对比这两个结果可见发散解这里情况有些复杂要分情况讨论我们

1、K仏求y.的收敘半径。 厶r n n=02、*1=01n+l=UmOtm5+1)!二 limDTK1ft1n+1nn!hDM： 1 limOtm1%+1= liml-*w侃+ 1a.1n=11解；l=lim口roc对比这两个结果可见牯收輸收孵軌它醍蹴醐a3、zn=fllim +1)!iini口 rocn=00解：1 = lim口 roc发散n4,沪10解：这里情况有些复杂，要分情况讨论。 我们前面的结论针对的是级数1=0与所给级数的对比知卩翩川4。奇数这恰好是没有一个简单极限的情况，即（1）（2）两种极限都没有。但显然有上下极限n（-卯+即n=0解：这是典型的没极限，但有上下极限的情况。lim

2、 VW = hm 彳(TF + 2p = lim |(一+ 2 = 3 = oo ll-*1 1心厂w后两种情况说明了 Cauchy-Riema nn方法的作用和重要性。6、f（z）71=1解：收敛半径是11i?（因为曲却KZ尹 泌fl 二 1在收敛圆周|z|=1 ，级数在收敛圆周上处处绝对收敛。 这很容易验证：K-74收敛K级数淞处绝对收熱n=l讯_但是f血)的导数是厂何W y -n=l当Z吧1此f (zt DO,即尸1是f (z)的奇点。7、辆二尿1+诳冋懈斓bn = 04/2 三0)解：我们要计算Taybr展开导数 f%7l!二tai -bl +)1 2b -卜血b0出岀小f鯛虽然我们是

3、直接计算的，但相当于一个分支一个分支地算的，k取不同值就 是不同分支。=12-0f叽=占=一1皿U)俯2-0=(-1 严(rt - 1)!2=011(1 严 7(11 1)( Lnl+ Z)= I - SfeTTz HZ H+ z血 + n!1! 21 1 (-1 尸T Ln(l+ Z)= 1 2knz H1+ -k = 0jb21。2 n其多值性体现在第一项。由这个展式还可求出收敛半径是8、袒+曲0慨研解：仍先求展开导数71!严血)2-0n w (bf(R|口 w (1 + 勿丹 w 旷 址是一个多值函数，整个展开式的多值性就体现在这里。n = nf(刎口 = M(1 +刃“-匕之=祖尸I

4、=心n=町囱0邛= l)Cl+-Uo =卩3- 1血狙7 = hS- 1)护 n = 11：严叭刃|口 =貝3一 1(p -n + 1)(1 + z)LLr=旳一 一 n + l)护(1 + Z严=护+护 冷Z + 1 心2；+严心-1)57+1)尹+nf其中 q_FCg-l) (g-n + l)可见这就是Newt on二项式定理的直接展开。注意：多值性体现在1*里：1弹=/默却，k为整数，由这个级数可直接算 出收敛半径为1。tz=o M展开 f(zr 訓T。解：我们用两种方法展开这个函数。f(z)的奇点在z=0。f(z)在Ov|z|v区域内解析。由于有奇点只能Laurent 展开。直接计算。

5、我们可以利用公式哙L鼬色讪)积分路径的选取是很随意的，只要这个圆里不包含其他奇点就行。对于只有z=0这一个奇点的现在这个问题来说，它可以选成任意 以z=0为圆心的圆。简单起见我们取p = l,即圆为|5| =1, 5只 在这个圆上取值，即S =这样有：1 I锻-诸1,11+11产占宀严 % IT2!阎亦认(艸严11鬥=声血I皿朗2汕1河= 曲血卜叫曲2订变成两个实积分1戸1俨=cos(x sinfl -询d0 + sin(x sin 0 -询d02利2叫这里两个实积分我们有的是办法来对付，先看第二个积分，被积函数3nxEh&-n&)显然以为周期且是奇函数，即：sinx sin(0 + 2:r)

6、他0 + 27?) = sin(i sin &11S)sink sin(=E) ?i(0) = =siii(x 血0初)1严 2 = cos(xsin 0 - n&d&2鹿容易验证cos(x sin 6 -加)在0垃J关于0 = 1!对称，即f=f(2理一 &)cosr sm(27r 一 &) - n(2n 一 6 C0s-x sin 6 - (-nfi) 一 n2n=cosr sin 0 -nPfIT1严肛打=2 I cos(龙sin 0 = n3d32兀Jo1一 cos(xsin G = n8d0SMHBessellio这就是说% =/nW这样有e矿4T M ；x)z=-ar间接计算我们也可以利用Taybr展开间接地得到Laurent级数。 因为指数函数在整个复平面收敛，我们有=fi 严-ejrA那么込評沪;的级数展开就是这两个函数的直接乘积。所谓展成幕级数就是z的幕次表示：1冒xz)2 /00、1n!n=0m!=2 紬 J 乂7 m=0n=0RIW)coY卞(-好严YZj乙迄丿j=0OD-f=O+1 (吨RI+2Jf=-