高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)专题06平面向量及其应用复习与检测(知识精讲)(解析版)

1、专题六平面向量及其应用复习与检测 知识精讲知识结构图内容考点关注点平向问量向量的线性运算运算法则向量的数量积、模、夹角夹角范围向量的坐标运算公式运用向量的平行与垂直问题平行、方向与数量积正负的关系利用正弦定理、余弦定理解三角形选择合适的定理及三角形二.学法指导1 .向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此， 对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)求解策略：向量是一个有形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.2 .向量

2、数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解.在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a+b)2=a2+2a 由b2, (ab)2= a2 2a 由b2,上述两公式以及(a+b) a 6 b) = a2b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程 中可以直接应用.(2)借助零向量.即借助 围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积.(3)借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a±b,则a 10等解决问题.(4)建立坐标系，利用

3、坐标运算求解数量积.3 .解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知 A, B和c,由A+B + C=兀求C,由正弦定理求 a, b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a, b和C,应先用余弦定理求 c,再应用正弦定理先求较短边所 对的角，然后利用 A+B+C= 为求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a, b和A,应先用正弦定理求 B,由A+B + C=兀求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a, b, c,可应用余弦定理求 A, B, C.知识点1 平面向量的线性运算7 7T首尾相接用加法的三角形法则，如 AB+BC = AC;共起点两个

4、向量作差用减法的几何意义，如 OB OA =AB.例题1.如图，梯形 ABCD中，AB/CD,点M, N分别是DA, BC的中点，且DC=k,设AD=e1，AB=e2,AB以ei, e2为基底表示向量DC, BC, MN.k+1【答不】DC =ke2 .BC=e1 + (k 1) e2. MN = = 2e2.【解析】- AB= e2,且AB'= k,DC = kAB= ke2. AB+ BC+CD + DA=0, . BC = AB- CD-DA=AB + DC + AD = ei + (k1)e2.11_又. MN + NB+BA+AM = 0,且 NB = 2BC, AM = A

5、D, . . MN = AM BA NB1 Am 1 k+ 1=,AD + AB + -BC = e2.知识点二平面向量数量积的运算Si -tiha b |a|b|cos x2 丫佻-f例题 2:如图，在梯形 ABCD 中，AB / CD, AB = 4, AD = 3, CD= 2, AM = 2MD .若AC BM = 3,贝UAB AD3【答案】I一一 一一 一一 2f -【解析】因为 AC BM = ad + 工AB , _ AB + ?AD = 2 3AB AD = 3, 233所以AB AD =、 知识点三平面向量的坐标运算若 a = (ai, a2), b= (bi, b2),则

6、a+b=(ai + b1，32+ b2)；ab=(a1一b1，a2 b2)；后=(入对，入 2);a b= aibi + a2b2；a 32 a/b? a=;<iD, 32= X &( R),或豆=E(bwQ b2WQ)a baibi + a2b2a_Lb? abi+a2b2=0；(Z)|a| = y/a 8 = yj32；若6为a与b的夹角，则 cos 9=：=|a|b|例题3 .设a=(2,0), b=(1,5).若(启b)，b,求入的值；若m=启+ 且|m|=2#,m, b=：,求入科的值.【答案】入=2.k= 1 ,四=1或入=一 1, (1= 2.【解析】因为a=(2,

7、0), b=(1, V3),所以?a-b=(2 Z, 0) (1, 3)=(2 b 1, 他 又(兆一b)，b,所以(右一b) b= 0,即(2 b 1, - 3(3) - (1 33) = 0, 所以2 b 13=0.所以入=2.因为 a=(2,0), b = (1, 3), m=后十由=乂2,0)+ 口，审)=(2计丛-j3m因为 |m|=2淄,m, b> = 62 计 /+、加 2= 232,所以 兀2入十内2 3X2仁1 , 解得尸1 ,七一 1 , 或产2,所以入=1, 产1或壮1,i= 2.知识点四平面向量的平行与垂直问题1 .证明共线问题常用的方法(1)向量a, b(aw或

8、线？存在唯一实数入，使b=后.(2)向量 a=(x1, y)，b=(x2, y2)共线？ x1y2 x2y1 = 0.(3)向量 a 与 b 共线？ |a b|= |a|b|.(4)向量a与b共线？存在不全为零的实数入,3 使a+如=0.2 .证明平面向量垂直问题的常用方法a± b? a 扣0? xx2+y1y2=0,其中 a=(x1, y1), b=(x2, y2).例题 4.(1)已知向量 m=(入+ 1,1), n =(入+ 2,2),若(m + n)，(m n),则上()A. 4 B. 3 C. 2 D. 1(2)设 A, B, C, D 为平面内的四点，且 A(1,3),

9、B(2, 2), C(4,1).若AB = CD,求D点的坐标.设向量a=AB, b=BC,若kab与a+3b平行，求实数 k的值.(1)【答案】B【解析】因为 m + n=(2 计 3,3), m n = (1, 1),且(m+n)，(mn),所以(m + n) Qn) = 2 卜 3 3=0,解得 k= 3.故选 B。(2【解析】 设D(x, y).因为AB = CD,所以(2, -2)-(1,3) = (x, y)(4,1),x 4=1,化为(1, 5)=(x 4, y-1),所以y 1 = 5,x= 5.解得所以D(5, -4).y=- 4,因为 a=AB=(2, -2)-(1,3)=

10、(1, 5), b= BC= (4,1) (2, - 2) =(2,3), 所以 kab=k(1, - 5)-(2,3) = (k-2, 5k 3), a+3b= (1, - 5) + 3(2,3) = (7,4). 因为 kab 与 a+ 3b 平行，所以 7(-5k-3)-4(k-2)= 0,1 解得k= o.3知识点五平面向量的模、夹角问题1 .解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a|= /x2+ y2(其中 a= (x, y).(2)应用三角形或平行四边形法则.(3)应用向量不等式 间一|b| W判 Q|十|b|.(4)研究模的平方|am|2 = (am)2.2 .求向量的夹角

11、设非零向量a=(x1, y), b= (x2, y2),两向量夹角&0 q)w 形余弦 cos 9=a . bxiX2 + y y2|a|b|，x2+ y1jx2+ y2“r-一 心=t一,一 rj， 兀n= 3e1 2e2.例题5.已知向重e1, e2,且同=国=1, e1与e2的夹角为.m= 21+%3(1)求证：(2e1- e2)±e2；(2)若|m|= |n|,求 入的值;(3)若m,n,求入的值；(4)若m与n的夹角为点求入的值.3【解析】(1)证明：因为|e"=|e2|= 1, e1与e2的夹角为3所以(2e 一 e2) e2= 2e1 e2 e2= 2

12、e1|e21cos3c 恰2|2= 2X 1 x 12 12= 0,所以(2e一 e2)_Le2.(2)由 |m |= |n|得(双 + e2)2= (3e1 一 2e2)2,即(22 9)e2 +(2 入+ 12)ei e2 3e2= 0.e、r ,一 一 一7tLl r、r 。Tt 1因为 自|=|&|=1,e1，e2>= 3, 所以e2=e2= 1,e1e2=1X1x(3) 2,1所以（乃一9） X&（2计12） >2-3X1= 0,即修十入6 = 0.所以 上2或入=-3.(3)由 m，n 知 m n = 0,即(冶 十 明领一2x)=0,即 3 22+(3

13、 24e e22e2= 0.E、，.兀 LL,、， C C兀 1因为 e1|=|e2|= 1, <e1,e2>=3,所以e2=e2 = 1,e1e2 = 1 x 1 x s2,所以3计（3-2；） >2- 2=0.所以 上4.1(4)由刖面解答知 e2=e2=1, e1 e2= 2, |n|=甲.而 |m|2= ( 21 + e2)2= %e2+2 21 e2+良所以 |m|=:+ 入+ 1.1八八 1m n = ( 21 + e2) , (3- 2e2) = 3 ?6彳 + (3 2 ?)e1 e2 2e2 = 3 入+ (3 2'一2 = 2 入.因为m, n &

14、gt; =：,由 mn = |m|n|cos m , n得 2 入一,=. 1+ 计 1 7>2, c一一.1化简得3%5 b 2=0,所以入=2或入=-.31经检验知 七-1不成立，故 上2. 3知识点六利用正、余弦定理解三角形例题6.在那BC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知b+c= 2acos B.(1)证明：A=2B;a2(2)若那BC的面积S=j,求角A的大小.【解析】 (1)证明：由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B= sin B+ sin(A+B)=sin B + sin Acos B + cos

15、 Asin B,于是 sin B=sin(A B).又 A, B (0,兀)故 0vA Bv 兀，所以 B=兀一(A B) 或 B = A- B,因此A=兀舍去)或A=2B,所以A=2B.，一 a21- a21(2)由 S= 了,得2absin C = ,故有 sin Bsin C = 2sin 2B= sin Bcos B,因为 sin BwQ 所以 sin C = cos B,又B, CC （0,兀）所以c=26当 B+C=1寸，A=2；当CB=机寸,A综上，A = 2或A = 4.五易错点分析易错一向量夹角的范围例题7.已知c=ma+nb, c=(- 23, 2), a±c,

16、b与c的夹角为 b 石一4, |a|= 2姆，求实数 m, n的 3值及a与b的夹角0.【解析】c=(2(，2),|c|= 4. .1 a_L c, - a ,0. b - |b|c|cos2rt= |b| X4> 1 = 4, 32|b|=2. - c= ma+ nb,c2= ma T nb ,ci6=nx4), n=- 4.在c=ma+nb两边同乘以 a,得 0 = 8m 4a -.CD在c=ma+nb两边同乘以 b,得ma 寻12.由，得m=与6,1- a 寻 土入 6,八 土遍 ,3 cos 9=-7=2R2X2 2. 叶5兀一 9=不或66.误区警示 求向量的夹角，要注意夹角公式的运用及夹角的范围。易错二向量垂直与平行的坐标表示例题8.设A, B, C, D为平面内的四点，且 A(1,3), B(2, 2), C(4,1).若A, B, D三点共线，且 AC