第3章 数系的扩充与复数的引入――3.1.1数系的扩充和复数的概念

1、第3章 数系的扩充与复数的引入【教学目标】1了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2理解复数的有关概念以及符号表示；3掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念 【教学难点】复数概念的理解【教学过程】1对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数 整数 有理数 无理数 实数2提出问题我们

2、知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？3组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程没有实数根实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决1的开平方问题即一个什么样的数，它的平方会等于14引入新数，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事这样，就可以

3、解决前面提出的问题（1可以开平方，而且1的平方根是）5提出复数的概念根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：N*NZQRC【巩固练习】下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？例1.实数m分别取什么值时，复数zm+1(m-1i是(1实数？(2虚数？(3纯虚数？ 分析：因为mR，所以m+1，m-1都是实数，由复数zabi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以

4、确定实数m的值6提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等也就是由此容易得出：例2 已知,其中，x,yR，求x与y分析：因为x，yR，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值练习：【课堂游戏】【想一想】两个复数是否可以比较大小.【归纳总结】一、数系的扩充；二、复数有关的概念：1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部。3、虚数、纯虚数；4、复数的相等.【布置作业】习题3.1A组 1 2 3数系的扩充与复数的概念教案说明数系的扩充与复数的概念是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第一节的内容，课时安排约一课时。复数

5、的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。学习目标为（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数想等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理

6、解，都应促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。类比实数可以用数轴表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示，这就把数和形有机的结合了起来。另外复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等。而复数在电力、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信号分析、反常积分等方面都有应用。在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，采用讲解已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程

7、，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位的引入难以理解。另外虚数单位和实数进行四则运算也不容易接受。复数的相等和复数的相关概念（比如实部、虚部、虚数、纯虚数等）这些学生很容易理解。本节课我采用数学典故吸引学生，让学生知道数系的扩充过程，从而为虚数单位的引入打下基础，在讲解例题后用游戏的方式巩固教学效果。另外我还充分利用多媒体，提高教学效果，在设疑、提示、观察、类比、练习、游戏等活动中启发学生，让学生动手、动

8、口、动脑，培养学生的思维能力。在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以。学生能清楚的知道一个复数什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么。让学生在经历一系列的活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，从而提高分析问题和解决问题的能力。 教学中应注意几个问题，注意与以前所学过的数的内容的衔接，在以前，学生学过整数、有理数、实数的概念和运算，在本节课，则要系统地学习复数的概念的发展过程，复习实数的有关概念等，从