勾股定理典型题型

1、精心整理ne已知AC6， BC 8 .求AB的长已知AB17 , AC 15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2.2 2b c解：ABTAc2Bc 10 BC /ABAC2 8新人教版八年级下册勾股定理典型例习题、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例 1 .在 ABC 中， C 90 .题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直长度，可以直接利用勾股定理!角边的根据勾股定理aC+Bc=aB,即aC+92=

2、152,所以aC=144,所以AC=12.例题2如图（8）,水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深L5度AC-i 口1 C.1A團2精心整理精心整理解析：同例题1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2.由题意可知 aCD中，/ ACD=90 ,在Rt ACD中，只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2,根据勾股定理，aC+cd=aD设水深 AC=x 米，那么 AD=AB=AC+CB+0.5x2+1.52= (x+0.5 ) 2解之得x

3、=2.故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用例题3如图3,正方形ABC冲，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB严那么 DEF是直角三角形吗？为什么?解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现 规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由 FB丄AB可以设AB=4a,那么BE=CE 4=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt AFD Rt BEF和 Rt CDE中,分别利用勾股定理求出 DF,EF和DE的长，反过来再利両股定理逆定理去判断 DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下:BF=a解：设正方形ABC的边长为4a,则BE=CE=2AF=3a,在 Rt

4、 CDE中, dE二cD+cE=(4 a) 2+(2a)2=20a同理 EF=5a2,DF2=25a2在 DEF中, EF+DE=5a2+20a2=25a2二dF DEF是直角三角形，且/ DEF=90 .注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度 精心整理精心整理例题4如图4,已知长方形 ABC冲 AB=8cm,BC=10cn在边CD上取一点E,DE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题5如图5,王师傅

5、想要检测桌子的表面 AD边是否与 AB边和 CD边，他测得 AD=80cm AB=60cm BDhOOcmA,与AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与CD边是否垂直?解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便我们通常截取部分长度来验证。如图 4，矩形ABCD表示状，在AB上截取AM=12cm在 AD上截取AN=9cm想想为什这两个长度？），连结MN测量MN的长度。如果MN=15则aM+aN二mN所以ad边与AB边垂直;垂直D边3B15J1.占VC么要设为酮C1.5訂测量。如果 MNaM 15,则 92+122=81+144=225,a2工225,即 92+122工 a，所以/ A不是直角。利

6、用勾股定理解决实际问题例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开?解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6所示，A点D理,示控制灯，BM表示人的高度，BC/ MN,BC_ AN当头（B点）距离5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。 精心整理精心整理题型六：旋转问题:长.例1、如图， ABC是直角三角形，BC是斜边，将 AB

7、P绕点A逆时针旋转后，能与 AC重合，若AP=3求PP的长。变式1:如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=273,PC=4,求 分析：利用旋转变换，将 BPA绕点B逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中, 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形变式2、如图， ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90 , E、F是BCh的点，且/ EAF=45 , 试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由.题型七:关于翻折问题例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm BC=6cm E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处，求B

8、E的长.变式：如把 ADC沿直线图，AD 是 ABC 的中线，/ ADC=45 ,A折，点C落在点关于勾股定理在实际中J<7r/ ” E41题型八:AD 翻Y置，BC=4求 BC的长.图，公路MN和公路PQ处有一所中学，一AP=160米，点A到公路MN的距离例1、如Q在P点处交汇，点A的应用:为80米，假使拖机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,18千米/小时，那么的油罐的下底校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 校受到影响的时间为多少?题型九：关于最短性问题 例5、如右图1 19，壁虎在一座底面半径为2米,精心整理精

9、心整理虫，便决定捕捉只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着z1油罐，沿一条螺沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害功，获得了一顿路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成位小数，可以用餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14，结果保留1算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要几秒钟?三、课后训练:一、填空题I1.如图（1）,在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米.图(1)B.种盛饮料

10、的圆柱形杯（如图）,测得内部底面半径为2A5%肖 第3题图C 第4题图A要露出4.6 cm,问吸管要做cm。放进杯里，杯口外面12 E,.已知：如图，KBC中，/ C=90°点0为ABC的三条角平分线的交点,0D丄 BC, 0E丄AC, OF，点D、E、F分别是垂足，且 BC=8cm CA=6cm则点 0到三边 AB,AC和BC的距离分别?cm.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池A处。另一只爬到树顶 D后直接跃到A处，距离以直线计算,经过的距离相等，则这棵树高米。如果两只猴如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 3dmm A和B是这个台

11、阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点最短路程是、选择题精心整理精心整理.已知一个Rt的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是(、25B、 14D、7 或 25.Rt直角边的长为11,另两边为自然数，则Rt的周长为(、121B、120C、132D、不能确定.如果?伫两直角边的比为5 : 12,则斜边上的高与斜边的比为(、60 : 13B、5 : 12C、12 : 13D、60 : 169.已知?t ABC中，/ C=90°，若 a+b=14cm c=10cm 贝J Rt ABC的面积是()、24cm22 2 2B、36cmC、48cm D、60cm.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为(、56B、48C、40D、32.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草 DI平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(第7题图F、450a 元B、 225a元C、150a 元D、300a tB20m 丿O30m第6题图.已知，如图长方形ABCD中AB=3cm AD=9c