奥数数的整除讲义练习含答案

1、数得整除 (1)性质、特征、奇偶性知识要点】 :整除性质:(1)如果数a、b都能被c整除，那么它们得与(a+b)或差(a b) 也能被 c 整除。(2) 如果数 a 能被自然数 b 整除 , 自然数 b 能被自然数 c 整除 , 则数 a 必 能被数 c 整除。(3) 若干个数相乘 , 如其中有一个因数能被某一个数整除 , 那么 , 它们得 积也能被这个数整除。(4) 如果一个数能被两个互质数中得每一个数整除 , 那么 , 这个数能被 这两个互质数得积整除。反之 , 若一个数能被两个互质数得积整除 , 那 么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征 : (1) 若一个数得末两位数能被 4(或

2、25)整除, 则这个数能被4( 或 25) 整除。(2) 若一个数得末三位数能被 8(或 125)整除, 则这个数能被 8(或 125)整除。(3) 若一个数得各位数字之与能被 3(或 9)整除, 则这个数能被 3(或 9)整除。(4) 若一个数得奇数位数字与与偶数数字与之差 (以大减小 )能被 11 整 除, 则这个数能被 11 整除。(5) 若一个数得末三位数字所表示得数与末三位以前得数字所表示得 数之差 (大数减小数 )能被 7(或 13)整除, 则这个数能被 7(或 13)整除。奇偶性 :(1) 奇数±奇数 =偶数 (2) 偶数±偶数 =偶数(3) 奇数±

3、偶数 =奇数 奇数X奇数=奇数偶数X偶数=偶数(6)奇数X偶数=偶数奇数一奇数二奇数(8)【典型例题】例1:一个三位数能被3整除，去掉它得末尾数后，所得得两位数就是17得倍数，这样得三位数中，最大就是几?例2:1200这200个自然数中，能被6或8整除得数共有多少个?例3:任意取出1998个连续自然数，它们得总与就是奇数还就是偶 数?例4:有“1” , “ 2” , “ 3” , “ 4”四张卡片，每次取出三张组成三位数,其中偶数有多少个?例£如果41位数55-5099 -9能彼7整除，那么中间方格内的数字是几720<【精英班】【竞赛班】例&某市举办小学生数学竞赛，共2

4、0道题,评分标准就是:答 对一题给5分，不答一题给1分,答错一题倒扣1分，如果1999人参赛, 问参赛同学得总分就是奇数还就是偶数?【课后分层练习】 A组:入门级 1、判断306371能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11与13整除？3、六位数7E36F5 就是1375得倍数，求这个六位数。4、已知10口 8971能被13整除，求中得数。5、有8个学生都面向南站成一排，每次只有7个学生向后转，最少要做多少次才能使 8个学生都面向北?B组:进阶级 1、有一个四位数3AA1,它能被9整除,那么数A代表多少?2、一个一百位数由 1个1,2个2,3个3,4个4,5个5,6个6,7

5、个7,及72个 0 组成 ,问这个百位自然数有可能就是完全平方数吗？ 3、某市举办小学生数学竞赛 ,共 30 道题 ,评分标准就是 :基础分 15 分, 答对一题给 5分,不答一题给 1分,答错一题倒扣 1分,如果 199人参赛,问参赛同学得总分就是奇数还就是偶数？4、已知10口8971能被13整除，求中得数。C组:挑战级 1、能不能将从 1 到 10 得各数排成一行 , 使得任意相邻得两个数之 与都能被 3 整除？2、对于左下表 ,每次使其中得任意两个数减去或加上同一个数,能否经过若干次后 (各次减去或加上得数可以不同 ) ,变为右下表？为什么 ？3、左下图就是一套房子得平面图 , 图中得方

6、格代表房间 , 每个房间 都有通向任何一个邻室得门。 有人想从某个房间开始 , 依次不重复 地走遍每一个房间 , 她得想法能实现吗？典型例题】例 1 :一个三位数能被 3 整除,去掉它得末尾数后 ,所得得两位数就是 17得倍数 ,这样得三位数中, 最大就是几？解:在两位数中，就是17得倍数得数中最大得为17X 5=85(17 X 6=102)、于就是所求数得前两位数字为 85、因为 8+5=13,故所求数得个位数字为 2、 5、 8 时,该数能被 3整除,为使该数最大 ,其个位数字应为 8、最大三位数就是 858、例2:1200这200个自然数中，能被6或8整除得数共有多少个?解:1200中，

7、能被6整除得数共有33个(200一 6=33),能被8整除得数共有 25 个(200- 8=25)、但:6,8： =24,200- 24=88,即 1 200 中, 有8个数既被6整除又被8整除。故总共有:33+25 - 8=50。例3:任意取出1998个连续自然数，它们得总与就是奇数还就是偶数?解:任意取出得1998个连续自然数 其中奇数、偶数各占一半，即999个 奇数与999个偶数。999个奇数得与就是奇数,999个偶数得与就是偶 数，奇数加上偶数与为奇数，所以它们得与就是奇数。例4:有“ 1”，“2”，“3” , “4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其 中偶数有多少个?解:组成得三位

8、数个位数字只能就是2或4两种情况，若个位数字就是2,百位、十位数字可从余下得数字中取，这样可组成3X 2=6(个)三位偶数;若个位数字就是4,同样也可以组成6个三位偶数。这样总共12个。例5如果41位数E二口竺岁能披7整除，那么中间方格内的数字是几? 【精英班】'''解:根据能被7整除得数得特征,555555与999999都能被7因为上式中等号左边得数与等号右边第一个数都能被7整除,所以等号右边第二个数也能被 7整除,推知55口99能被7整除。根据能被7整除得数得特征， 99-55=口44也应能被7整除。由口 44能被7整除,易知内应就是6。【竞赛班】例6:某市举办小学

9、生数学竞赛，共20道题,评分标准就是：答对一题给5分，不答一题给1分,答错一题倒扣1分,如果1999人参赛，问参赛同学 得总分就是奇数还就是偶数?解:对于每个学生来说,20道题都答对，共得5X 20=100分(偶数)。若该学生答错一题,应从100分中扣(5+1=6)分，无论她答错多少道题，扣分得总数应就是6得倍数，即扣分得总数也就是偶数,100分中扣除偶数分仍得偶数分；同样若她不答一题，应从100分中扣除(5- 1=4)分，无论她不答多少道题，扣分得总数应就是4得倍数，即扣分得总数也就是偶数，所以100分中减去偶数仍得偶数， 每个学生得分数就是偶数，那么无论有多少人参加数学竞赛，学生得分得总

10、数与一定就是偶数。【课后分层练习】A组:入门级 1、判断306371能否被7整除？能否被13整除?解：因为371-306=65,65就是13得倍数，不就是7得倍数，所以306371能被13整除,不能被7整除。2、abcabc能否被7、11与13整除？分析与解；因abcabc = abcX 100b WCH是几11和13的倍数，所以11 和 13 整除*3、六位数7E36F5就是1375得倍数，求这个六位数。解:因为1375=5X 5X 5X 11=125X 11,根据能被125整除数得特征，这个数得末三位能被125整除,可知道F=2，又因为这个数就是11得倍数，所 以7+3+2 - (E+6+

11、5) = 1 E就是11得倍数，那么E=1、所以这个六位数就是 713625、4、已知10口 897能被13整除,求中得数。解：10口8 -971=1008- 971+口 0=37+口 0。上式得个位数就是7,若就是13得倍数，则必就是13得9倍,由 13 >9-37=80,推知中得数就是 &5、有8个学生都面向南站成一排，每次只有7个学生向后转，最少要做多少次才能使8个学生都面向北?解:对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。由于每一轮恰有7个学生向后转,8个学生向后转得次数总与为7 > 8=56（次）。因此最少要做56一 7=8（次）才能使8个学生都面向北。B组:进阶级

12、 1、有一个四位数3AA1,它能被9整除,那么数A代表多少?解:3+A+A+1=4+2A,根据能被9整除数得特征,4+2A就是9得倍数。因 为4+2A就是偶数，所以4+2A=18,A=7、2、一个一百位数由 1个1,2个2,3个3,4个4,5个5,6个6,7个7,及72个0组成，问这个百位自然数有可能就是完全平方数吗?解:任何一个自然数得平方除以3都余1或0、而这个一百位数得数字与就是140,140除以3余2,所以这个一百位数不可能就是完全平方数。3、某市举办小学生数学竞赛，共30道题，评分标准就是：基础分15分,答对一题给5分，不答一题给1分,答错一题倒扣1分，如果199人参赛, 问参赛同学

13、得总分就是奇数还就是偶数?解:仿照例&这199位同学得得分总分就是奇数。4、已知10口8971能被13整除，求中得数。解：10口8 -971=1008- 971+口 0=37+口 0。上式得个位数就是 7,若就是 13 得倍数 ,则必就是 13 得 9 倍,由13 >9-37=80,推知中得数就是 &C组:挑战级 1 、能不能将从 1 到 10 得各数排成一行 , 使得任意相邻得两个数之与都 能被 3 整除？ 解:10 个数排成一行得方法很多 , 逐一试验显然行不通。我们采用反证 法。假设题目得要求能实现。 那么由题意 , 从前到后每两个数一组共有5组，每组得两数之与都能被 3整除，推知110得与也应能被3整除。实际上,110得与等于55,不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立， 所以题目得要求不能实现。2、对于左下表 , 每次使其中得任意两个数减去或加上同一个数 , 能否经 过若干次后 （ 各次减去或加上得数可以不同 ）, 变为右下表？为什么？ 解: 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数 , 所以表中九个数码 得总与经过变化后 , 等于原来得总与加上或减去那个数得 2 倍, 因此总与得奇偶性没有改变。原来九个数得总与为1+2+9=45,就是奇数，经过若干次变化后 , 总与仍应就是奇数 , 与右上表九个数