辽阳市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题

1、辽阳市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）1. （2 - ?）- （1 + 3?）=（）A. 2 - 7?B. 2 + ?C, 4 - 7?D. 4 + ?【答案】A【解析】解：（2 - ?肉-（1 + 3?= 3- 4? （1 + 3?= 2 - 7? 故选：A.直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.2. 设集合？?= ?e?|?> 4, ?= ?|?< 100,贝U?n ?勺元素个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：.集合？?= ?e?|?> 4, ?

2、= ?|?2?< 100 = ?卜 10 < ?< 10, .?n ?= 5,6, 7, 8, 9, ，？?n ?冲的元素个数为 5.故选：C.先分别求出集合 a和B,再求出？?n?由此能求出结果.本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题.3. 双曲线? - ? = 3的焦距为（）A. 2v2B. 4C. 23D. 12【答案】C?今 、？【解析】解：根据题意，双曲线 ?- ?3 = 3的标准方程为？3?- ? = 1，其中？?= ?= V3, 则？?=，?+ ? = 其焦距2?= 2v6； 故选：C.根据题意，将双曲线的方程变形为

3、标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值,由焦距公式计算可得答案.本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程.?>?-1一一一I,4.设X, y满足约束条件?> -3?+ 4,目标函数？?= ?+ 3?则（）A. z的最大值为3 B. z的最大值为2 C. z的最小值为3 D. z的最小值为2【答案】D .?二？-1 , . _ . 一【解析】解：由?.3?+ 4作出可行域如图,?胃-3? + 4、？=?-i联立?= -3? + 4,化目标函数？?= ?+ 3?9?= - ?+ ?；由图可知，当直线 ？?= - -+ ?过A时， 333351直线在y轴上的截距最

4、小，z有最小值为4+ 3 x-= 2.故选：D.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.?5. 已知函数?(?= ?sin?(?0,?> 0)与?(?=万 cos?部分图象如图所示，则()._3A. ?= 1, ?= ?B. ?= 2, ?= 3_一？C. ?= 1, ?= 33D. ?= 2, ?= ?【答案】B1?【解析】解：由图象可知，2?= 1, 4= 1.5, .?= 2, ?= 6,一2?又6= ?=?'.? =1 ?3.'故选：B.

5、1?结合图象可知，2?= 1,4= 1.5,然后再由周期公式即可求解？本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题.6. ?角 A, B,C 的对边分别为 a, b,c,已知？?= 4,?= 9 , sin?sin?= sin2?则 cos?=()A 65A- 7231B. 367C. 861D. 72【答案】D【解析】解：,.?= 4, ?= 9, sin?sin?= sin2?.? = ? 36,?吊+?-?2?+?£? 61cos?= = = 2?2?72故选：D.由已知利用正弦定理可求 ？= ? 36 ,根据余弦定理可求cos?勺值.本题主要考查了正弦定理

6、，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于 基础题.7. 已知？?(?涉定义在(-8,0) U(0, +8)上的奇函数，当？?> 0时，?(?= ?+?则？(?)的值域为()A. (- 8,-2 U2, +8)B. -2,2C. (- °°,-1 U1, +8)D. 2, +8)【答案】a【解析】解：根据题意，当 ？?>。时，？?(?= ?+ ?则？?(?= ?+ 1?>2 X，？?= 2,又由函数？?(?涉定义在(-8,0) U(0,+8)上的奇函数，则当？?< 0时，有？(?)< -2 ,则函数的值域为(-8,-2 U2,+8)

7、；故选：A.根据题意，由函数在？?> 0时的解析式，结合基本不等式的性质分析可得？?(?户2,结合函数的奇偶性分析可得答案.本题考查函数的奇偶性的性质以及应用、函数的值域计算，涉及基本不等式的应用，属 于基础题.8 .正三棱锥？? ?侧棱两两垂直，D, E分别为棱PA, BC的中点，则异面直线 PC与DE所成角的余弦值为()【解析】解：如图,设？?= 2,以A为坐标原点，分别以 AB, AC, AP所在直线为x, y, z轴建立空间直角 坐标系，则？(00, 2), ?(0,0, 1), ?(02, 0), ?(11, 0),?= (1,1, -1) ， ?= (0,2, -2)，贝Uc

8、os< ?>=?2+2v6= _ZZ-= |?|? v3X2v23.异面直线PC与DE所成角的余弦值为 叁 3故选：D.设？?= 2,以A为坐标原点，分别以 AB, AC, AP所在直线为x, y, z轴建立空间直角 坐标系，求出？?坐标，由数量积求夹角公式可得异面直线 PC与DE所成角的余 弦值.本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题.9 .(1 + ? - ?(1 + ?5展开式中？号的系数为()A. 1B. -9C. 31D. -19【答案】B【解析】解：(1 + ?5展开中第？?+ 1项为？?+1= ?,其？的系数，常数项，？，的系数 分别为?2

9、, ?0, ?3,故(1 + ?- 2?(1 + ?5展开式中？的系数为?5 + ?0- 2?5= -9 ,故选：B.利用通项公式可得：(1 + ?5展开中第？?+ 1项为？?+产？5?其？的系数，常数项，? 的系数分别为？5, ?0, ?3,进而得出答案.本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10 .设？?= log30.4, ?= log23,则()B. ? 0且?+ ?> 0A. ? 0且？?+ ?> 0C. ? 0且？?+ ?< 0D. ? 0且？?+ ?< 01【解析】解：=<0.4<1；3.,-1 < log

10、30.4 <0;又 10g23 > 1;即-1 < ?< 0, ?> 1;.? 0, ?+?> 0.故选：B.容易彳导出-1 < 1og3 0.4 < 0, 10g23 > 1,即得出-1 < ?< 0, ?> 1,从而得出？? 0,?+ ?> 0.考查对数函数的单调性，以及增函数的定义.11. 一批排球中正品有 m个，次品有n个，？+?= 10(? >>?)从这批排球中每次 随机取一个，有放回地抽取 10次，X表示抽到的次品个数若 ？? 2.1,从这批排 球中随机取两个，则至少有一个正品的概率？?=()

11、a 44A. 45BB. 15C. 913D. 15【答案】B?【解析】解：由题意知，随机变量2A (10,而)，_,、 ?则方差?= 10 X 而 X(1 -元)=2.1,又？ >?则？?w 5,.解得？?= 3,一?214.所求的概率为？?= 1 - ?T= -故选：B.由题意知随机变量？%(10,春，根据方差DX求得n的值，再计算所求的概率值.本题考查了离散型随机变量的方差计算问题，是基础题.3?+ 18, ?< -312.已知函数?(?= -?2(?+ 2), -3 0 ?2-3? + 3, ?> 0320,在?,?止的值域为-2y,9,若？ ?731A. 162的最

12、小值与最大值分别为？1?,汉 则?!=()631731631B. 162C. 135D. 135【答案】D3?+ 18, ?< -3【解析】解：函数？(?= -?2(?+ 2), -3 < ?< 0,当-3-3? + 3, ?> 0?< 0时,?(?= -?2(?+ 2),3?' (?-3?2 - 4?令？ (?0,可得？?=-当？?= - 3时，？?(?承得极小值为：-32又？?(-3)= 9,可得？?(?物图象如图：.32 .一32由 3?+ 18 = - 2y,可得？?= -6 -所；由-3?+ 3 = - 22,可得？?= 1 +31.故?1?=

13、-3+3=3; 2781333232631?= 1 + 81- (-6 - 81) = -81 -则罡=竺?1?135 ,故选：D.利用分段函数，求出函数的导数，得到函数的极值，利用数形结合转化求解即可.本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，考查计算 能力.二、填空题(本大题共 4小题，共20.0分)13 .已知向量？ ？的夹角为 120°,且 |? = 1 , | ? = 4 ,贝U ?=【答案】-2【解析】解：由向量的数量积公式得：?= | ?| ?cos120 = 1 X4 X(- 1)= -2 ,故答案为：-2由向量的数量积公式：？?= | ?|

14、 ?cos?M算即可.本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题.?14 .若tan?= -3 ,贝(Jtan(2?+ -) =【答案】7【解析】解：. tan?= -3 , _ 2tan? _-3X2 _ 313-4 + - 3一4 1 .tan2?= 1-tan 2?= 1-(-3) 2=4，_?tan2?+1. tan(2. + 4) = i-tan2?故答案为：7.由已知利用倍角公式求出 tan2?,再由两角和的正切求解.本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题.一，一？吊？,，_ 15 .若椭圆C：屏+痴=1(?> ?> 0)上存在一点 P,

15、使得|?= 8?,其中？，?分别是C的左、右焦点，则 C的离心率的取值范围为 .【答案】9,1)9?2?【解析】解：椭圆 C：阿+?2= 1(?> ?> 0)上存在一点P,使得|?= 8?,其中 ?, ?分别是C的左、右焦点,.|?+ |? = 2?2?可得：|?= >?S- ?9解得?> 9.所以椭圆的离心率为：7,1). 9故答案为：7,1). 9利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可. 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查.16 .设？为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球 。的表面上.若

16、两个底面的面积之和为 8? ?当底面所成角为60°, 则球O的表面积为.【答案】28?【解析】解：如图，设该圆柱底面半径为 r,高为h,则2?= 8?。 一?= tan60 = v3,解得？?= 2, ? = 2V3,则球。的半径？?=，?+(?)2=",故球。的表面积为4?= 28?故答案为：28?由题意画出图形，设该圆柱底面半径为 r,高为h,由圆柱的底面积求得圆柱底面半径, 再由？芍底面所成角为60 °求得圆柱的高，进一步求出球的半径得答案.本题考查球内接旋转体及其表面积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.三、解答题(本大题共7小题)17 .设?a等差数

17、歹U ?的前n项和，？= 81, ?+?= 8.(1)求?蓊的通项公式；(2)若？，?4, ?成等比数列，求【答案】解：(1) .？?为等差数列?的前n项和，？= 81, ?+?= 8 .?=9?5=9(?1+4?)=81-?+ ? = 2?+ 3?= 8'解得? = 1 , ?= 2, .?= 1 + (?+ 1)X2= 2?- 1 .99(1+299-1)(2)由(1)知，？?二 一2一= ?.?, ?4, ?戒等比数列，？?= ?4，即 9? = 272 ,解得?= 9,.? = 182 = 324 .【解析】(1)由等差数列?%的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公

18、 差，由此能求出?)的通项公式.(2)推导出？?= ?(1+2?-1) = ?3.由？,？?4,?戒等比数列，得 9?2 = 272,从而求出?= 9,由此能求出?.本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法及应用，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.18.如图，在三棱锥?- ?, ?”面 ABC, ? ?= ? 且？?L ?(1)证明：平面？?平面PAC;(2)设棱AB, BC的中点分别为 E, D,求平面PAC与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.J1f【答案】证明：(1) ;？和平面ABC, ?平面ABC, .?L ? ?. ?L? ?力?= ?，？

19、?L平面 PAC,.?平面 PBC, 平面？?¥面 PAC.解：(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，令?= 2,则？?(02, 2) , ?(1,0, 0), ?(1,1, 0),则？? (0,1, 0), ?=? (1,-1, -2),设平面PDE的法向量为？?= (?y, ?)?T?>2则g? -，取？?= 2,得？?= (2,0, 1),?= ? ?- 2?= 0平面PAC的一个法向量? = (1,0, 0),则 cos< 密，？?>=/=255 平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值为 冲5【解析】 推导出？?L? ?L?从而？?!平面PAC

20、,由此能证明平面？?？?” 面 PAC.(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值.本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.19.在直角坐标系xOy中直线？?= ? 4与抛物线C: ?3= 2?(?0)交于A, B两点, 且?L?求C的方程；(2)若D为直线？?= ?+ 4外一点，且 ?外心M在C上，求M的坐标.?=2?【答案】解：(1)设？(?？?)，？(?£?),联立?= ?+ 4,可得？,- 2?-? 8?= 0,

21、则？+ ?= 2? ? = -8?,从而？?？= (? + 4)(?2 + 4) = ?+ 4(? + ?) + 16 = -8? + 8?+ 16 = 16,.?!_ ? ?.? ?= ?+ ?= -8?+ 16 = 0,解得？?= 2, 故C的方程为？ = 4?(2)设线段AB的中点?(?, ?),1由可知？ = $(?+ ?) = 2, ?=? + 4 = 6,则线段AB的中垂线方程为？? 6 = -(? - 2),即？?= -?+ 8,?2 =4?. -?=-8,?=4联立?= -?+ 8,解得?= 16或?= 4，M的坐标为(4,4)或(-8,16).【解析】(1)联立方程组，根据韦

22、达定理和向量的数量积即可求出，(2)先求出线段AB的中垂线方程为？?= -?+ 8,再联立方程组，解得即可. 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题20.某工厂共有男女员工 500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件 数统计如下：每月完成合格产品的件 数(单位：百件)26,28)28,30)30,32)32,34)34,36频数10453564男员工人数7231811(1)其中每月完成合格产品的件数不少于 3200件的员工被评为“生产能手”由以上 统计数据填写下面2 X 2列联表，并判断是否有 95%的把握认为“生产能手”与性 别有关？非“生产能

23、手”“生产能手”合计男员工（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品 的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出（0,200件的部分，累进计件单价为1.2元；超出（200,400件的部分，累进计件单价为 1.3元；超出400件以上的 部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男=4 > 3.841 .员工中随机选取1人，女员工中随机选取 2人进行工资调查，没实得计件工资 （实 得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为Z,求Z的分 布列和数学期望.附.?2 = ?（?-?）_一 （?+?）（?+

24、?）（?+?）（?+?）?(? > ?0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】解：（1）列联表:非“生产能手”“生产能手”合计男员工48250女员工42850合计9010100?=?(?-?)(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)100 X (48 X 8-42 X 2)50 X 50 X 90 X 10.有95%的把握认为“生产能手”与性别有关.（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为2600 X1 + 200 X1.2 +200 X 1.3 = 3100 元.从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率？? = |,女员工

25、实得计件工资不少1于3100兀的概率?= 2.在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取 2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为？?= 0, 1,2, 3,?(?= 0) = (1 - 2)2 x(1 - 2) = 20，?(? 1) = ? X2X(1 - 1 X(1 - 2) + (1 -1 228一) x-= 一.2520?(?=2) = (1)2X(1 - 2)+? X；X(1 - 1) X2=7-,25225202 ?(? 3) = 20.?的分布列:Z0123P3872202020203872?(?= 0 *20+ 1 x20+ 2 *江+ 3 *20 =q/口

26、c<2?(?-?)100 x (48 x 8-42 x 2)rr一一q斛析 (1)求倚 =(?+?)(?+?)(?+?)(?+= 50X 50X 90X 10 = 4 > 3.841. 即可判正有95%的把握认为“生产能手”与性别有关.(2)可计算得当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为3100元从已2知可得男员工实得计件工资不少于3100兀的概率？=女员工实得计件工资不少于51 一 一一 一3100兀的概率？ = 2.可得？?= 0, 1, 2, 3,计算相应的概率即可.本题考查了概率计算，随机变量的分布列、期望值，独立性检验，属于中档题.21.已知函数?(?=

27、 1?- (?+ 1)?+ ?ln?(1)当？?> 1时，求？(?物单调递增区间；、一1，一，一，(2)证明：当-2< ?< 0时，？(?彻两个零点；(3)若？?< - 2,函数?(?= 与?= ?处取得最小值，证明： 0 V ?(? < (?- 1)(?- ?)【答案】解：(1)? '(?)? (?+ 1) + ?="穿?) (?> 0),当？?> 1 时，由？ (?)0,解得：0 < ?< 1 或？?> ?故？(？在(0,1) , (?+8)递增；1(2)证明：当-5< ?< 0时，？?(?格(1,

28、+8)递增，在(0,1)递减，1贝U?(? ?(1)= -?- 2 < 0, . ? (0,1) , ?(?)> 0,且？(2)= ?(-2 + ln2) > 0(或？"0, ?(?冲+8, ?(?V+oo),故？?(旗2个零点；(3)证明：？?(?= ；? ? 1 + 然?2+2?(1-ln?) ()2?设？(?)= ?§+ 2?(1- ln?),-1.?< -故？(?五(0, +8)递增，又？(1) = 1 + 2?< 0, ?(?)= ?> 0,故? (1, ?) ?(?)= 0 ,当0< ?< 刑，？ (?)0,当？?

29、> 刑，？'(?)0,故？ = ?.?+ 2?= 2?ln初?(瑞=1?- (?+ 1)?)+ 2?+ ?(?- 1)(?$- ?)1 ?< - 5, ? C(1,?)故 0 < ?(? < (?- 1)(?- ?)【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；(2)根据函数的单调性求出 ？?(?那最小值，求出函数的零点即可；(3)求出？?(?聊解析式，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想, 是一道综合题.?=2?+1_ 22 .在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?= 4? 1 (?为参数)，曲线C