第5章级数与广义积分

1、第五章 级数与广义积分§5.1 收敛性的讨论一、基本概念与收敛的必要条件（1）设是数列,则为级数的前收敛,则称此级数收敛,并称极限值为级数的和.(2)设是定义在上的函数,其中.若对任意,在上可积,且极限存在,则称积分收敛,或在上广义可积,且记.当且在点附近无界时,称为或瑕点时,称为时广义积分的收敛性.设是定义在上的函数,其中,定义,其中.若与都收敛时,称积分收敛,易证上述定义与的选择无关.2.级数收敛的必要条件若级数收敛,则.但是由广义积分收敛,不能推出.例1 存在上广义可积的正值连续函数,使得.解 定义函数如下:当时,;当时, ;当时,.其中取遍任意自然数函数.的图像如图所示再令,

2、则在上连续恒正,且是收敛的,但是.例2设在上一致连续且收敛,证明.证明 由于在上一致连续,当且时, 有.由于收敛,存在,当时, .由于.所以.即.这证明了.例3设在上单调递减非负且收敛,证明.证明 由于收敛, 存在,当时, .又在上单调递减非负,从而.故有.因此当时,所以.例4设在上可微, 可积,且当时, 收敛,试证收敛.证明 首先非负.否则,若存在使得,则时恒有,从而发散,而这与已知条件矛盾.其次由,且收敛可知,收敛与否取决于是否存在. 由例3证明过程可知.例5设在上有连续可微函数,积分和.证明 要证,有极限,由归结原则,只要证恒有收敛.事实上,由收敛,由Cauchy收敛准则, , 存在,当

3、时, 恒有.于是,存在,当时,有,从而.所以.若,由局部保号性,存在,当时有.从而时这与也不可能,故.二、收敛的充分条件 设与都是正项级数,且存在,当时, .(1)若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散.推论 设与都是正项级数,且存在,当时, .(1)若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散.对广义积分有类似的比较原则.例6设是单调递增的正数列,证明(1) 当有界时,收敛;(2) 当无界时,发散.证明 (1)由条件知存在,设.因为,由比较原则级数收敛.(2) 当无界时,有.由于,对固定的,取充分大的使得,则有.由Cauchy收敛准则,级数发散.练习 设在上连续,对任意有.另外.试证若,则收敛.证明

4、因故, 存在,当时有,即,所以(当时).因,故取,于是,所以收敛.由比较判别法收敛.2.比式判别法 设是正项级数,若极限存在，则(1)当时级数收敛;(2) 当时级数发散.练习1试证如下级数收敛(1);(2).提示 (1)令，(其中),易证.(归结原则).练习2设在的某邻域内有二阶连续导数，且证明级数绝对收敛证明1 由得,.又.由归结原则, ,故,而级数收敛,由比较判别法知绝对收敛证明2 由得,.在某邻域内的二阶泰勒展式为,由连续知，有，从而有故绝对收敛例7（比式判别法的推广）设是正项级数,则(1) 当时,级数收敛;(2) 当时,级数发散.证明 (1) 设,存在使得.由上极限的性质,存在,当时.

5、故有,由于等比级数收敛,由比较原则, 收敛,所以级数收敛.（2）设,存在使得.由下极限的性质,存在,当时, .因此,所以原级数是发散的.3.根式判别法 设是正项级数,若极限存在，则(1)当时级数收敛;(2) 当时级数发散.（根式判别法的推广）设是正项级数,则(1) 当时,级数收敛;(2) 当时,级数发散.证明可仿照例7进行.4.Raabe判别法(极限形式) 设是正项级数且极限存在.(1)若,则级数收敛;(2) 若,则级数发散.证明 取使得.存在,当时, ,由此得.取满足.由于,故当充分大时,即.所以.因此由收敛与比较原则的推论可知收敛.(3) 当充分大时,有,.由调和级数发散与比较原则的推论可

6、知发散.例8讨论级数的敛散性.解 设,由于 ,(此处利用已知极限),由Raabe判别法,当时级数收敛;当时级数发散;当时由Raabe判别法的证明过程知级数发散.推论 .例9讨论级数.解 设.由于,由Raabe判别法,当时级数收敛;当时级数发散;当时级数为,因此级数是发散的.例10 设数列单调递减非负,证明级数收敛当且仅当级数收敛.证明 设,.当时, .因此若级数收敛,则数列有界,从而数列有界,这推出级数时, .故由级数收敛可推出级数收敛.例11 设,证明数列与级数同为收敛或发散.证明 令,则.所以收敛收敛时有,所以与同为收敛或发散,从而数列与级数同为收敛或发散注当数列收敛时,称无穷乘积收敛,其

7、极限值称为无穷乘积的值.否则称无穷乘积发散.例如发散而收敛.例12设且,证明级数与级数同为收敛或发散.证明 令,.则.所以级数与级数同为收敛或发散.例13 设正项级数是发散的,表示该级数的前（1）级数也是发散的;（2）级数收敛证明 (1) 由条件知单调递增趋于.我们有固定,令,则.因此存在,当时,有.所以当时, .由Cauchy收敛准则级数发散.（2），此级数部分和有界，故该级数收敛5. Leibniz判别法 设交错级数(其中)满足(1) 单调递减;(2) ,则级数收敛.6. Abel判别法 设 (1) 级数收敛;(2) 数列单调有界,则级数收敛.7. Dirichlet判别法 设 (1) 级

8、数的部分和有界;(2) 数列单调递减且,则级数收敛.对于广义积分有相应的Abel判别法与Dirichlet判别法,这里就不再复述了.例14设函数在上,且单调递减,并对任意的,在上可积.试证明:与具有相同的敛散性.证明 因,且单调递减,故单调递减到0或到某个正数A.（1）当单调递减到0时,则由Dirichlet判别法知,=知,与具有相同的敛散性.（2）当单调递减到某个正数A时,则对无论多么大的数,有.,故这两个积分都发散.例15 讨论级数的敛散性.解 （1）当时,通项不收敛到0,此级数发散;（2） 当时,而收敛,由比较原则知,原级数绝对收敛；（3） 当时,收敛,单调有界,应用Abel判别法知原级

9、数收敛.因为 ,故原级数条件收敛.例16设,且极限存在且大于证明级数收敛.证明 由Leibniz判别法,只要证单调递减趋于.由条件知,存在与,当时, ,由此得.该不等式说明满足.当时,有,故存在,当时,即.所以当时,即.不妨设当.由此可得.例17讨论级数的敛散性.解 设,由例8知级数当时收敛,当时级数绝对收敛,此时有,故.由例16知当时级数条件收敛.由收敛的必要条件知当时, .因此当时, .故级数发散.本题的结论可总结为:.例18证明级数是条件收敛的.证明 令,.则单调递减趋于.又由三角恒等式,所以.由Dirichlet判别法知级数收敛.下面证明发散. .设,显然且使得.所以.由此可知级数发散

10、.例19讨论级数的敛散性.解 当时级数显然收敛.当时,令,.同例18可证单调递减趋于.由Dirichlet判别法知级数收敛.用类似于例18的方法可证该级数是条件收敛的.例20 若收敛，收敛,则级数收敛.证明 令,则.利用Abel变换得到.由于.而单调有界,级数的收敛性即可知级数收敛.练习设收敛，证明：证明 记级数 的前n项和为，则，而，所以例21 设,级数的和记为.证明.证明 显然.另一方面, 令,则,.当时, .因此,当时,有.取则即.所以,. 因此.所以.例22讨论级数的敛散性.解 令.由于,故.同理可证.因此是单调递减趋于的.所以级数收敛,从而原级数收敛.是发散的,但加括号后的级数收敛.

11、我们有以下的定理.定理 将级数加括号,使得同一括号内的项具有相同的符号.如果加括号后的级数收敛,则原级数也收敛,且两个级数的和相等.证明 设加括号后的级数为.其中.设的部分和为,则.由条件知级数存在,记,则当中的项全为正项时, ;则当中的项全为负项时, .因此,即.例23讨论广义积分的敛散性.解 显然该积分不是绝对收敛的.设,则.由Leibniz判别法,级数是收敛的,而,所以积分是条件收敛的.例24将级数的项重新排列,使得按原有顺序先排个正项与个负项,然后再排个正项与个负项,得.证明此级数收敛并求其和.证明 由,其中是Euler,则,其中.我们有;.将重排以后的级数的符号相同的相邻的项加括号,

12、得.它的前项部分和为,其中.所以原级数是收敛的,其和为.特别地有§5.2 一致收敛性及其应用一、基本概念与主要结果1. 一致收敛性的定义(1) 设与都在区间上有定义, ，当时,有对一切成立则称函数列在一致收敛于. (2) 设是函数项级数,其中每一个在，.若函数列在上一致收敛于某函数，则称在上一致收敛于(3) 设是含参量广义积分,其中定义在.若当时在上一致收敛于某函数则称广义积分在一致收敛于.2. 一致收敛性的判断(1)（一致收敛的柯西准则）在上一致收敛，有(2) 若在上一致收敛于 （）推论 级数在上一致收敛的必要条件是：一致收敛于零(3) Wwierstrass判别法(魏尔斯特拉斯判

13、别法,判别法或优级数判别法）若，对一切成立且正项级数收敛，则在上一致收敛(4) Dirichlet判别法 若1）级数的部分和函数列在上一致有界；2），在上对是单调的；3）I 0（），则级数在一致收敛(5) Abel判别法 若1）级数在一致收敛；2）,在上对是单调的(即或)；3）在一致有界，即，则级数在一致收敛3 和函数的分析性质定理1 若在处连续（），且在某领域一致收敛，则在处连续定理2 若在内连续（），且在内闭一致收敛，则在内连续定理3（连续性） 若在一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在上也连续，即即求和与求极限可以交换次序定理4（逐项求积）在定理14的条件下，有即求和与求积分可交换次序定

14、理5（逐项求导）若函数项级数满足条件：（1）在上有连续的导函数，；（2），在点收敛；（3）在一致收敛，则例1设在上正常可积，证明函数项在上一致收敛 证明（递推方式放大） 由在上正常可积知在有界，即，使得，从而，一般地，若对有，则，从而有.由于级数收敛，由Weierstrass判别法, 在上一致收敛 练习 设在上正常可积，证明：函数序列在上一致收敛于零例2（函数列Dini定理）若(1) 在上连续，(2) 对任意,，(3) 且在上连续则函数列在上一致收敛于 证明（反证法）设在上不一致收敛于.由于递增, ，使得 (1)由于是有界数列,由致密性定理，存在收敛子列,不妨设又由于,从而存在使得.由于在点连

15、续且,故存在使得当时,有.当时,由,得.这与(1)式矛盾.注 当条件(2)改为”,”时结论仍然成立.（函数项Dini定理）设函数项级数的每项均在有限区间上连续，且收敛于连续函数若，级数为同号级数，则在上一致收敛于 证明（反证法）假设在上非一致收敛，则，使得，取，使；取，使，如此下去得一子列，使得， （1）由致密性定理，有界数列中存在收敛子列：由题设知是同号级数，因此关于单调递减，所以由（1）得：当时，由于连续，故当时，这与在上收敛相矛盾，故一致收敛例3设(1) 对每一,是上的单调函数，(2) 且在上一致连续证明函数列在上一致收敛于 注 本题条件中不要求对任意,都是单调递增的或都是单调递减的.证

16、明 由于在上一致连续,故,当且时, 有. (1)将区间作等分,使得.设其分点为.由于,故存在,当时, . (2)对于任意,存在使得.由于为上的单调函数, 介于与.由不等式(1)与(2),.所以.故在上一致收敛于例4 证明级数在上收敛而非一致收敛证明 由Dirichlet判别法知对任意收敛.对任意,取.注意当时,有.所以.由Cauchy收敛准则, 在上非一致收敛注 可以证明在上一致收敛,其中,但在的任一邻域内非一致收敛分析 估计的麻烦在于每项因子有，否则很容易证明其发散因此，我们想：在的任一邻域，当从变化到时，能否大于某常数，若能则必非一致收敛事实上，当时，因此，取，使，即只需，取即可证明 取，

17、有，由柯西收敛准则知非一致收敛例5 设是单调递减的正数列,且级数在.证明 由于在上一致收敛, ,存在,当时, 对任意则.由于单调递减,有所以.同理可证.因此.注 本题可推出在上不一致收敛.例6设在开区间内有连续的导函数.令证明对任意闭区间,函数列在上一致收敛于证明 取满足由于在上连续，从而一致连续，即，当,且时，有由微分中值定理,存在使得.所以.存在,使得且,则当时,从而.这证明了在上一致收敛于练习设函数在上有连续的导函数，对每一个自然数，定义函数：试证：在上一致收敛于证明 在上连续，从而一致连续，即，当时，有取，则当时，有，从而由上式和微分中值定理得，即在上一致收敛于例7 设,.证明函数列在

18、上一致收敛于证明 由于,用数学归纳法可证对任意有, 由此推出对任意与成立,所以在上一致收敛于例8证明在上一致收敛 证明（最大值法） 记，则令得稳定点，而，所以在上的最大值为，从而由收敛知在上一致收敛例9设是区间中全体有理数,对任意定义,求定积分的值解 显然在上是单调递增有界函数,因而是可积的.令则.由于且收敛,由Weierstrass判别法,级数在上一致收敛.由逐项积分定理, .例10 设是区间中全体有理数试讨论函数在的连续性，其中是符号函数解 令.显然有惟一的间断点,且在上一致收敛于.对任意,令,则.由于中每一项在连续,且该级数一致收敛,因此在在不连续,所以在在任意无理点是连续的.注在上是可

19、积的,且.练习 设是区间的一个序列，且，试讨论函数在的连续性，其中是符号函数解 10 ，而收敛，故一致收敛20 设为中任一点，则通项在连续，由定理（P17）知在连续30 设为中某点，不妨设为，则，上式右端第一项连续，第二项在处间断，从而其和间断，即在处间断例11设是上的连续函数列,且在上一致收敛于，又满足证明 分析证明 由一致收敛定义得：，有 （1）又连续，且一致收敛于，所以在也连续，进而在处连续.则对上述，当时，有而，则对上述 当时，有，从而当时，有 （2）取，则当时，（1）和（2）式均成立，故有，所以 例12设是上的连续函数列，且在上一致收敛于,又在上一致收敛于.证明 由于在上连续，且恒不

20、为,因此在上恒正.由连续函数的最值定理, 在上有正的最小值,故.由于在上一致收敛于 ,，当时，有，所以,.又,.因此取，则当时,对任意有，这证明了上一致收敛于.练习 设为上连续函数列，且I （1）证明：若在上无零点，则当n充分大时，在上无零点，且有I证明 由函数列一致收敛的性质知在上连续，又在上无零点，故由连续函数的零点定理知在上不变号，不妨设设m为其最小值，则由（1）得：对，当时，有，由此得：当时，有，所以当时，在无零点同时，我们有，由一致收敛的定义立得I.例13证明Riemann函数在连续但不一致连续,且有各阶连续导数.证明 任取,存在满足,则当,.由于级数收敛,所以在在上连续,所以在,上

21、连续从而在点连续.由的任意性,在上连续.再证在上,.当时, ,所以.若在上一致连续,则在上不是一致连续的.记，由归纳法得： ，使得在区间上，有而 ，所以当充分大时，有，由判别法知：对任意正整数，级数在上一致收敛，因此，由数学归纳法知在上存在任意阶导数，从而在点存在任意阶导数，由的任意性知在上存在任意阶导数，且连续例14 证明：(1) 在上不一致连续;(2) .证明 (1)当时, ;当时, .所以该级数的和函数为由于,故在不连续.因此(1)成立.(2)任取使得.当时, ,由于级数收敛,所以在.所以.另一方面,由于,所以与分别作为以为自变量的函数项级数在,.在(1)式中令,得.例15 求证.证明 由于,令,.则当时,单调递增;当时,故在有界,即,而.因级数收敛,所以级数绝对一致收敛.所以例16 设，求。解 =,令u=，则+ +.所以，.故=0.例17 设，且在上有界可积又，当时，I0于，试证分析 已知，则因此只需证明：由于，有在上I0，对上述，有再由的有界性假设可得：，于是当时，故命题为真例18设f是区间0，+)上的连续函数，含参量非正常积分，当= 时收敛，证明在上关于一致收敛。证明 将反常积分写成=。 对于，因为收敛从而关于在上一致收敛， 是的单调函数，且，即在在上关于一致有界，由Abel判别法，可知关于在上一致收敛。 对于，因为收敛从而关于在上一致收敛，是的单