)2= 5IC33I 线段 AB 的垂直平分线为 y= 3,y= 3,x= 2,由解得2x y 7 = 0,y= 3.所以圆 C 的方程是(x 2)2+ (y+ 3)2= 5.2.点 P(4, 2)与圆 x2+y2= 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)A . (x 2)2+

2、 (y+ 1)2= 1B . (x 2)2+ (y+1)2= 4C.(x+ 4)2+(y 2)2= 4 D . (x+ 2)2+ (y1)2= 1IEI3IIEI3I 设圆上任一点为 A(xi i, yi i),则 x2+ y1 1= 4, PA 连线中点的坐标为(x, y),2x= xi i + 4,xi i= 2x 4,贝 U即2y= yi i 2,yi i= 2y+ 2,代入 xi i+ yi i = 4,得(x 2)2+ (y+ 1)2= 1.3.圆(x 1)2+ y2= 2 关于直线 x y + 1 = 0 对称的圆的方程是(C)1 1A . (x+ 1)2+ (y 2)2= 2 B

3、 . (x 1)2+ (y+ 2)2=1 1C . (x+ 1)2+ (y 2)2= 2 D . (x 1)2+ (y+ 2)2= 2IEE3IIEE3I 圆心(1,0)关于直线 x y + 1 = 0 的对称点是(一 1,2),所以圆的方程是(x+ 1)2+ (y 2)2= 2.4 . (2017 湖南长沙二模)圆 x2+ y2 2x 2y+ 1 = 0 上的点到直线 x y = 2 距离的最大值 是(A)A . 1+；2 B . 2C . 1 + 子 D . 2+ 2 .2喝将圆的方程化为(x 1)2+ (y 1)2= 1，圆心为(1,1)，半径为 1.故圆上的点到直线x y= 2 的最大

4、值为 d+ 1 = ；2+ 1.5 . (2016 浙江卷)已知 a R ,方程 a2x2+ (a + 2)y2+ 4x+ 8y+ 5a = 0 表示圆，贝恫心坐标 (2, 4)，半径是5 .0303 由二元二次方程表示圆的条件可得 a2= a+ 2,解得 a= 2 或1.51当 a = 2 时，方程为 4x2+ 4y2+ 4x + 8y+ 10= 0，即 x2+ y2+ x+ 2y+ ? = 0，配方得(x+ ?)2o5一+ (y(y+1)1)=40 , b0)始终平分圆：x2+ y2- 4x 2y 8= 0 的周长，贝 V -a2 + b 的最小值为3 + 2_：2 .IEE3 由条件知直

5、线过圆心(2,1),所以 2a+ 2b 2= 0，即 a+ b = 1.所以 a+2=(a+b +b)=3+a+2a3+22b 2 a当且仅当 b=彳，即 a=：2 1, b= 2 一 2 时，等号成立.1 2所以 a+ b 的最小值为 3+2 27.(2016 广东佛山六校联考)圆 C 过不同的三点 P(k,O), Q(2,0) , R(0,1)，已知圆 C 在点 P处的切线斜率为 1,求圆 C 的方程.331 设圆 C 的方程为 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F = 0.贝 U k,2 为 x2+ Dx + F = 0 的两根，所以 k+ 2= D,2k = F，即 D = (k+ 2)

6、, F = 2k,又圆 C 过 R(0,1)，故 1 + E+ F= 0,所以 E = 2k 1.故所求圆方程为 x2+ y2 (k+ 2)x (2k+ 1)y + 2k= 0,k+ 2 2k+ 1圆心坐标为(二,厂).因为圆C在P处的切线斜率为 1,2k + 1所以 kcp= 1= ，所以 k= 3.2 k所以 D = 1 , E = 5, F = 6.所以圆的方程为 x2+ y2+ x+ 5y 6= 0.&过点 P(1,1)的直线将圆形区域(x, y)|x2+ y2 4分成两部分，使这两部分的面积之差 最大，则该直线的方程为(A)A . x+ y 2= 0 B . y 1= 0C.

7、 x y= 0 D. x+ 3y 4 = 0K33 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合题意.因为圆心 o 与P的连线的斜率为 1,所以过点 P 垂直于 OP 的直线方程为 x + y 2 = 0.9. (2017 天津卷)设抛物线 y2= 4x 的焦点为 F，准线为 I.已知点 C 在 I 上，以 C 为圆心 的圆与 y轴的正半轴相切于点 A.若/ FAC = 120则圆的方程为(x+ 1)2+ (y頁)2= 1 .由 y2= 4x 可得点 F 的坐标为（1,0），准线 I 的方程为 x= 1.由圆心 C 在 I 上，且圆 C 与 y 轴正半轴相切（如图）,可得点 C 的横坐标为一 1

8、，圆的半径为 1，/CAO = 90 又因为/ FAC = 120 ；所以/OAF = 30。，所以 |OA|= _；3,所以点 C 的纵坐标为.3.所以圆的方程为(x+ 1)2+ (y 一;3)2= 1.10.已知点 P(x, y)在圆 C: x2+ y2 6x 6y+ 14= 0 上.(1)求丫的最大值和最小值；求 x2+ y2+ 2x+ 3 的最大值与最小值.03 (1)圆 C: x2+ y2 6x 6y+ 14 = 0 整理得(x 3)2+ (y 3)2= 4. 所以圆心 C(3,3)，半径 r =2.设 k =；,即 kx y=0(XM0),|3k 3|则圆心到直线的距离d r，即-w2,寸 1+ k29 209+ 20整理得 5k2 18k+ 5w0，解得wkw.55y9+ 2 149 2 14故 x 的最大值为厂，最小值为厂.x2+ y2+ 2x+ 3 = (x+ 1)2+ y2+ 2,表示点 P(x, y)到点 A( 1,0)的距离的平方加上 2,连接 AC,交圆 C 于点