高中数学必修一集合与函数的概念_复习资料-21页word资料

1、必修1第一章集合与函数概念R1.1 3集合【1.1.1 集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性(2)常用数集及其记法N表示自然数集，N 或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集(3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M ,或者a M ,两者必居其一.(4)集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合描述法： x| x具有的性质,其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任

2、何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集A B(或 B A)A中的七- 元素都属于B(1)A A(2)A(3)若AB且BC,则AC(4)若AB且BA,则ABG)或。真子集A B(或 B A)A B,且B中至少有 一元素不WT A(1)A (A为非空子集)(2)若 A B 且B C ,则 A C集合 相等A BA中的七- 元素都属 于B, B中 的任一元 OPWT A(1)A B(2)B AQ：)(7)已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n 2非空真子集【1.1.3

3、)集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AI Bx | x A,且x B(1) AI A A(2) AI(3) AI B AAI B Bc®并集AUBx| x A,或x B(1) AU AA(2) AUA(3) AUBAAUBB1S)补集eu Ax|x U,且 x A(1)AI (eUA)(2) AU (eUA) U(3)梦(AI B) (uA)UQB)(4)筋(AUB) (uA)I QB)1 0【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集|x| a(a 0)x | a x a|x| a(a 0)x| x a 或 x

4、 a| ax b| c,| ax b| c(c 0)把ax b看成一个整体，化成|x| a ,| x | a(a 0)型不等式来求解(2) 一元二次不等式的解法判别式b2 4ac000二次函数2.，八、y ax bx c(a 0)的图象/VJJU20若*2L,兀一次方程2,c、ax bx c 0(a 0)的根b Vb2 4acx1,22a(其中x1 x2)bx1 x22a无实根2、ax bx c 0(a 0)的解集x | x x1 或 x x2x'x 耳R2ax bx c 0(a 0)的解集x| Xi x x2£1.2 3函数及其表示【1.2.1 函数的概念(1)函数的概念设

5、A、B是两个非空的数集， 如果按照某种对应法则 f ,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A, B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数，记作 f:A B .函数的三要素：定义域、值域和对应关系.只有定义域相同，且对应关系也相同的两个函数才是同一函数.(2)区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且a b,满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b,或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做a, b) , (a,b;满足x a, x a,

6、 x b, x b的实数x的集合分别记做a,),(a,),(,b,(,b).注意：对于集合x|a x b与区间(a,b),前者a可以大于或等于 b,而后者必须a b.(3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则：(求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化)f(x)是整式型或奇次方根式型函数，定义域为全体实数。f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1. y tanx 中，x k一(k Z).2零(负)指数塞的底数不

7、能为零.若f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域应由不等式 a g(x) b解出.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的

8、角度不同.求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值.配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值.判别式法：若函数 y f (x)可以化成一个系数含有 y的关于x的二次方程.2a(y)x b(y)x c(y) 0,则在a(y) 0时，由于x,y为实数，故必须有b2(y) 4a(y) c( y) 0,从而确定函数的值域或最值.分离常数法.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关

9、系确定函数的值域或最值.数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.函数的单调性法.考点一、判断是否为函数把握3个要点：(1)两集合是否为非空数集；(2)对集合A中的每一个元素，在 B中是否都有元素与 之对应；(3) A中任一元素在 B中的对应元素是否唯一-例1、由下列式子能否确定 y是x的函数？(1)x2 y2 2 (2) y x (3) y=Jx 2 VT_x考点2相等函数的判断两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称两个函数相等或说是同一函数。考点3求函数值例、已知 f(x)=3x+6,求 f(2),f(a),f(m+n),f(f(a).考点4函数的定义域问题考点5函数

10、值域问题【1.2.2 函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之 间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.第-5 - 页(6)映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f ,对于集合 A中任何一个元素，在集合 B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A, B以及A到B的对应法则f )叫做集合 A到B的映射，记作f : A B.给定一个集合 A到集合B的映射，且a A,bB.如果元素a和元素b对应，那么我们把元素 b叫第-#

11、- 页做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.R1.3R函数的基本性质【1.3.1 单调性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域i内 某个区间上的任意两个 自变量的值XI、X2,当X1<X2 时,都有 f(X 1)<f(X 2),那么就说f(X)在这个区 间上是增函数.如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个自变量的值Xi、X2,当Xi<X2 时,都有 f(X 1)>f(X 2), 那么就说f(X)在这个区 间上是减函数.(1)利用定义(2)利用已知函数 的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为

12、增)(4)利用复合函数(1)利用定义(2)利用已知函数 的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4)利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.对于复合函数y fg(X),令u g(X),若y f(u)为增，u g(X)为增，则y fg(X)为增；若y f(u)为减，u g(X)为减，则 y fg(X)为增；若 y f(u)为增，u g(X)为减，则 y fg(X)为减；若y f(u)为减，u g(X)为增，则y fg(X)为减.f(x) M ； (2)存在X0 I ,使得f(Xo) M

13、.那么，我们称 M是函数f(x)的最大值，记作fmax(X)M .一般地，设函数y f(x)的定义域为I ,如果存在实数 m满足：(1)对于任意的 x I ,都有f (x) m； (2)存在x° I ,使得f(x0) m .那么，我们称 m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x) m.考点题型一、函数的单调性的证明及判断方法题型二、由函数的单调性求参数的取值范围题型三、由函数的单调性解不等式题型四、求函数的最大(小)值(4)函数的奇偶性【1.3.2 奇偶性定义及判定方法函数的性质定义图象函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f( 一 x尸f(x)，那么函数 f(x

14、)叫做奇函数.如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个x,都有f( x)=f(x)，那么函数 f(x)叫做偶函数.判定方法(1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称)(2)利用图象(图 象关于原点对称)(1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称)(2)利用图象(图 象关于y轴对称)若函数f(x)为奇函数，且在 x 0处有定义，则f(0)0.奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

15、补充知识3函数的图象(1)作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性)；画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、哥函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.平移变换y f (x)h 0,左移h个单位0,右移| h|个单位y f (xh) yf(x)k 0,上移k个单位干/、,k 0,下移|k|个单位y f(x) k第-13 - 页伸缩变换y f (x)i伸1,缩y f( x)y f (x)A 1,缩A 1伸y Af (x)对称变换f(x)f(x)f(x)f( x)f(x)原点f( x)f(

16、x)y f 1(x)f(x)去掉y轴左边图象 保留状由右边图象，并作其关于y轴对称图象f(|x|)f(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去yI f(x)|(2)识图上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义对于给定函数的图象，要能从图象的左右、域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了 “形”的直观性，它是探求解题途径, 获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第一章集合与函数概念第一讲 集合热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1:集合元素的基本特征例1 (2019年江西理

17、)定义集合运算：A B z|z xy,x Ay B .设A 1,2 ,B 0,2 ,则集合A B的所有元素之和为()A. 0; B. 2; C. 3; D. 6解题思路甘艮据A B的定义，让x在A中逐一取值，让 y在B中逐一取值，xy在值就是A B的元素解析:正确解答本题，必需清楚集合 A B中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知 A B= 0,2,4 ,故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的基本关系例2.数集X(2n 1) ,n Z与Y (4k 1) ,k Z

18、之的关系是()A. X/Y; B. Y龌X ; c . X Y; D. X Y解题思路可有两种思路：一是将 X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行 判断。解析从题意看，数集 X与Y之间必然有关系，如果 A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果 D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。考点二：集合的基本运算一、一八_2_22例 3设集合 A xx 3x 2 0 , B xx 2(a 1)x (a 5) 0(1) 若

19、A B 2 ,求实数a的值；若A B A,求实数a的取值范围若A B 2,解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析因为 Axx2 3x 2 01,2 ,(1)由 A B2知，2B,从而得 22 4(a 1) (a2 5) 0,即2a 4a 3 0,解得 a 1或a 3当 a 1 时，B xx2 4当 a 3时，B xx2 4x所以a 1或a 3(2)对于集合B ,由 4(a02, 2 ,满足条件；4 02 ,满足条件1)2 4(a2 5) 8(a 3)因为A B A,所以B A当 0,即a 3时，B ，满足条件;当0,即a3时，B 2 ,满足条件;当

20、0,即a3时，B A 1,2才能满足条件,由根与系数的关系得1 22(a 1)1 2 a2 5故实数a的取值范围是a 3【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况第2讲函数与映射的概念第-8 - 页求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）二次函数型”的函数常用配方法，如求函数y sin2 x 2cosx 4,可变为 y sin2 x 2cosx 4 (cosx 1)2 2解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y log1( x222x 3

21、）就是利用函数y 10gl u和u x222x3的值域来求。(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2x 1的值域2x 22x-2 T-x 2x12得yx22(y 1)x 2y 1 0,若 y0,则得x所以y0是函数值域中的一个值；若y0,则由2(y 1)2 4y(2y 1)。得31323 .133132（4）分离常数法:常用来求'分式型”函数的值域。如求函数2cosxcosx 1的值域,因为(5)(6)2 cos x 3cosx 1cosx 1,而 cosx1 (0,2,所以cosx，凯利用基本不等式求值域：如求函数0时，y0,则x0;当x0时,土)x3x-2- x

22、工4， x -x利用函数的单调性求求值域：如求函数8x3 2x 2x(4x2 1),故函数 y一的值域44x)()x2x40,则4,从而得所求值域是2(x 1,2)的值域2x42(x1,2)在(1 一， 一 1 一1, 一）上递减、在（一 ,0）上递2215 -85,301 1增、在（Q）上递减、在（一,2）上递增，从而可得所求值域为22（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的 值域常用此法）。热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例1试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) f (x) Vx2 , g(x) Vx3 ；f(x)

23、1 x 0,(3) f (x)2n 1 2n 1Vx ,g(x)2n 1 2n 1*、(Jx)( n C N );1 x 0;第-15 - 页(4) f (x)忑x Jx 1 , g(x) v'x2 x；(5) f(x)x2 2x 1, g(t) t2 2t 1解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析(1)由于f (x)x, g(x)x,故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数，一一x1 x 0,(2)由于函数f(x) U的定义域为(,0) (0,)，而g(x)的定义域为 R,所x1 x 0;以它们不是同一函数.(3)由于当 nCN* 时，2n

24、才为奇数，f (x) 2n Jx2n 1X, g(x) (2%/x)2n 1x,它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数(4)由于函数f (x) x x V x 1的定义域为xx 0 ,而g(x) dx2x的定义域为xx 0或x1 ,它们的定义域不同，所以它们不是同一函数(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数 答案(1)、(2)、(4)不是；(3)、(5)是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第(5)小题易错判断成它们是不同

25、的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如 f (x) x2 1, f (t) t2 1, f (u 1) (u 1)2 1都可视为同一函数.考点二：求函数的定义域、值域题型1:求有解析式的函数的定义域例2. (08年湖北)函数f(x) 1ln(Jx2 3x 2 x x2 3x 4)的定义域为() xA. (, 4) 2,);B. ( 4,0) (0,1); C. , 4,0) (0,1 ;D. , 4,0) (0,1)解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数f(x)有意义

26、，必须并且只需x2 3x 2 02X2 3x 4 0, x 4,0) (0,1),故应选择 Dx2 3x 2x2 3x 4 0x 0【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0;对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数哥中,底数不等于0;负分数指数哥中，底数应大于 0;若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义, 注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。而且注意：研究函数的有关问题一定要题型2:求抽象函数的定义域例3 (2019 湖北)设f xA 4,

27、00,4 ; B.4, 1解题思路要求复合函数f x2lg 2一x，则f上 f 的定义域为()2 x2 x1,4 ; C 2, 11,2 ; D 4, 22,4f 的定义域，应先求 f (x)的定义域。 x解析由2_/ 0得，f(x)的定义域为2 x2 x 2,故2,2.x解得 x 4, 1 U 1,4。故 f 22 一f -的定义域为4, 11,4选B.x【名师指引】求复合函数定义域，即已知函数f(x)的定义为a,b,则函数fg(x)的定义域是满足不等式a g (x) b的x的取值范围；一般地，若函数fg(x)的定义域是a,b,指的是x a,b,要求f (x)的定义域就是x a,b时g(x)

28、的值域。题型3；求函数的值域 例4已知函数y x2 4ax 2a 6(a R),若y 0恒成立，求f (a) 2 aa 3的值域解题思路应先由已知条件确定 a取值范围，然后再将 f (a)中的绝对值化去之后求值域解析依题意，y 0恒成立，则16a2 4(2a 6) 0,解得 1a乡，23 217.319所以 f (a) 2 a(a 3) (a 一)一,从而 f (a) maxf ( 1)4 , f (a)minf (-)一，所2424-19以f(a)的值域是19,44【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。考点三：映射的概念例5 (06陕西)为确保信息安全，

29、信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文 明 文(解密)，已知加密规则为：明文 a,b,c,d对应密文a 2b,2b c,2c 3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为(A. 7,6,1,4; B. 6,4,1,7; C. 4,6,1,7 ; D. 1,6,4,7解题思路密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。解析当接收方收到密文14, 9, 23, 28时,a 2b 14a 6- 2b c有2c 3d23b 4 . » 、，,解密得到的明文为C.c 14d 28d 7

30、【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：(1)集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；(2)对应法则有方向性”，即强调从集合 A到集合B的对应，它与从集合 B到集合A的对应关系一 般是不同的；(3)集合A中每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一 的，这是映射区别于一般对应的本质 特征；(4)集合A中不同元素，在集合 B中对应的象可以是同一个；(5)不要求集合B中的每一个元素在集合 A中都有原象.第3讲函数的表示方法热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数例1 (09年广东南海中学) 一水池有2个进水口，1个出水口，一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的

31、蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断：进水量出水量蓄水量甲乙丙(1) 0点到3点只进水不出水；(2) 3点到4点不进水只出水；(3) 4点到6点不进水不出水.则一定不正确的论断是(把你认为是符合题意的论断序号都填上).解题思路根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。解析由图甲知，每个进水口进水速度为每小时 1个单位，两个进水口 1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定不正确 的论断是(2)【名师指

32、引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。考点2:用列表法表示函数例2 (07年北京)已知函数 f(x), g(x)分别由下表给出第-12 - 页x123f(x)131x123g(x)321则f g(1)的值为;满足 fg(x)g f (x)的x的值是解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析由表中对应值知fg(1)=f(3) 1;当 x 2时，fg(2)当 x 3时，fg(3)当 x 1 时，fg(1) 1,gf(1) g(1) 3,不

33、满足条件f (2) 3,gf(2) g(3) 1,满足条件,f(1) 1,gf (3) g(1) 3,不满足条件,满足 fg(x) gf (x)的 x 的值是 x 2【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。考点3:用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式21 x 1 x例3 (04湖北改编)已知 f(L)=LAr,则f(x)的解析式可取为1 x 1 x2解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法“ 1 x 一 t 12t2x解析令- t,则 x ，. f (t) -2p- .f(x) 2.1

34、xt 1t 1x 1故应填,2x 1 x2【名师指引】求函数解析式的常用方法有： 换元法(注意新元的取值范围)； 待定系数法(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)；整体代换(配凑法)；构造方程组(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)。题型2:求二次函数的解析式f (x) 2x ,且 f (0) 1。例4(普宁市城东中学 09届高三第二次月考)二次函数f(x)满足f(x 1)求f(x)的解析式;在区间1,1上，y f(x)的图象恒在y 2x m的图象上方，试确定实数 m的范围。解题思路(1)由于已知f(x)是二次函数，故可应用待定系数法求解；(2)用数表示形，可

35、得求 2x m f(x)对于x 1,1恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。22解析设f（x）ax2 bx c(a 0),则 f(x1)f(x) a(x 1)b(x 1) c (ax bx c)2ax a b与已知条件比较得:2a2,解之得,b 01,.'又 f (0) c 1 , 1由题意得：x22x m 即 m3x 1对x 1,1恒成立,易得m (x2 3x1)min第-27 - 页【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的 取值范围是一种常用方法。考点4:分段函数题型1:根据分段函数的图象写解析式例5 （07年湖北）为了预防

36、流感，某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完1 a函数关系式为y （a为常数），如图所示,16的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量间t （小时）之间的函数关系式为 （H）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到根据图中提供方米空气中含毕后，y与t的（毫克）与时?0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室。思路点拨甘艮据题意，药物释放过程的含药量y （毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的

37、参数，然后再由所得的表达式解决（n）解析（I）观察图象，当0 t 0.1时是直线，故y 10t；当t 0.1时，图象过（0.1,1）所以11160.1 a,即a0.1,所以10t,0(A'0.1,t0.10.10.1116a0.250.11160.51160.6,所以至少需要经过0.6小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。 题型2:由分段函数的解析式画出它的图象例6 （2019上海）设函数f（x）在区间2,6上画出函数f（x）的图像。思路点拨需将来绝对值符号打开,即先解4x0,然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析f(x) x2 4x

38、54x 5(x2 4x5)1或 5x 6，如右上图.【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定 义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。函数的单调性与最值热点考点题型探析考点1函数的单调性题型1 :讨论函数的单调性1,F (x) f (x) kx, x R.11x 1,x例1 (2019广东)设k R,函数f(x) 1 x试讨论函数F(x)的单调性.解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。解析:因为f(x)(1)当 x<1 时,1-x>0 ,当0时,F (x)x

39、 1,1 x，所以 F(x)x 1, x 11F (x)2 k,(x(1 x)20在(，1)上恒成立，故f (x) kx1)F(x)在区间(当0时,人1令 F (x)2 k 0,(x(1 x)1),解得x 1且当时，F (x) 0 ；当1业x k1 时,F (x),kx1 x ,x R.x 1 kx,1)上单调递增;,k, k故F(x)在区间(,1.k 、，k )上单倜递减，在区间(1 ,1)上单倜递增;kk(2)当 x>1 时,x-1>0 ,1F (x)2 x 1k, (x 1)当k0时,F (x)当k0时,令 F (x)0在(1,)上恒成立，故11 k 0,(x2、x 1F(x

40、)在区间(1,1),解得x 1)上单调递减;-X2 ,4k2且当112时，F (x) 0 ；当 x 1 4k1故F(x)在区间(1,1-)上单调递减，在区间(14k214k21时，F (x)上单调递增;综上得，当k=0时，F(x)在区间(，1)上单调递增，F(x)在区间(1,)上单调递减;当k<0时,F(x)在区间(，1)上单调递增，在区间(1,1(1 4k7,)上单调递增；当k 0时，F(x)在区间(1 2)上单调递减，在区间4k2y 、- k、斗一、,1 )上单调递减，在区间k(1一,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减. k【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的

41、一个热点，分段落函数用注意分段处理题型2:研究抽象函数的单调性例2定义在R上的函数y f(x), f(0)0,当x>0时，f(x) 1 ,且对任意的a、bC R,有f (a+b) =f (a) f (b).(1)求证：f (0) =1;(2)求证：对任意的 xC R,恒有f (x) >0;(3)求证：f (x)是R上的增函数；(4)若f (x) f (2xx2) >1,求x的取值范围.解题思路抽象函数问题要充分利用恒成立”进行赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。解析(1)证明：令 a=b=0,则 f (0) =f 2 (0).又 f (0) WQ f (0) =1.(2)证

42、明：当 xv 0 时，一x>0,1. f ( 0) =f (x) f ( x) =1.一1 一 一一，f( x) = >0.又*>0时£(*) > 1> 0,f(x)，xC R 时，恒有 f (x) > 0.(3)证明：设 x1x2,则 x2x1>0.f ( &) =f (x2x1+x1)=f (x2x1) f (x1). x2x1>0,，f(x2x1)>1.又 f (x)> 0,，f (x2x1) f (x1)> f (x1). f (x2)> f (x1).-.f (x)是 R 上的增函数.(4)解：

43、由 f (x) f (2xx2) >1, f (0) =1 得 f (3x x2) > f (0)又 f (x)是 R 上的增函数, 3x-x2>0.1. 0<x<3.3)中 f (x2)=f (x2x1)+x1”是证明单调【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(性的关键，这里体现了向条件化归的策略.考点2函数的值域(最值)的求法题型1:求分式函数的最值例3 (2000年上海)已知函数 f (x)2x 2x a,xx1,).1当a 时，求函数2f (x)的最小值;1解题思路当a 1时， 2等式或导数；一一 ,1 .， 一、解析当a 2时，f (x),1

44、f (x) x2 ,这是典型的2x1,1x2,f'(x)112x2x对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不f (x) 0。 f (x)在区间1,)上为增函数。f (x)在区间1,)上的最小值为f (1) - O21-【名师指引】对于函数f(x) x 2,若x 0,则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号2x是否成立，否则会得到 f(x) (x ) 2 2 x 122 22x. 2x11而认为其最小值为 <2 2,但实际上，要取得等号，必须使得x 这时x ，)2x2所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次，不等式恒成立问题常转化为求函数的最值

45、。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型2:利用函数的最值求参数的取值范围2-. _ x 2x a例4 (2000年上海)已知函数 f(x) ,x 1,).x若对任意x 1,), f (x) 0恒成立，试求实数a的取值范围。解题思路欲求参数a的取值范围，应从 x 1,), f(x) 0恒成立的具体情况开始。. 一 x 2x a 一.解析f(x) 0在区间1,)上恒成立；xx2 2x a 0在区间1,)上恒成立；x2 2x a在区间1,)上恒成立；函数y x2 2x在区间1,)上的最小值为3, a 3即a 3

46、【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。题型3:求三次多项式函数的最值2例5 (09年局州中学)已知a为实数，函数f(x) (x 1)( x a),若f ( 1) 0,求函数y f (x)3在3,1上的最大值和最小值。2解题思路求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。一、一 一 r 一一.3解析f ( 1)0,由 f (x) x22ax x a, f (x) 3x 2ax 1,3 2a 1 0, a 2,f (x) 3x2 4x 1分4由f (x) 3(x ；)(x 1)得：1当f (x) 0时，x 1或x -分53当 f (x) 0时，1因

47、此，f(x)在区间1x 一33 一 1 ,1和一,1内单倜递减，而在231 ，1,内单调递减,3且f(x)极大值f(1)2, f (x)极小值又 f( 3) 183上5 50f(1)6,且27f(3)13,850273 一 . .一 .313分10他)在y上的最大值f(1) 6,最小值f( -)-【名师指引】 用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握 用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。函数的奇偶性和周期性热点考点题型探析考点1判断函数的奇偶性及其应用题型1:判断有解析式的函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性：(1) f (x) =|x+1| |x

48、 1;(2) f(x) = (x 1) f(x)|x 2| 2(4) f(x) x(1 x)(x 0), x(1 x) (x 0).思路点拨判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。解析(1)函数的定义域xC (8, +OO),对称于原点.f( _ x) =|x+1| |x 1| = x 1| |x+1|= (x + 1|一|x1|) = f (x),1. f ( x) =|x+1|x1|是奇(2)先确定函数的定义域.由函数.1 x >0,得1虫<1,其定义域不对称于原点，所以 f (x)既不是奇函数1 x也不是偶函数.(3)去掉绝对值符号，根据定义判断由1|x2x

49、 0,得 1 x 1, 2| 2 0, x 0且x4.(x)的定义域为1, 0) U (0, 1,关于原点对称，且有x+2>0.从而有f(x).1右，.f(x)=1(x)24=_f (x)x故 f (x)为奇函数.(4) .函数f (x)的定义域是(一8, 0) U ( 0, +8),并且当x>0时，一xv 0, 1. f ( x) = ( x) 1 ( x) = x (1+x) = f (x) (x>0).当 xv 0 时，一x>0, . f ( x) = x (1 x) = f (x) (xv 0).故函数f (x)为奇函数.【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性 (即若奇函数或偶函数的定义域为D,则x D时 x D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式题型2：证明抽象函数的奇偶性 例2 (09年山东梁山)定义在区间(1,1)