新教材：《函数的概念与性质》能力提高卷

1、新教材：函数的概念与性质能力提高卷一.选择题(共8小题)1 .已知函数的定义域为(0, +8),且/=2/(；).怖1,则=()122 /- 1A. 一 V%十 一 (算>0)B. -y % + -(x>0)3333C. v/r + 1(%>0)D. V% - l(r>0)1 . b【解析】由r（“）= 2/©）.依1,以三替换X,得r$=2乃廿一1,把代入，可得 X"N/(乃=2而2乃丁日一1-1,即"(")= 24 + L=久&+ /。>0).故选：B.2 .已知函数/(X)=虫2+依-1在区间1, 2上是单调函

2、数，则实数攵的取值范围是()A. ( - «, - 16U-8, +8)B.-16, -8C. (-8, -8) U-4, +oo)D. -8, -42 . A【解析】函数/ (x) =4x2+kx - 1的对称轴为x=若/。)在区间1, 2上是单调增函数，可得-解得攵28；若/。)在区间1, 2上是单调减函数，可得一之？，解得攵W-16.综上可得的范围是-8, +oo) U (-co, -16.故选：A.3 .己知函数/。)=log2r+l的定义域为1, 2, g (x) =f (x) +f (x2) +m,若存在实数g,dcwyly =g (x) ,使得。+8Vc,则实数机的取值

3、范围是()71A. B. m<2C. ni<3D. m3 .【解析】/(x)的定义域为1, 2,由:及聂 解得1WXW& Jg (x) =f M V (x2) +加的定 1 凡 一 乙义域为1, n1. g (x) =f (x) +f (x2) +ni= (l+/op2x)2 +l+logzr2+wi= (iog2x)2 +41og2x+2+m.令log2T=r, VxgL v2f /./GO,-,则力(/)=+4+2+加=a+2) 2+in - 2,当尼0, R时为增函数，117:.h (r) min=h (0) =2+/i, h Q) max=h (-)=石+加 .存在

4、实数a, b, ceyy=g (x) ,使得a+b<C, (r) min<h (0 max» 即 4+2"I(?解得：Hl 故选：D.4 .设函期。)=机 W +炉，则使得/ (2r) V (4x - 3) X)成立的x的取值范围是()A. (-1, 1) B. (| / 1)C.1)D. G，1)2+x2+x.2-x,2+x.4B【解析】由二；0,可得-2<x<29因为八九）=历主言+ %，所以/（ 7）=hr; -x3= -/- -x3= fG）,故/G）为奇函数，由于）=法=一三竽 二一1 一言在（-2, 2）上单调递增，根据复合函数的单调性可

5、知，fM =阮当+ /在（-2, 2）上单调递增，由/ （20 V（4- 3） >0可得/(2r) >-/(4x-3) =/ (3 - 4x),所以 2>2r>3-4x>2,解得： <尤<1.故选：B.5 .已知函蜘=L一;二。'"8及G）,若“23 >3则实数。的取值范围是( )2?22A. (-L 亏)B.(2pC.(一如 f) D.净 +co)5. B【解析】因为g M =” ；0 =，（72）- -4,之。由g G）的解析式可知，g G）在R上是奇函数且单调递增，/ （x） =xg （x）为偶函数，当x>0时，有g

6、 （x） >g （0）,任取xi> X2>0,则 g（XI）>g（X2）>0,由不等式的性质可得 Klg（XI）>X2g（X2）>0,即/（XI）>f（X2） >0,所以，函数f（x）在（0, +oo）上递增.再由/（2。）>/），得即加2+加47<0,解得-2VGV? 故选：B.6. 函数的定义域为。，若满足：/。）在。内是单调函数；存在明（aVb）,使得/G） 在口，句上的值域也是M, bf则称y=f。）为闭函数.若人%）=k 十 口是闭函数，则实数上的取值 范围是（）A.（一工 is） B. -jz ”） C. J；, 0

7、 D.一9一）7. C【解析】/（x）在0, +8）内是增函数，V/ （x）是闭函数，.存在口，bG0t +oo）,使f （x）在明 川上的值域是口，句，|：+噂=方程k十百二X有两个不同的非负实数根，设t=衣，120, 幅十皿二b贝女二l 返"一八«一 "，如图，心0,所以要使方程有两个不同的实根，则一<k < 0,，实数攵的取值范围为（一；，0.故选：C.7.已知点5, 8)在嘉函数/G)=(加-DV的图象上，设。=/(一),力=/(加算)，c=/()，则( ) nA. b<a<c B. a<b<cC. b<c<

8、a D. a<c<b8. B【解析】由辕函数的定义可知，胆-1 = 1,点(2, 8)在基函数/ (x) =/上，.2=8,.m 2m=3,，塞函数解析式为在R上单调递增，w，LV3,=3, T U-,：.a<b<ct 故选：B.9. 2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客, 推出团体购票优惠方案如表：购票人上门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则 需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为(

9、)A. 20B. 30C. 35D. 408. B【解析】设两个旅游团队的人数分部为a, b, ,990不能被13整除，两个旅游人数之和：。+8251,若 51Wa+W100,则 11 (。+力)=990 得：G+力=90,由共需支付门票费为1290元可知，lla+138= 1290,联立®解得：力=150, «= - 60,不符合题 意；若。+力>100,则 9 («+/») =990,得 G+b = U0,由共需支付门票费为1290元可知，1W"W5O, 51WW100,得11。+1劝= 1290,联立©解得：。=70人，力

10、=40人.，这两个旅游团队的人数之差为70-40=30人.故选：B.二.多选题(共4小题)9.对任意两个实数。，b,定义?71沆的力= 【：' 若/(x) =2 - x2, g (x) =x2 - 2,下列关于函数户(x) ="(/' (x), g(X)的说法正确的是()A.函数尸(x)是偶函数B.方程尸(x) =0有两个解C.函数尸(x)有4个单调区间D.函数尸G)有最大值为0,无最小值9 . ABCD【解析】由题意可得，F(x) = f"'- V2) U +co),作出函数图象可得，所以该函数为偶函数，有两个零点一短，网 四个单调区间，当 = &

11、#177;迎时，函数尸(X)取得最大值 为0,无最小值.故选：ABCD.10 .中国清朝数学家李善兰在1859年翻译代数学中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为 什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课 本中所学的集合论的函数定义，已知集合加=-1, 1, 2, 4, N=1, 2, 4, 16),给出下列四个对 应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是()A. j=log2trl, B. >,=x+lC. y=2klD. y=x210. CD【解析】在4中，当丫=土1时，J=Iog21=0N,故A错误

12、；在8中，当x=-l时，j=-l+l=0金N,故8错误；在C中，任取xeM,总有=2卜*?4,故C正确；在。中，任取xe",总有Ju/eN,故O正确.故选：CD.11.设j=/(x)是定义在R上的偶函数，满足/Q+D =-/ (x),且在-L 0上是增函数，给出下列 关于函数y=f (x)的判断正确的是()A. y=f M是周期为2的函数B. y=f (x)的图象关于直线x=l对称C. y=f (x)在0, 1上是增函数D.胫)=0.11. ABD【解析】因为y=/(x)是定义在R上的偶函数，满足/ (x+1) =-/Q),所以/Q)=/Q+D, 而/ (x) = -/(X - D,

13、所以/(X-1) =/ (x+1),即/ (x) =/ (x+2),所以可得函数的周期 7=2, 所以A正确，因为/(7)=/ (x),所以/(x) =/ (x+2),所以对称轴1二±2=1,即关于x =1对称，所以5正确；由函数/CO为偶函数关于J轴对称，又在-1, 0上是增函数，所以在0, 1上单调递减，故C不正确；因为/(x+D =-8,令尸轲得/(；) = -/ (-1)可得=-/ (1),所以/弓)=0,所以。正确，故选：ABD.12. 若函数/(x)满足：对任意一个三角形，只要它的三边长叫 b, c都在函数/(x)的定义域内，就有 函数值/ (a), / 3), f (c

14、) G (0, +8)也是某个三角形的三边长，则称函数/ (x)为“保三角形函 数下面四个函数中保三角形函数有()A. f (x) =x2 (x>0)B. f (x)=6(x>0)C. f (x) =sinx (0<x<J)D. f (x) =cosr (0<x<y)12. BC【解析】任给三角形，设它的三边长分别为。，b, c,贝不妨假设。Wc, bWc,对于/ CO=2, 3, 3, 5可作为一个三角形的三边长，但32+32V52,所以不存在三角形以32, 32, 52为三边长, 故不是“保三角形函数”；由于v丘+、历>、不n>五，所以是“保

15、三角形函数”；对于/co =rra+b a-bc csinr, xe (0, ), /.n>«+/>>c>0, f (a) +f (b) =sino+sii协=2sincos>2sin-cos- =sinc4222 2rrjrr=/ (C),所以(X) =siiix, XG (0,-)是“保三角形函数对于/ (x) =cosx, XG (0,-),若 425jr -JrSir jtrr a=b=-t c= jj,由/ (a) +f (b) =2cos <co/=f (e),所以f (x) =cosx, xe (0,-)不是“保三角形函数.故选：BC

16、.三.填空题(共4小题)13.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当xNO时，f (x) =x2-5x,则不等式/(X-2) >/(x) 的解集为3-最 <犬<)_.13.【解析】因为/(x)是定义在R上的奇函数，且当丫20时，/(x) =x2 - 5xf所以xVO时，7>0,所以/(-X)= ( - x) 2+5x=x2+5x= -/ (x),所以/ (x) = -x2-5x,工,/、(好一 5%之0故/(*1-匚 不X- - Sxr x<07 -27 -2：f(X - 2) >f (x), -220即k22时，(x - 2) 2 - 5 (x - 2

17、) >x2 - 5x,解可得，xg>VO 时，-。-2) 2-5 (x-2) >-*2_5x,解可得，”一宗此时 一,算0,当 0WXV2 时，-(x-2) 2-5。-2) >，-5x,解可得，-1VxV3,此时 0WxV2,477 -2综上可得，故答案为:14.已知函数乃=配含，则/ 8 4/(2 7)值为；若求工f(担的值为19 14【解析】因为函数“%)二加言,exs(2一)ex (2-r),贝(x) +f (2 -x) =ln+， =/- =lne2=2；2x 2(2-4)2 -x x k工21819-el r(加可(G)tf(元)+-v < v() k1

18、821-且翳 JG)=/( £ V(-> +,可(-)+/(-)+®可得纭晨条）=19 X 2；故流J曲=必15.某食品的保鲜时间J （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系J，=eAx" （e为自然对数 的底数，k,力为常数），若该食品在09的保鲜时间是384小时，在22C的保鲜时间是24小时，则该 食品在33-C的保鲜时间是15.【解析】食品的保鲜时间了（单位：小时）与储存温度x （单位：满足函数关系（e为自然 对数的底数，k,力为常数），若该食品在0C的保鲜时间是384小时，在22C的保鲜时间是24小时，可得：384=?, 24=e22k+

19、b,解得6=加384,上一土配4,所以产e号叶海叱 该食品在33C的保鲜时间:e-ITX3S+?n3S4'= e 43 =6 （小时）.16.已知定义在区间0, 1上的函数y=/Cr）的图象如图所示.对满足OVxiVnVl的任意xi, X2,给出 下列结论：On） -/ to） >xi -X2；f （xi） -/（X2）<xi -X2;0城（n） >xf to）；:一寸（4）.其中正确结论的序号是16.【解析】由于詈表示函数图象上两点由,八川）, to, / （x2）连线的斜率,当打和X2都接近于零时，由图象可知>1,当XI和X2都接近于1时，kvi,故均不正确

20、；当0VX1VX2<1时，根据斜率关系有d < ,即x/Cri） >xf（X2）,所以正确；在区间（0, 1）上 xL x2任取两点A、B,其横坐标分别为xi, X2,过A、8分别作x轴的垂线，曲线交于点M、N,取A3中 点C,过C作X轴的垂线，与曲线交点为P,与线段MN交点为Q,则，1J ' =CQ,r白产）二cp.由图象易知cp>。，故有毛*/（”品,所以正确.四.解析题(共5小题)17.已知函数/ (3、-2) =x - 1 (x0, 2),函数g (x) =/ (x - 2) +3.(1)求函数j=/G)与y=g Cr)的解析式，并求出了(x)，g (x

21、)的定义域；(2)设力(X)=g (x) F+g(*2),试求函数y=A (x)的定义域，及最值.17.【解析】(1)令£=32,贝Ijx=log3 (/+2) - LVxgOf 2,同-1, 8,：f (3X -2) =x-l (xeO, 2),:J 3 =iog3 (r+2) -1, te-i, 7,/./(X)=10g3 (x+2) -1, x-l, 7,即f(x)的定义域-1, 7,:g (x) =f (x - 2) +3=log3X+2,Ax-2g-1, 7, AX61, 9,即 g (x)的定义域1, 9.(2) :h (x)=除(x) F+g (x2) = (logAr

22、+2) 2+2+1。02炉=(/ap3x)= +61ogAx+6,其9gW3,即函数(x)的定义域1, 3,OWlogsrWl,结合二次函数的性质可知，当log共=0时，函数取得最小值6, 当1州共=1时，函数取得最大值13.is.己知定义域为r的函财a)= T+，7r是奇函数.(1)求。的值；(2)判断函数/(X)的单调性并证明；(3)若关于m的不等式/ ( - 2ni2+m - 4) +f Cm2- 2制)W0在me (1, 3)有解,求实数t的取值范 围.18.【解析】(1)由/(x)为定义在R上奇函数可知，/(0) =0,解得。=1.经检验，此时对任意的x都有/(-x) =-/(7),

23、故。=1.(2)由y=2"l递增可知%) = -2 + 玲在1<上为减函数，证明如下：.112*2-2尤1对于任意实数xl, X29 不妨设X1VX2, f(%J_ f(也)=?戈1+1 - 7n2+1 =(2勺 + 1)(2*2+1)丁=加递增，且X1VX2,2叫<2必，."(xi) -/(X2)>0,：,/(XI)>/(X2),故/(X)在R上为减函数.(3)由/ (x)为奇函数得：f (-2m2+m - 4) +f (m2 - 2mt) WO等价于/(谒-2mt) Wf (2m2 - m+4).又由f (x)在R上为减函数得：加2 - w/+4

24、,即hnt - m2+m - 4；4因为碇(1, 3),所以2t三一“一总+1.4原问题转化为21三一制一弟+1在七(1, 3)上有解，,.y=加一1+ 1在区间(1, 2)上单调递增，在区间2, 3)上单调递减，4a,当 1=2时，丫 = 一例一质+ 1取得最大值-3.,.2/近3,解得1三一中的取值范围是(一s，-f.19.某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现：需花费180万元用于引进一条生产流水线；每台生产成本。(X)(万元)和产量x (台)之间近似满足。(X)=5+中，XGN*；(注每台生产 成本。(x)不包括引进生产流水线的费用)每台产品的市场售价为10万元；每年产量最高可

25、达到100台；(1)若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台(而且可全部售出)这款产 品；(2)进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没 有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实 现盈利,如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由.19.【解析】(1)由题意可知该商品的利润函数为：f (x) =10-0 (x) -x - 180, OVxWlOO, xeN*,则由S9解得x763.(0 Uy < 100r xeN.至少生产并销售63台这款产品，才能实

26、现盈利；(2)由(1)可知，当产量0VXW60, XWN*时，无法实现盈利；当产量 60VxW10<), XWN"时，由题意可知利润函数为/ (x) =10-0 (x) -60- (x - 60) - 180.化简得/ (x) =181-( 60+ 1)< 180 - 2V135 x 60 = 1.x1 +* JL当且仅当x=89时等号成立.可以实现盈利，利润最大时，产量为89台.20.已知函数%)=(户一2£ 一 2)靖一言是定义域为R的奇函数.(1)求，的值，并写出的解析式；(2)判断/(x)在R上的单调性，并用定义证明；(3)若函数g(幻=。品+击2立人次)在0, +8)上的最小值为-2,求的值.20.【解析】(1)因为/Q)是定义域为R的奇函数，所以/ (0) =-2-3=0,解得，=3或(=-1,可知/ Cr) =/-/".(2) f (x)在R上单调递增.证明如下：设 X1VX2,则/ (xD -/(X2)= eX1 - eX2 - e-Xi 4- e-X2f因为xiVx2,所以04e必靖z, 1+舟有30,所以(铲，一”2)(1+下台)V0,可得