高考导数专题复习

1、高考数学专题复习一一导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用第26页共21页导数运用中常见结论(1)曲线y = f (x)在x = xo处的切线的斜率等于(xo),且切线方程为y = f (%)(x- 5) + f)。(2)若可导函数y= f(x)在x = x0处取得极值，则f(xo)=0。反之，不成

2、立。(3)对于可导函数f(x),不等式f(x)0( 0)的解集决定函数 f(x)的递增(减)区间。(4)函数f (x)在区间I上递增(减)的充要条件是：Vx I f(x)20 (E0)恒成立(f(x)不恒为0).函数f (x)(非常量函数)在区间 I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化 为方程f(x)=0在区间I上有实根且为非二重根。(若f(x)为二次函数且I=R,则有AA0)。(6) f (x)在区间I上无极值等价于f (x)在区间在上是单调函数，进而得到f (x)之0或f (x) 0；若 Vx 亡 I , f (x) 0 恒成立，则 f(x)max0 ,则 f (x)max

3、 A0 ；若三 x。乞 I ,使得 f(x0) 0 ,则 f(x)min g(x)max .若对 0xi Ii, 3x2I2,使得 f(xi) g(x2)，则 f(x)min Ag(x)min .若对 VKJ Ii,mx?WI2,使得 f(xi) g(x2),则 f(x)max g(x)max.(11)已知f (x)在区间Ii上的值域为A, g(x)在区间I2上值域为B,若对灯xj Ii,3 x2乏I2,使得f(xi)= g(x2)成立，则A Bo(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程 f(x)=0有两个不等实根 x1、x2,且极大值大于0,极小值小于0. x+1 win(x+D 1)(

4、13)证题中常用的不等式： ln x 三 x -1 (x 0)-x e - 1 - xln x x -1x 12(x . 1) 1nx 1 _ 1x2 : 2 一 2x2(x . 0)7) sinxx (0x Tt) 1nxx0)一、有关切线的相关问题31例题、【2015局考新课标1,理21已知函数f (x) =x +ax+,g(x) = -lnx.4(I)当a为何值时，x轴为曲线y = f(x)的切线；3【答案】(I) a = 34跟踪练习：aln x b .1、【2011局考新课标1,理21已知函数f(x) =+,曲线y=f(x)在点(1, f(1)x 1 x处的切线方程为x+2y3 =

5、0。(I)求a、b的值；x 1：(-ln x)解：(I)f (x)=x2(x 1)2由于直线x+2y3=0的斜率为1一-,且过点2f(1) = 1,(1,1),故1即f(1)=-,解得 a =1, b=1。b=1, a 12 : 一2,2、(2013 课标全国 I,理 21)设函数 f(x) = x2 + ax+ b , g(x)= ex(cx+d).若曲线 y=f(x) 和曲线y = g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 y=4x+2.求a, b, c, d的值；解：(1)由已知得 f(0)=2, g(0)=2, f(0)=4, g(0) = 4.而 f(x) = 2x+a,

6、g (x) = ex(cx + d + c),故 b=2, d = 2, a = 4, d+c=4.从而 a = 4, b=2, c=2, d = 2.bex，3、(2014 课标全国 I ,理 21)设函数 f(x0=ae、lnx+，曲线 y=f(x)在点(1, f (1)x处的切线为y =e(x-1)+2. (I)求a,b ;a v bb v【解析】：(i )函数 f (x)的te乂域为(0,十 ), f (x) =ae ln x + e e + ex xx由题意可得f=2, f(1)=e 故a=1,b=2二、导数单调性、极值、最值的直接应用(一)单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论

7、例题：【2015高考江苏，19已知函数 f(x) =x3 ax2 b(a,b R).(1)试讨论f (x)的单调性;当a A0时,2- 2af(x )在 I -0,- 3当a = 0时，f (x)在(*，z )上单调递增;乂 2a八 斗)上单调递增，在.,0上单调递减;,3当a 0时，工曰 T二；Ufq+M时，f(xof XW； -1,0；时，ftxQr 3 j J d所以谈了口1在；T年泣+为上单调建阍在; % I4 f *1VJ当a0,x0,-2a I 3 )时，f(x)0, t (所以函数f (x )在(-,0 ), 12a斗 一，收上单调递增，在32a. 0,-上单调递减.31 - a

8、练习：1、已知函数 f(x)=lnxax +1 (a= R).x，1 .当a 0), f (x) = a +2令 h(x) = ax - x 1 - a( x 0)当 a =0 时，h(x) = x+1(x0)，当 xW (0,1),h(x) 0, f (x) 0，函数 f (x)单调递减;当 xW (1,Z), h(x) 0, f (x) A0 ,函数 f (x)单调递增.1当 a #0时，由 f (x) =0 ,即 ax2 -x+1 -a =0,解得 x1 =1,x? = 1. a1当a=2时x1=x2, h(x)占0恒成立，此时f (x) W0,函数f (x)单倜递减；11当 0a0,x

9、w (0,1)时 h(x) 0, f (x) 0 ,函数 f(x)单调递减; 2a1.、一、xw(1,1)时,h(x) 0, f (x) A0 ,函数 f (x)单调递增； a1.，、一,，、xu(1,F)时，h(x) A0, f (x) 0 ,函数 f(x)单调递减. a1当 a0 时10, f (x) 0,函数 f (x)单调递减； a当 x1,Z), h(x)0, f(x)A0,函数 f(x)单调递增.综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,+望)单调递增;1当a =时x1 =x2 ,h(x)之0恒成立，此时f (x) = 0 ,函数f (x)在(0,)单调递减; 2

10、11 1 ,、当0 a一时，函数f(x)在(0,1)递减，(1, 1)递增，(1,f)递减.2 aa12、已知 a为实数，函数 f(x) =(1+ax)ex,函数 g(x)=,令函数 F(x)= f(x) (x).1 - ax当a 0时，求函数F(x)的单调区间.解：函数F(x)=ex,定义域为1 ax当 a0 时，F(x) =2 2-a x2a 12令 F (x) =0 ,得 x(1 -ax)22a 12 ,aJx X”I lx|x a/2, 2 2a , 1-a (x-)ex =aex.(1 - ax)1当 2a 十 1 0 ,即 a 时，F (x) 0 . 2111，当a一时，函数F(x

11、)的单倜减区间为(g,) , (,). 11分2aa- w 12 2a 1 /曰 2a 12a 1当 一一 a 父 0 时，斛 x = 2 倚 X1 =, X2 = .2aaa12a-?a a. 一11，令 F (x) 0 ,得 x w (-=0,-)，XW(,X1), Xu%,收)；a a13分,111 2a 1当 一 0 ,得 x w (X1, X2) .2a a a2a 1k2a 1 2a 1(-，土对；函数F(x)单调增区间为 C,-) .15分aaa1 . 一一 .当2a+1=0,即2=时，由(2)知，函数F(x)的单调减区间为(_oo,_2)及 2(-2,二)2、根据判别式进行讨论

12、22一例题：【2015图考四川，理21】已知函数f (x) =-2(x + a)ln x+ x -2ax-2a +a,其中a 0.(1)设g(x)是f (x)的导函数，评论 g(x)的单调性;1、1 - 1 - 4a 1 ,- v 1 - 4a 、.【答案】(1)当0a 一时，g(x)在区间(0, ),(,收)上单调递增,4221 - 1 _ 4 a 1 1 v 1 _ 4a 、.1 .在区间(,)上单调递减；当aZ 一时，g(x)在区间(0,+s)上单调递224【解析】(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,+s),a g(x) = f (x)=2x-2a-21n x2(1+一),x2 2

13、a所以 g (x)=2-+w x x1 212(x-12) +2(a-1)一2x11 - 1 -4a 11 - 4a 当0a一时，g(x)在区间(0,),(，+比)上单调递增,422在区间(上匹4a,t匹4a)上单调递减； 22,1 ,、，当a 上一时，g(x)在区间(0,收)上单调递增.4a _练习：已知函数f (x) = lnxx-一，aw R .x(1)求函数f(x)的单调区间；解：函数f(x)的定义域为(0,巧.21 . a-xx af (x) 二 一 一1 -2二2x x x令 f (x) =0 ,得-x2 +x +a = 0,记 A = 1 +4a .1 一(i)当a 一时，f(x

14、) 时，由 f (x) =0得 x1 =, x2 =,4221右一一 a x2 0 ,4由 f (x) 0 ,得 0 x 0 ,得 x2 x0 ,则为0 x2 ,由 f (x) x1；由 f (x) 0 ,得 0 cx .1 一。1 4a,1 . 1 4af(x)的单倜减区间为(，-)，单调增区间为(0,).9分221综上所述：当a - 1 4a 1 r1 4a单调增区间为-,-); 2时，f(x)的单调减区间为(0, 士叼；41.、1 - 1 4a 1 、. 1 4a当1a0时，f(x)单调减区间为J；+4a，也0),单调增区间为小1F-4ax八(0,) .10,分212.已知函数 f(x)

15、 =a(x-)2ln x(a WR). x求函数f(x)的单调区间；2解：函数的定义域为(0,+比)，f x) =a(1+4/=ax _2x+a 1分x x x(1)当am0时，h(x) =ax2 2x+a 0在(0,依)上恒成立，则f (x) 0时， =4 -4a ,(i)若 0a 0 ,即 h(x) 0 ,得 x ; 5分aa1 - ： 1 - a 1 ：?1 - a由 f (x) 0 ,即 h(x) 0 ,得 x 0 ，解：(1)若 a=1,则 f (x) = x x-1 Tn x .21当 x=1,e时，f(x)=x -x-lnx,f (x) = 2x-1- - x所以f (x)在1,

16、e上单调增，,f (x)max = f (e) =e2 -e -1.(2)由于 f (x) =x xaln x ,(i)当 a M0时，则 f(x) =x2-ax -ln x , f (x) = 2x -a2,2x ax1a 7 a2 80 (负根舍去)，且当 x w (0,x0)时，f (x) 0 ,所以f (x)在(0,a -a2 8)上单调减，在(ii)当 aA0 时,一 ，、一 1当 x * a时，f (x) =2x a -一 x令 f (x) =0 ,得 x1aa2 8(x = Z工 a 舍),即a之1,则f (x)之0,所以f (x)在(a,依)上单调增;即 0 a 1,则当 xw

17、 (0,xi)时，f (x) 0 ,所以f(x)在区间(0,)上是单调减，在 (，)上单调增.2一2x ax - 16分_,.，,、_1当 0Mxa 时，f(x) = -2x +a -一x22_令 f (x) = 0,得2x +ax 1 = 0 ,记 = a -8 ,若 A=a2 8 0 ,即 0a 0,即 a 272 ,且 0 ：二必：:：x4 : a,- a - . a2 -8则由 (*)=0得&=4当 x U (0,必)时，f (x) 0,所以f (x)在区间(0,)上是单调减，在(,)444、，a 3 a2 -8、，,上单调增；在(，)上单调减.8分4a 八 a2 8、一、综上所述，当

18、a /2时，f(x)单调递减区间是(0,a), f(x)单调的递增区间是(a,收)；-2 o o当a 2万时，f(x)单调递减区间是(0, aTa .8)和(2 4a -8,a)44a -、a2 -8 a * a2 -8 一f(x)单调的递增区间是 (,)和四,收). 10分44(3)函数f(x)的定义域为xW(0,巧.In x由 f (x) 0 ,得 x -a .*x(i )当x夫0,1)时，|x-a 0,小 0 , lnx =0 ,所以 a#1 ；12 分x Inx .In x(iii)当x1时，不等式*恒成立等价于 a x+值成立.xx2ln xx -1，ln x令 h(x) =x ,则

19、 h(x) =2 .xx因为 x 1,所以 h (x) 0 ,从而 h(x) 1 .因为a x叱恒成立等价于a(h(x)min,所以a0在 xW (1,收)上恒成立，e(x)在xW (1,-Hc)上x无最大值.综上所述，满足条件的 a的取值范围是（3,1）.16分22.设a为实数，函数f（x）=x|x -a |（2）求函数f （x）的单调区间（2）（ I ）当30时,/工皿WL/G）的单两增区间为（-8,+7分当.V0时.人工/一。.因为 八工厂39一口0恒成立，所联八上）在一8+ 8）上单调递增,从而八工）的单调地区间为一g.+8）/9分（I ）当心0时当一分时F（x）Q工因为f s y f

20、 3（工+月、（工一E）,一氐 一石，居n 所0省工（一不电工不时，（工）0, 从而人工）的单调增区阔为（. 8*一而）及（后+B）， 11分当一行工行时t/（x = V$/+&=-3(十令得，*13分列赛.X一西.1任）fa V 3，-有序r* 1Vt!/(J)-Lj 0+0/8/、所叫八1）的单漏制区间为居腾），义工）的单调哦区间为（-历）*15分踪上所述，当。0时.语政外外的单调增找问为-8+当。：0时，函数/（公的单河增区闿为（-g.-石3 +8,（一行的单通款区间为（- V ；）* 16 分4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015高考天津，理20已知函数f （x） = nx xn,

21、xw R ,其中n w N*,n至2.（I）讨论f （x）的单调性；【答案】（I）当n为奇数时，f（x）在（-,T）, （1,收）上单调递减，在（T,1）内单调递增； 当n为偶数时，f （x）在（一吗T）上单调递增，f（x）在（1,十无）上单调递减.（II）见解析；（III） 见解析.【解析】由可得，其中打己.V且下面分两种情况讨论，当日为奇数时：令八工)二0，解得Y = 1或# = -1,当上变化时，fx); /(x)的变化情况如下表：X(-1:1)仁十功+/所以，/(上)在(簿1人。；+H)上单调漫减，在LLD内单调递噌(2)当n为偶数时，当f (x) 0 ,即x1时，函数f(x)单调递增

22、；当f (x) 1时，函数f(x)单调递减.所以，f(x)在(，-1)上单调递增，f(x)在(1,收)上单调递减.5、已知单调区间求参数范围例题：(14年全国大纲卷文)函数 f(x)=a x3+3 x2+3 x(a W0).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数，求 a的取值范围.解：(1) f (x) =3ax2+6x+3, f(x) =3ax2+6x+ 3 = 0的判别式=36 (1-a).(i)若a1,则f (x)之0 ,且f (x) =0当且仅当a=1 , x=-1 ,故此时f (x)在R上是增函数.11 _ a一 1； 1a(ii)由于 a w0

23、 ,故当 a1 时， f (x) = 0 有两个根： x1 =, x2 =,若 0a 0 ,故 f (x)在(一| , X2), x xi , + 00 )上是增函数；当 xC (x2, xi)时，f (x) 0 , x0时，f (x) A0 ,所以当a0时，f (x)在区间(1,2)是增函数若a 0 在上恒成立所以，函数，(g在上单调递增无极值：(2)当 a0 时，A=a2 -8a(1 -a )=a(9a -8 )当 0 a W8时，A 09所以，f(x)20,函数f(x )在(-1,收)上单调递增无极值；当a 8时，A092设万程 2ax +ax+1 a =0的两根为 x1,x2(x1Mx

24、2),1因为x1 x2 -11所以，x1 一 ，x2 一44由 g(1 ) = 1 0可得：1 x1 0, f x )0，函数f(x)单调递增；当 xw(x1,x2 )时，g(x)C0, f(x )0, f x)0 ,函数 f(x)单调递增；因此函数f (x )有两个极值点.(3)当 a 0由 g (T ) = 1 0可得：x1 0, f *(x )0，函数f(x)单调递增；当 xw(x2，+ )时,g(x )0, f(x)0 ,函数 f(x)单调递减；因此函数f (x )有一个极值点.综上：当a一时，函数f (x庵(-1,+ )上有两个极值点；9例题：【2015高考安徽，理21设函数f (x

25、) =x2ax+ b .ji ji(i)讨论函数 f(sin x)在(一金，)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;【解析】2(I) f(sinx)=sin xasin x+ b =sin x(sin x a)+b, - x .22f (sin x) =(2sin x-a)cosx, - x .因为 一一 x 0, -2 2sin x 2 .当a W2,bW R时，函数f (sin x)单调递增，无极值.当a之2,bw R时，函数f (sin x)单调递减，无极值.当2 a 2,在(,)内存在唯一的 x ,使得2sin % = a.xMx0时，函数f(sinx)单调递减；x0x时，函数f

26、 (sin x)单调递增.2因此，一2a2 ,b R时，函数f(sinx)在x0处有极小值rr aa2f(sin%) = f (2) =b- 4(二)已知极值点个数求参数范围.一 _._ _ex . 2 例题：【14年山东卷(理)】 设函数f(x)=-7k(+lnx) ( k为常数，e=2.71828| x x是自然对数的底数)(I)当k40时，求函数f(x)的单调区间；(II)若函数f(x梃(0,2 )内存在两个极值点，求 k的取值范围。解：(1)f(x)=ex x2 42xex _k(- 1 xx x(x-2)(ex-kx) / n=-(x 0) x当kM0时,kx 0,. ex -kx

27、0令 f(x) =0,则 x=2二当xw (0,2)时，f(x)单调递减；当xw(2,)时，f(x)单调递增。令 g x =ex - kx贝Ug(x)=ex -kex = k,x =ln kg(0) =1-k ；0,g(0) =1 02 ，eg =e2 k 0,g 2 =e2 2k 0. k ：g Ink = elnk-kln k ： 0. Ink 1 k e 2综上：e的取值范围为(e,3)。2练习：1、【2014年天津卷(理)】已知函触/, ( .t) = x ere (a T1W尺-已如函数j- = /x 有两个毒k工”目X A。时.由，7 月)=9* x = In c .当工变化时.人

28、工i的变化情况如下技*X(Inti)Ina(sc)+/O一In 0 一 1这时.M 的单调通地区爰彳一 x. lm 口 T 单现通硬区I旬是于是.,南裁二/ 个有两个率点暗价于如下条件同可成立,1* ，(一2* 存在 | W (一X-Inu J ,清定/iJtJvO,3 -f-在 E ( In 0.zt j *足,f s; .V O l由 f In d) 0 BP Ind - 1 0 ,解再 J c e.】.IHI此t* 32 J, = 0 ,洞足与三(一x, InnL 旦.,(与)=一口 0 f 取 T. = = - In -满足帛1W r 1n q .- x I .旦 a a_f i $二

29、 i = s* jin e- 0 ,函数 f (x) =ln(1+ax) .x 2(I)讨论f (x)在区间(0,收)上的单调性；(n)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f (xj +f(x2)0 ,求a的取值范围.【解析】(I) f x =21 ax x 22a x 2 ;：。4 1ax2ax 4 a -121 ax x 221 ax x 2(*)2因为(1+ax/x+2) 0,所以当 1aE0时，当a之1时，f(x心0,此时，函数f(x )在(0,依)单调递增，当0a父1时,当 x W(0,Xi)时, 故f (x )在区间f x = 0= x1 = 2件”2尸 (舍去) f(x )0 ；当 xW(x，收)时，f(x)0.(0,x1)单调递减，在(x1,收)单调递增的.综上所述当a至1时，f(x)之0,此时，函数f(x)在(0,收)单调递增，当0a1时，f(x)在区间应回3