高等数学期末复习_无穷级数

1、高等数学期末复习第十二章无穷级数一、容要求1、能用比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛必要条件，运算性质判别级数的审敛 性运算性质判别级数的审敛性2、能判别级数的绝对收敛，条件收敛3、能用级数运算性质判别级数的审敛性4、能用级数的相关概念与性质推出一些简单结论5、会求哥级数的收敛半径6、会确定哥级数的收敛域7、会求收敛哥级数的和函数8、会利用已知哥级数形式将简单函数作募级数展开9、能确定函数傅里叶展开式边界点的收敛值10、会求傅里叶展开式的系数和作函数的傅里叶展开二、例题习题1、卜列级数中收敛的是（）；B.C.nn3n 2D.12n解:2 n2(n 1)Vn 1 赤发散;11发散,因为1n

2、1发散,1所以12n发散,因此选Co （容要求1）2、下列级数中收敛的是（）1n100”b. c.n-(l q n 12 n 1 n 1 3n 1 n 1 q1)D.2n3n解:limn丹(|q| 1)发散;n 1 q-1, J收敛，所以选3 n 1 3nDo (容11n 1 n,r=:发散;lim n 1, 一发散；|q| 1 时,2n 1 n1、2n 1 n 3n 13 n13n 1100nq要求1）n1 2n 1B.2 n 12nC. ln(1n 11) nD.解:limn12n 111 2n 1发散;limn(n 1)2-2n 1 -2n1,2%收敛;2nlimn1ln(1 -)1，l

3、n(1n 111)发散; n1发散,3n发散。所以选B。（容要求1)4、列正项级数中收敛的是）；nn 12n 1B.n12nC.n1 ln(1 -) 1 nD.2n1 n(n 1)解:limn2n 112n匚发散;i 1limnn 12n 21, 二收敛;n 12n1ln(1 )发放;1 nlimn2n 1(n 2)(n 1)2nn(n 1)2n1n(n 1)发散。所以选Bo （容要求1）5、下列级数级数中发散的是).(A)一 1、(1 cos-) n(B)on .工 1 Sin 3n(C)(n!)21 (2n)!(D)1 n1 1 n2解:观察易知发散，选取Do （容要求1）6、下列级数中发

4、散的是).(A)-1、(1 cos-) n(B)Qn .111 3n(C)(n!)21 (2n)!(D)解:观察易知发散，选取Do （容要求1）7、下列级数中发散的是（）A (1)n .n 1 . n(n 1)(1)n1B. U(lql 1) C. 0n 1 qn 1 3ln(1 n)解：观察易知 ln（1n 1n）发散,选取D。（容要求1)8、下列级数中满足绝对收敛的是();1)n 1 2nB.nc 1 1)nsin- nC.n1)n -3nn 1D.( 1)n 12nn(n 1)解:sinL n 1 n2n1 n(n 1)发散,最收敛,所以n 1 3（1）n-n绝对收敛，选3nCo （容要

5、求2）9、卜列级数中绝对收敛的是(A)(工1 . n 1(B)(C)(1)n11 ln(n 1)(D)解:因为由正项级数审敛法,敛,所以 （1L绝对收敛,n 1 n、n 110、卜列级数中满足绝对收敛的是(1)n 个 B.(n 1n 1n 1解:选D。（容要求2）11、卜列级数中条件收敛的是(A)1)n(C)1)n- n解:作为交错级数(1)nn 11)n(1)nn11 ln(n 1)都发散,B。（容要求n . 11) sin n(B)(D)）；C.1)n1)nD.1)n 2n1n(n 1)1，n收敛，但不绝对收敛，因此，选Ao （容要求2）12、下列级数中满足条件收敛的是（）；n nn 1

6、1A- ni( 1) k7B. nJ 1) 于C.n n(1) TFD.(n 13n 11)nTn解：（1）nn 1-不收敛，（1）一工2n 1n 1 n2（1）n2绝对收敛，因此,13n选 D。（容要求2）13、若级数un收敛，则下列级数不收敛的是（）.n 1(A) 2Unn 1(B) (2Un)n 1(C) 2Unn 1(D) Unn 2解：由收敛性质易知（2 Un）不收敛，所以选 B。（容要求3）n 114、12.9若级数un收敛，则下列级数不收敛的是)(A)10Un(B)(10 Un)n 1n 1(C) 10 Unn 1(D) Unn 10解：由收敛性质易知 （10 Un）不收敛，所以

7、选n 1Bo （容要求3）15、若级数Un收敛,n 1则下列级数中发散的是).(A)10Unn 1(B)Un 10 1(C)10Unn 1(D)(10 Un)n 1解：由收敛性质易知（10 Un）不收敛，所以选n 1Do （容要求3）).16、如果级数Un条件收敛，则 | Un | （A.必收敛B.必发散C.不一定收敛D.无法判断解：由定义,Un条件收敛,则1|Un |必发散。所以选B。（容要求4） n 117、如果级数un收敛，则极限limun（）.,nA.存在B.不存在C.等于零D.无法判断解：由性质,Un收敛，则极限1lim unn0 ,所以选Co （容要求4）18、若级数un收敛，则l

8、im(un 1)().n 1n(A)2(B)0(C) 1( D) 1解：由收敛性质，lim（un 1）n1 ,所以选D。（容要求4）19、若级数 （1 un）收敛，则limUn解：由收敛必要条件:20、若级数Un收敛,n 12则 lim(UnnUn 2013)lim(1 Un) 0,所以填 lim Un 1。(容要求 4) nn解：由收敛必要条件:lim Un 0,所以填2013。（容要求4） n21、lim UnnUn收敛的条件解:lim UnnUn收敛的必要条件，所以填“必要”。（容要求4）nX22、哥级数 一的收敛半径为 n 1 n1n解：lim -n- 1,的收敛半径为1,填1。（容要

9、求5）n 1n 1 nnnn 1 X23、哥级数 （1） 一的收敛半径为n解：lim I 1,（ i）n1x_的收敛半径为1,填1 （容要求5）n 1n 1nnn X24、哥级数 的收敛半径Rn 1 n 2n1(n 1) 2n 1斛：lim n 1nX 上方收敛半径Rn 1 n 2n2 ,所以填2。（容要求5）n25、哥级数 （1）n 土的收敛域为（）.n 1nA. 1,1B.( 1,1C. 1,1)D. ( 1,1)1n解：lim n-1 1,( 1)nJ的收敛半径为1,又xn 1n 1 nnn1 时，(1)n n 1n1,发散,n 1 nnn X1时， (1)n 1n（1）n1收敛，所以收

10、敛域为n 1 n（1,1,故选Bo （容要求6）nX26、哥级数一的收敛域为（）;n 1 n(A) ( 1, 1)；(B) 1, 1)；(C) ( 1, 1；(D) 1,1.11,(U 收敛，X 1 时,n 1 n n 1 nn解：lim n- 1,人的收敛半径为1, xn 1n 1 nn1 ,1发散，所以收敛域为1, 1）,故选B。（容要求6） n 1 nn X27、哥级数的收敛域为 n 1 n解：收敛域为1, 1）。（容要求7）n X28、哥级数下的收敛域为n 1 n解：收敛域为1, 1。(容要求7)29、n x 哥级数 -=的收敛域为n 1 . n解:收敛域为1, 1)。(容要求7)30

11、、n 1求帚级数nx 的收敛域，并求和函数。n 1解:n 1,lim 1 ,所以收敛半径为1,又x 1, n n发散，所以收敛域为(1, 1)。令 s(x)1xnx，贝U ° s(x)dxn 1nnx01dx14边求导得s(x) 7，x ( 1, 1)。(容要求(x 1)2 *8)31、求哥级数n(n 1)xn的收敛域，并求和函数n 1解：易求得 n(n 1)xn收敛域为(1, 1)。令s(x) n 1n(n 1)xn1，两边积分得，并由12.512的结果有s(x)dxnxn 1 x2nxn 1 -20n 1n 1(x 1)2,两边求导,一x22xS(x) -7-j, 1 x 1.(

12、容要求 8)(1 x) (1 x)32、求哥级数n-xn 1的收敛域，并求和函数。0n 1解：易求得n,两边求导，有xn ,两边积分得 s(x)收敛域为1,1)。令s(x)0n 1s(x)xnn 01,1)。(容要求8)1(1)n 1 2n 133、求哥级数-一 的收敛域，并求和函数。n 1 2n 11解：lim n2n 1 12n 11,n 1 2n 1n 1 2n 1(1)x一 的收敛半径为1,又x 1,1,( 1)x一 收n 1 2n 1n 1 2n 1敛，所以,n 1 2n 1(1)x一的收敛域为-1,n 1 2n 11。令 s(x)n 1 2n 1(1) x一，两边求导得,n 1 2

13、n 1s(x)(1)n1x2(n1)1n 1 / 2、n(1) (x )n 11，一二，两边积分得1x234、解:35、解:36、A.s(x)arc tan x,x1,1(容要求8)n 2n(1) x 十在n!B.n n(1) xn 0 n!C.的和函数是2xe D.f(x)(n 2n1) x 十在n 0 (2n)!A.e xB.ex解:n 2n(1) x0 n!,所以选A。(容要求8)的和函数是f(x)(C.cosxD. sinx(1)n 2n (1) x显然为偶函数,所以选n 0 (2n)!哥级数 nxnn 11 一一一 一 的和函数为(Co).(容要求8)s(x)1(1 x)2令 s(x

14、)n 1 nx1,J,所以选 (x 1)37、求哥级数B.1(1 x)2x0 s(x)dxBo (容要求8)n(x 1)n的和函数。C.(1xx)2D.(1xnx01dx1,两边求导得解：令 s(x) n(x 1)n ,则 n 1s(x)nin(X 1)n(X 1)nin(X 1)n1 4，1X 11 1X 1即 s(x) ,0 X 2。(容要求 8)(x 2)2_1 38、将f(x) 1展开成X 1的幕级数的展开式为 X解：f(x) 1 1(1)n(x 1)n,0 x 2,所以填X 1 (X 1) n 0(1)n(x 1)n,0 x 2 (容要求 8) n 0-139、将f (x) 展开成x

15、的品级数的展开式为解:一、 11 1f (x)x 2 2 X1 -2x 21( n nn(_1) vn 丫 ( 0 (容萝乘 8)(1) ( )n 1 X , X ( 2,2)(合安水 8)2 n 02 n 0 2140、函数f (X) 展开成X的哥级数的形式为 2 x1111 x x解：f (x) -f，x ( 2,2)(谷要求 8)2 X 21 X 2 n 02n n 0 2n 12X41、函数f(x) e3展开成x的幕级数的形式为 nXxq丫门解：f(x) e3 二一,x (,)(容要求 8)n 0 n! n 03 n!42、将函数f (x) ax展成x的哥级数，并给出其收敛域解：f(x

16、) ax exlna(xlna)-ln-axn,x (,)(容要求 8)n 0 n! n 0 n! 一、 1 一 ., 一 43、将函数f(x)一展开成(x 3)的哥级数，并给出其收敛域.X1斛：f (x) x1)n (x n3) ,(0 x 6)(容要求 8)3n 144、函数 f(x)1的哥级数，并给出其收敛域1 口.展开成x2 x解：f (x)1131 x 11)n (x n1) , x (0,6)(容要求 8) 345、将函数f(x)x3x展开成2x的哥级数解:f(x)xx2 3x(容要求8)n x 2n 0 21,1)2n 1 nhx ,x0 246、函数f (x)以2为周期，它在,

17、)上的表达式为f(x)1,1, 0f(x)的傅里叶级数在处收敛于).A. 0解：f( ) f(2B. 11 12C. 1D.47、函数f (x)以20,所以选A。(容要求9)为周期，它在,)上的表达式为f (x)x,0,0，则 f (x)的傅里叶级数在x解：f( ) f(2处收敛于0 00,所以填0。(容要求9)248、函数f(x)以2为周期，它在(，上的表达式为f(x)f(x)的傅里叶,所以填。(容要求9)级数在x解：自处收敛于.)f() 249、函数f (x)以2为周期，它在,)上的表达式为f(x)2,2, 0 xf(x)的傅里叶级数在x处收敛于解：填0。(容要求9)0，则f (x)以2为周期的傅里叶级数在点1,50、函数 f (x)1 x2, 0收敛于29)解：填。(容要求251、函数 f(x)x2()的傅里叶级数展开式中的系数b3 o-1解：b3(2、x )