不等式的证明及著名不等式

1、第二讲不等式的证明及著名不等式基础知识自主学习知识回顾理清教材I要点梳理1.大体不等式定理：若是孙bGR,那么/+"穿2W,当且仅当*=6时，等号成立.(2)定理(大体不等式)：若是%b>0,那么一厂一4几,当且仅当时，等号成立.也能够表述为：两个的算术平均它们的几何平均.利用大体不等式求量值：对两个正实数、，F,若是它们的和S是定值，则当且仅当时，它们的积P取得最值：若是它们的积P是定值，则当且仅当时，它们的和s取得最值.2 .三个正数的算术一几何平均不等式定理若是小b,。均为正数，那么匚赤，当且仅当时，等号成立.即三个正数的算术平均它们的几何平均.(2)大体不等式的推行对于

2、个正数"I，“2，为，它们的算术平均它们的几何平均，即当且仅当时，等号成立.3 .柯西不等式(1)设“，b,C,4均为实数,则(02+b2)d+的2(如+她2,当且仅当"=加时等号成立.(2)设“I，az,ii3,u,bi，仇，瓦是实数，则k欣)(尻+员H1星)2(“新+“2必+«瓦)2,当且仅当仇=06=1,2,，)或存在一个数鼠使得的=幼十=1,2,用时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设a,是两个向量，则la£kd网，当且仅当夕是零向量，或存在实数及，使a=3时，等号成立.4 .证明不等式的方式(1)比较法求差比较法明白心丛以一岳>0,

3、<丛缄l<0,因此要证明只要证明即可，这种方式称为求差比较法.求商比较法由”>>0<=>表1且a>0,b>0,因此当">0,>0时要证明”>）,只要证明即可，这种方式称为求商比较法.（2）分析法从待证不等式动身，慢慢寻求使它成立的，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式（已知条件、定理等）.这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方式.综合法从已知条件动身，利用不等式的有关性质或定理，通过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方式，这种证明不等式的方式称为综合法.（4）反证法的证明步骤第一步：作出与所

4、证不等式的假设：第二步：从条件和假设动身，应用正确的推理方式，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.（5）放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适本地，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而取得欲证不等式成立.（6）数学归纳法设PQ是一个与自然数相关的命题集合，若是：（1）证明起始命题P（或凡）成立：（2）在假设R成立的前提下，推出Phi也成立，那么能够判定P”对一切自然数成立.夯实基琳突破疑难1 .已知"<o,b<0,且%则”，b的大小关系为.2 .己知4、氏，均为正数，且。n,N=/”，则M、N的大小关系是bb+m3 .设一小，c=f一

5、#,则”，b,c的大小关系为.4 .已知">0,>0,则P=晦（1+坂），Q=«lg（l+）+lg（l+。）的大小关系为.2225,设人c是正实数，且a+c=9,则;+的最小值为.题型分类-深度剖析题型一柯西不等式的应用【例1】已知3r+2)26,求证：2x+yW，TL思维升华利用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式("2+b2)(c2+d2)(ac+bd),当且仅当ad-上'时等号成立.废踪训练1若3x+4y=2,则r+V的最小值为.题型二用综合法或分析法证明不等式【例2】已知a,，c&

6、#163;(0,+8),且a+c=l,求证：(1)(:一1>("-1)(：-1)28：Qhfil+小+小.思维升华用综合法证明不等式是由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方式.综合法往往是分析法的逆进程，表述简单、层次清楚，所以在实际应历时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法彼此转化，彼此渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，能够增加解题思路，开阔彼予.跟踪训练2设a,，c>0,且"+加+ca=L求证：(l)a+b+c24：品.+俄+造2小(W+加)题型三放缩法或数学归纳法【例3】若n£N&

7、#39;，S=VTX2+V2X34-+h(h4-1),求证：思维升华与正整数有关的不等式证明问题，若是用常规方式有困难，能够考虑利用数学归纳法来证明.在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设.同时，这一步噱往往会涉及分析法、放缩法等综合方式.本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦.放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系.常见的放缩变换有强ill1019<-/72>-，不<二/I.上面不等式中匕>1.A(k-l)Ak(k+1)小小十小二I#十/Ji跟踪训练3求证：。一一二<1+1+3+L<2%22,hGN).2+12-3-，厂

8、n思想与方法一与丽竟术一几何平可示薪求最值典例：(5分)已知“，b,C均为正数，则屏+按+。2+&+5+：)2的最小值为思想方法感悟提高方式与技能1 .不等式的证明方式灵活，要注意体会，要按照具体情形选择证明方式.2 .柯西不等式的证明有多种方式，如数学归纳法，教材中的参数配方式（或判别式法）等，参数配方式在解决其它问题方面应用比较普遍.柯西不等式的应用I：瞰普遍，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应历时，通过拆常数，从头排序、添项，改变结构等手腕改变题设条件，以利于应用柯西不等式.失误与防范1 .利用大体不等式必需要找准“对应点”，明确“类比又惨”，使其符合几个著名不等式的特

9、征.2 .注意查验等号成立的条件，专门是多次利用不等式时，必需使等号同时成立.练出高分A组专项基础训练1 .若5H<0,则下列四个结论：11>心1:a+bv/b：+2：<2/一.其中正确的是.2 .若72="弁）,则当S,时.与小的大小为.3 .设0vt<1,则b=1+x,。=厂彳中最大的一个是.4 .已知x,yCR,且冷，=1,则（1+3（1+3的最小值为.xy5 .设尤>0,）>0,乂=会+士，贝UM、N的大小关系为.6 .若a,bER.,且“Wb,M=.+9,N=*+小,则M、N的大小关系为.7 .若a,b,cC（0,+°°

10、;）,且+b+c=l,则皿+木+亚的最大值为.8 .已知“，c为正实数，且”+2Z>+3c=9,则小亢+代的最大值为.9 .（2013天津）设“+22,h>0,贝1当=时，击+年取得最小值.O110 .设<>0,b>0,则以卜不等式4>1一以一：/+2>4a-3/小：而+2方>2中恒成立的序号是.B组专项能力提升1Q1 .己知心>0,>0,且；:+:=1，则x+v的最小值为.xy2 .函数y=/（l3x）在（0,9上的最大值是.3 （2013陕西）已知”,3m,均为正数,且“+=1,=2,则（+加）（'+.）的最小值为.4 .

11、己知”，b为实数,且>0,/?>0.则（”+%产+H丹勺最小值为.5. P=a>o, .v>o, z>o）与3的大小关系是6 .已知f+ZV+B/MF，则3x+2y+z的最小值为7 .设小b,c都是正数，那么三个数“+/.（填序号）都不大于2：都不小于2：至少有一个大于2；至少有一个不小于2.答案基础知识自主学习要点梳理1. (2)>a=b正数不小于(即大于或等于)(3)x=y大x=y小2. (1)2a=b=c不小于(2)不小于，="2=3=“4.Z?>01(2)充分条件(4)相反放大或缩小夯基释疑1. a>b2. M<Naa+m

12、m(a-b)解析=-<0fM<N.。b+mb(b+m)3. a>h>c解析分子有理化得，二厂厂，b二J厂，。二3厂小十娘<6+/5木十幸，a>b>c.4. 尸W。解析如(1+")+lg(l+b)=l(+a)(+h).V(1+a)(1+/?)=1十(a十份+21+2yab+ah=+(1+ci)(1+b)I+yabtMgd十迎)+)二/lg(l十十lg(l+b),即lg(l+V)|lg(l+t/)+lg(l+/7).：.PQ.5. 2解析3+b+C)弓十年十月二【(W)2+(邓)2+(6)41(yjl)2+2M代+Gyjl+m巾=18.222,工

13、十尸我2.222，介介"的最小值为2.题型分类深度剖析m ii证明由于2.v + y =靠后）嗑小y），由柯西不等式（。仍1+42b2>W（N+N）（房+星）得（2m十J'"忘K/）2+（*产（39+2y2）十；）X6=2X6=11,工12%+ylW，TI,2x+yWy/H.4跟踪训练125解析由柯西不等式（32+染），+y2）（3x+4），）2,4得25（小十.224,所以十卡2万务+4丫=2,不等式中当且仅当京二；时等号成立，/十）7取得最小值，由方程组£_y解得卜微,因此当x二会，y二会时，小十）。取得最小值,最小值为表.【例2】证明（l）“，

14、c£（O,+8）,/a+b2yabrb+c2y/bctc+a2yfca,111（b+c）（a+c）（a+b）（-1）-（-l）-（-D=诙多.=o.abc""go,十8）,Aa+b2yab,b+c2ybc,c+a2ycat2（a+/?+c），2皿十2/Z十2yccit两边同力口ci+b+c彳导3（a+b+c）a+h+c+2yab+lyfbc+2ycci=（、/二+也+yc）2.又a十十。二1,，（也+部+#）2<3,，yci+y（b+,跟踪训练2证明要证a+b+c25,由于4,由c>0,因此只需证明（。十+c）2>3.即证：a2+b2+c2+2(

15、ah+be+c")>3,而ab+bc+ca=1,故需证明：a1+b1+c1+2(ab+bc+ca)23(a+hc+ca).即证：a2+b2+c2ab+bc+ca.a2+b2b2+c2c2+a2而这能够由ab+bc+ca<-+-"+'=er+c2(当且仅当a=h=c时等号成立)证得.，原不等式成立.小十求十G二yjabc在中已证a+h+c，力.因此要证原不等式成立，只需证明*方20十W十即证十以向十c'yfcib：1,即证ayJbc+cJTilWab+be+ca.ab+ac-ab+be-bc+ac而(bc=、aba(W5，5，5crbc+Irac+

16、cyabab+be十ca（a=b=c=芈时等号成立）.原不等式成立.例3证明Vn(n+)>n2rn(n+1)/Sn>1+2+/J=5In+n+2n+11(+1)n-2 + 2 =又(“+1)<2=n+2，S<(1+1)+(2+1)+(zi+1)=跟踪训练3证明Vk(k+l)>k2>k(k-1),k>2,别离令k=2,3,，得11112-3<22<l-2；11111ykrw；iiiii一+1户-1-将上述不等式相加得：1111112334十“十111<>十方+十齐11111<1-z+z-7+_一,223-I，anl1111,

17、1即“；77后十予+十内1->.31111、1受-177<1十”十斗十十m<2-练出高分A组1. 解析取特殊值"二-1"二-2,代入验证得正确.2. A。2ss(m+n)4nm-(m+n)2解析因为六一bi'K-s(m-n)2=WO,所以TWT?.2mn(m+n)3. c解析由a2=2a-,b2=+x2+2x>a2ta>0th>0得b>a.i1-(1-x2)¥2又c-h=(1+x)=->0得c>b,知c,最大1-x1-x1-x4. 4解析(1十；)(1+-)(1+-/=)2=4.A3y/xy5. M&l

18、t;Nxvxvx+y解析N二不二E二"6. M>N解析,»ab,.*.-=+b>2-a,+ya>2b,.*.卷+小十t+g>2g+2yb,，上十关了5十班即m>n.解析（血十血十加）2=（1X，ii+1X"+1X&）2<（12+2+2）（a+b+c）=3.当且仅当“二二。时，等号成立.*（W十小十加）y3.故打十4+W的最大值为小.解析，52十1+加二小g十，55十七小ZW7（3+1十；）（十2十3c）=,故最大值为取.9 .-2解析由于"十=2,所以击十普二需二指j十肃十普，由于/»°，同>°，所以肃十挺2y二1,因此当”>0时,击十%最小值是:+1=1；当<0时，击十票的最小值是-；十1二;故土+那的最小值为（，现在J_lul,41。即“二.2,/<0,10 .解析:“。，历>0,，“十.故不恒成立.a+b中a+b>a-/升值成立.中a1+b2-4ah+3b2=a2-4ab+4b2=(a-2/?)20,故不恒成立.2中由ab>0及ah+示，2巾>2恒成立，因此只有正