重庆大学概率论习题八

1、1习题八习题八1.假设总体XN （巴 1）,从中抽取容量为25的样本，对统计假设H0: 4= 0,比：4H 0,拒绝域为X0=tx| 0.392。（1）求假设检验推断结果犯第I类错误的概率。(2)若Hi: 4= 0.3，求假设检验推断结果犯第n类错误的概率。解: (1) 8 = P犯第I类错误 =p拒绝H0IH0成立=PX0.392 卩=0=pfX0.39 =0= pf 1 1.96，所以a1=0.05（2） P =P犯第 II 类错误=P接受 HoHo不成立 = PX0.392 4 =0.3=P 3.46 c (X -0.3) J n c 0.4610.6 76 92.已知某厂生产的电视机显

2、像管寿命（单位：小时）服从正态分布。过去，显像管的平均寿命是15000小时，标准差为3600小时。为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800小时。若用假设检验方法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出:(1)假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X表示，由题意知：XN(巴b2)N(5000,90000)（2）统计假设：H。：卩15000假设 b 与过去一样为3600小时，那么检验方法为U检验法，检验统计量为:U _ X -15000

3、 活c显著水平a二。.05时的拒绝域为：X0=5总=九645（4）推断：因为U的样本值为1.333不在X0内，所以接受原假设，即在显著水平m=0.05下，认为新技术没有提高显像管的寿命。3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30,37,42,35,36,40,47,48,45。22问在显著水平a =0.05下能否认为甲厂产品有更高的抗体强度。解：由题意知XN(巴b2)。统计假设：H0:卩1.9,出：卩1.9检验统计量为：T-X-9.fnS拒绝域为：X0= 4 t(n -1)=U1.753产品有更高的抗体强度

4、。度的变异性与标准差2.4比较是否有明显变化。解：设某机器新生产的一批B型钢管的长度为X，由题意知XN(4,2.42)。统计假设：H。: G2=2.42,H1：b2工2.42检验统计量为：尸=(n-OS -2.42假设一个系统试通一个程序的时间服从正态分布，那么据此数据用假设检验方法推断新系统是否减少了现行系统试通一个程序的时间。解：设新系统试通一个程序的时间为X，由题意知XN(4,cr2)。统计假设：Ho:卩45，H1：4 45检验统计量为：T_ X -45匚S拒绝域为：X0=vta(n-1)= -1.859推断：因为T的样本值为-2.483X0,所以拒绝H0,接受出，即新系统减少了现行系统

5、试通一个程序的平均时间。4.甲制药厂进行有关麻疹疫苗效果研究，用一个人注射这种疫苗后的抗体强度X表示。假定X服从正态分布。另一家与之竞争的乙制药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度为1.9。甲厂为证实其产品比乙厂有更高的抗体强度，随机抽取了16样本，获得下表所示数据:1.21.92.72.23.01.83.12.42.51.51.72.22.42.62.32.1推断：因为T的样本值为2.508X0,所以拒绝H。，接受比，即可以认为甲厂5.某机器加工的B型钢管的长度服从标准差为2.4公分的正态分布。现从一批新生产的B型钢管中随机选取25根，测得样本标准差为2.7公分。试以显著性水平1%判断该批钢管长3

6、24拒绝域为：X酸 一1）忡2论（n宀886*2沁.559推断：卑的样本值为30.375,不在拒绝域Xo内，所以接受Ho,即在显著性水平1%下，新生产的钢管长度的变异性与标准差2.4比较无明显变化。6.某厂生产的某种电池寿命（单位：小时）长期以来服从标准差为70小时的正态分布。今有一批这种电池，为判断其寿命的波动性是否较以往有所变化，随机抽取了一个容量为26的样本，测得寿命的样本标准差为75小时。问在显著水平a =0.05下，这批电池寿命的波动性较以往是否显著增大?解：设电池寿命为X，由题意知XN（4,cr2）。统计假设：H0:CT2 702，H,:CTS-7022检验统计量为：工2_（n 1

7、）S 702拒绝域为：XpS尹&nT）=/2A37.652推断：卑的样本值为28.699，不在拒绝域Xo内，所以接受Ho，即在显著性水平a =0.05下，这批电池寿命的波动性较以往没有显著增大。7.在选择一个新建超市的位置时需要考虑很多因素,其中超市所在地附近居民的收入水平是5重要的因素之一。现有A、B两地可供选择，A地的建筑费用较B地低。如果两地居民的年均收入相同，就在A地建筑。但若B地居民的年均收入明显高于A地，则选在B地建正态分布。解：假设A、B两地居民年收入（单位：元）分别为X,Y。统计假设：H0:卩1 3卩2，Hj：X二Y U =.炉但in m显著水平a =0.05时的拒绝域

8、为:X0= u C u= tn +m - 2)=t 2.145推断：因为T的样本值为0.516不在拒绝域X。内，所以接受H0,即在显著水平a =0.05下，可以认为甲、乙两种轮胎的耐磨性无显著差异。9.设甲、乙两工厂生产同一种零件，现从这两个工厂生产的零件中分别抽测8个和9个,测得其外径（单位：mm）分别为:N（甲厂）（乙厂）15.014.515.215.514.815.115.214.815.215.014.815.215.015.014.815.114.8假定零件外径服从正态分布， 试乙厂生产的零件精度是否比甲厂生产的高?(Ct =0.05)解：假定甲、乙两厂生产的零件外径分别为X,Y，由

9、题意知XN（比，S2）,YN岸2&)统计假设：H0:CT1,H1:CT 2 cr|检验统计量为：F-蜀32拒绝域为：X0=FFa(n-1,m1)=F 0.5，H1:p u1d =ju 1.9650%，现随机抽取了60工作日周一 周二 周三周四周五频数1727102818J = 0.05)？9试问该公司职工病假是否均匀分布在一周五个工作日中(解：设公司职工的病假时间为X10(1)统计假设：Ho:X服从周一到周五的均匀分布，分布律为P (X =i)= Pi=0.2, i =1,2,34,55 2y2_ Vi/ =送n,7 npi(3)拒绝域为 以0=72A 人2程(m_1) =/29.48

10、8(4)推断：检验统计量的样本值为0.023,不在拒绝域里，接受H0，可以认为该公司职工病假在五个工作日中是均匀分布。13.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下:组限10.9310.9510.9510.9710.9710.9910.9911.01频数582034组限11.0111.0311.0311.0511.0511.0711.0711.09频数17664试问螺栓的口径X的分布是否服从正态分布(a =0.05)。求巴b2的极大似然法估计值。弊=x =11.002,0 = m2=0.0018 2?2=2 A-n,y n?i拒绝域为以0=炉 2七(m-r-1)

11、=厂11.071推断：在Ho成立的条件下计算:氏=0(10.9511.002)/0.032)=0.052?2= 0.107;?3=0.195；P4=0.245;?5=0.211;?6=0.124;?7=0.050；?8=0.017检验统计量 於2的样本值为0.108，不在拒绝域里，接受H0,可以认为螺栓的口(2)检验统计量:解：统计假设：H0:XN(巴CT2)检验统计量:(4)11径X的分布服从正态分布。14.下表为某药治疗感冒效果的联列表:12试问该药疗效是否与年龄有关(a =0.05)？解：设X表示患者的年龄状态，Y表示疗效状态。(1)统计假设： H0: X与Y独立，已：X与Y不独立nin

12、j 2r(n，-)(2)检验统计量为叱=n送送-n一|.(3)拒绝域为Xo=Z：/12(r1)(s-1)=磴9.488(4)推断：叱的样本值为0.093,不在拒绝域里，接受Ho,可以认为该药疗效与年龄无关。15.对纸张亮度的测量方法有两种，用两种测量方法分别采集了6.19.28.7 8.97.67.19.5 8.3 9.19.18.28.6 6.97.57.9 8.3试问两种检测方法是否有显著性差异？ (a =0.05)解：设X、丫分别表示用A，B两种方法测得的纸张亮度，Fx(x)、FY(X)为它们的分布函数，则统计假设为HO：FX(X)=FY(X), H1：FX(X)HFY(X)样本混合后按

13、由小到大顺序排例的结果以及秩见下表。秩12345678.510111213.515169个样本，如下:13数据6.16.97.17.57.67.98.28.38.68.78.99.19.29.5由于m=77614拒绝域为t1.7109T的样本值t=-1.689 A -1.7109，接受H。，即可以认为元件的寿命不低于另一方面，设假设检验:T的样本值为2+4+6+7+8.5+10+13.5=51,不在拒绝域X0内，故接受原假设,即认为两个总体分布不存在明显差异。1.设X1,.,X17为总体XN(o,cr2)样本，统计假设：H0:CT 2=9, H1:2c 9的拒绝域为32 4.479 CT2=3

14、.698) = P( _2 -CT2=3.698) =0.252.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h，标准差不得超过130h。现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值1950h,标准差s=148h。设元件寿命服从正态分布,试在显著水平a =0.05下，确定这批元件是否合格。解：设假设检验为:Ho:卩2000；比：42000检验统计量T X -2000 s/jn2000h。15H。：b2 n -1)= /2A 36.415检验统计量为2(n -1)S2x拒绝域为 7216样本值壮=2（25 1）148 =31.2 V 36.415，接受Ho，即c不超过130h。1302由以上两种假设

15、检验结果说明在水平a =0.05下，认为这批元件是合格的。3.某企业生产一种电器材料，要检验原来使用的材料与一种新研制材料的疲劳寿命（单位:原材料401101506590210270- -新材料60150220310380350250450110175一般认为，材料的寿命服从对数正态分布,并可以假定原材料疲劳寿命的对数 X=lg与新材料疲力寿叩n 的对数丫= ign 有相冋的方差。解：由题意知，X=lgN（片，CT2）, Y=lgn N（巴,b2）,问题归结为检验：小时）有无显著差异，各取若干样品做疲劳实验，所得数据如下:Ho：巴2屮1：41 ”2当HQ成立时，X=lg E、丫=lgn 有相同

16、的分布，从而匕、n有相同的分布，原材料与新X=lge1.6022.0412.1761.8131.9542.3222.431Y=lgn1.7782.1762.3422.4912.5892.5442.3982.6532.0412.243由此计算得：X=2.0484,y=2.3255,SX=0.0835,s2=0.0741。材料的疲劳寿命无显著差异。将实验数据取对数，得到X =lgE、丫=lgn的样本数据:选择 T 检验法，检验统计量为：TX -丫I 当a =0.05时，拒绝域为 t t（n+m-2）= 2.1326咒0.0835 +9咒0.0741150.0686检验统计量的样本值为-2.148，

17、在拒绝域里，拒绝H。，接受Hi，即认为原材料与新材料的疲劳寿命有显著的差异。4.从某高校99级本科生中随机抽取了60名学生，其英语结业考试成绩如下表。试问99级本科生的英语结业成绩是否符合正态分布？（a =0.10）9375839391858482777677959489911718888683968179977875676968838481756685709484838280787473767086769O89716686738094797877635355解：设X表示99级任意一位本科生的英语结业成绩，分布函数为F(x)，统计假设:X - 4X - 4HO: F(x) =6(),H1: F

18、(x) )cc2m(v n?)2(1)选择检验统计量？2一i 4n?i将X的取值划分为若干区间，得到m=4个事件：A1=X 70，A =7OX 80，A3=0XC90 AfeX o(3)在HO成立的条件下，计算参数卩、b2的极大似然估计值H,c?2。通过计算得?=x =80, =m2=9.62o在HO成立的条件下，A(i=1,2,3,4)的概率理论估计值为：P1 =0(70 -80)/96)=(1.04) =0.1492 p2=0(80 -80)/9.6)-(1.04)=0(0)-0(1.04)=0.3508 p3=0(90-80)/9.6)-(O) =0.3508 p4=1-(90-80)/9.6)=0.1492(5)拒绝域为/2盅=2.71计算 炉样本值为0.622,落在