数列综合练习

1、数列综合练习一、选择题：本大题共 6小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。1 .若公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a妇ii=16，则a5等于（）.2 .若数列an的前n项和Sn=2n2-3n（ n M）,则a4等于3 .已知an, bn都是等差数列，若a+bw=9, a3+b8=15，则as+be等于4 .某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f （n）=1 n（ n+1）（2 n+1）吨，但如果年产量超过 150吨，将会给环境2造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生

2、产期限是年年年年5 .设S为等差数列an的前n项和，（n+1）S<nS+i（nC N*）若曳<-1则 a7的最大值是S8的最小值是&的最大值是S7的最小值是S6 .若2a, b, 2c成等比数列，则函数 y = ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是（）A. 0 B . 1 C .2 D . 0或 27 .各项均为正数的等比数列an的前n项和为S,若S=2, S3n = 14，则S4n等于（）8 .若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为（）.+n2-1+1+n2-1+1+n2- 2+n-29 .等差数列an的首项为1,公差不为0.若&,

3、 a& a6成等比数列，则an前6项的和为（）10 .设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11, a4+a6=-6,则当Sn取最小值时，n等于（）11 .设数列2n-1按第 n 组有 n 个数(n 是正整数)的规则分组如 下:(1),(2,4),(8,16,32),，则第101组中的第一个数为()95195005105012 .已知函数f (x)是定义在(0, +8)上的单调函数，且对任意的正数x, y都有 f (x y)=f (x)+f (y),若数列an的前 n 项和为 S,且满足 f (Sn+2)-f (an) =f (3)( nCNI), 则an等于()n 1D. 32二

4、、填空题：本大题共 4小题，每小题6分。13 .在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6,则成等比数列，则此未知数是.14 .设数列an为公比q>1的等比数列，若 a4, a5是方程4x2-8x + 3 = 0的两根，则ae+ a7 =.15 .已知两个数列an, bn满足bn=3nan,且数列bn的前n项和为Sn=3n-2,则数歹U an的 通项公式为.1 116. 若数列an满足 '=d( n e N, d为常数)，则称数列an为调和数列，已知数列 an 1 an为调和数列，且 Xi+X2+- +x20=200,贝U X5+Xi6=. xn三、解答题：本

5、大题共 3小题，满分45分. 217. (10分)已知a1 = 2,点(an, an+1)在函数f (x) =x +2x的图象上，其中n=1,2,3 ,. (1)证明数列lg(1 +an)是等比数列；(2)求an的通项公式. 一 一 .一一 一 _ *18. (15分)设数列an的刖n项和为S.已知S=4, an+i=2S+1, nC N.(1)求通项公式an；(2)求数列|a n-n- 2|的前n项和.19. (15分)已知等差数列an的前n项和S满足S=0, S=-5.(1)求数列an的通项公式；1(2)求数歹U 的刖n项和a2n1a2n 120. (10分)已知an为等差数列，且 a3=

6、 6, a6= 0.(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b1= 8, b2= a + a2+ a3,求bn的前n项和公式.21 .(15分)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3, b3=9, a尸bi, a*h.(1)求an的通项公式；(2)设Cn=a+bn,求数列 Cn的前n项和.22. (15分)等比数列an的前n项和为 S,已知对任意的n C N*,点(n, &)均在函数y=bx+r( b>0,且b w 1, b, r均为常数)的图象上.(1)求r的值；n 1(2)当b=2时，记bn (n N ),求数列bn的刖n项和Tn.4an参考答案一、选择题：本

7、大题共 6小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。2a,41 .解析：.a3aiia716,且an>0, a7=4. a52) 1q 2答案:A2 .解析：a4=S-S3=20-9=11.答案：A3 .解析：因为an, bn都是等差数列，所以 2a3=&+%,2 b8=b10+b6,所以 2( a3+b8) =(a1+b10) +(as+bs),即 a5+b6=2(a3+b8)- (a1+b10)=2X 15-9=21. 答案:c14 .解析：由题意可知第一年的广量为a尸,x 1 X2X3=3;以后各年的广量分别为2an=f (n) -f (n-1

8、)= 1n(n+1)(2 n+1) - - (n-1) n (2 n-1) =3n2.22令 3n2< 150, . .10口05 亚又 nC N+,1<n<7,即生产期限最长为 7年.答案:C5 .解析：由(n+1)S<nS+1,得(n+1) - n(a1 an)<n (n 1)(a1 an1),整理得 亦<4+1,22所以等差数歹久an是递增数列.又a8< 1,所以a8>0, a7<0,所以数列an的前7项为负 a7值，即S的最小值是S7.答案:D6 .解析：由题意，得 b2= 4ac,令 ax2+bx+c=0,A=b24ac=0,故函

9、数y=ax2+ bx + c的图象与x轴相切，故选 B.答案： B7 .解析：设 S2n=a, Sn=b,由等比数列的性质知 2(14-a) =(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去), 同理(6-2)( b-14)=(14-6)2,所以 b=Sn=30答案:B8 .解析：&=(2+22+2n)+(1+3+5+2n-1) 2(1 2 ) (1 2n 1) 2n 1 2 n2 1 22答案:C9 .解析：设等差数列的公差为 d,贝U dw0, a2=a2 %即(1 +2d)2=(1 +d)(1 +5d),解得d=-2, 所以 S6=6X 1+3 X(-2) =-24，故选 A2答案：A

10、10 .答案:A11 .解析：前100组共有1+2+3+100=5 050个数，则第101组中的第一个数为数列2n-1 的第5 051项，该数为25 050.答案:D12 .解析：由题意知 f(Sn+2) =f(an)+f(3)( nCN),. Sn+2=3an, Sh-1+2=3an-1(n>2),两式 相减得 2an=3an-1( n12),又 n=1 时，S1+2=3a1=a+2,n 1 - a1=1,二数列an是首项为1,公比为一的等比数列，：an=.答案：D22、填空题：本大题共 4小题，每小题6分。13 .解析：设此三数为 3, a, b2a=3+ba - 6 2= 3ba=

11、15b = 27a= 3解得，b=3.这个未知数为 3或27.答案：3或2731314.解析：由题意得 a4+a5= 2, a4a5=4, / q>1, aaa>a4,解得 a4=, a5=2, , q=3,2、 . ae + a7=a5(q+q ) =18.答案：1815.解析：由题意可知 3a1+32a2+3nan=3n-2.当 n=1 时，a1=l ；3当 n>2 时,3a+32a2+ - +3n-1an-1=3(n-1)-2,1-，得 3 an=3, an=-r, 3n 1，一，“1，一一此时，令n=1,有a1=1，与a1=-相矛盾.3故an二13，n1&n

12、1，n313, n答案:an=313n 1,n 216.解析：由题意知，若an为调和数列，则1为等差数列，：由°为调和数列，可得数 anxn列Xn为等差数列.由等差数列的性质知，乂5+乂16=乂1+乂20=乂2+必9=一=乂10+乂11=30 =20.10答案：20三、解答题：本大题共 3小题，满分45分.2171|牛：(1)由已知付 an+1=an + 2an, .= an +1 + 1 = an + 2an +1=( an+1) .日 = 2,.an+1+1 = (an+1)2>0,. lg(1 +an+I)=2lg(1 + an)1g 1 + an + 1lg 1 + a

13、n=2,且 lg(1 +ai) = lg3 lg(1 +an)是首项为lg3 ,公比为2的等比数列. lg3=lg3 2n1(2)由(1)知，lg(1 +an) =2n1 . 1 + an = 32n1.an = 32n11.a11a2 3a a。 4,18 .解：(1)由题意 12 则a2 2al 1'又当 n>2 时，由 an+i-an=(2S+1)-(2S-i+1)=2an,得 an+i=3an.所以，数列an的通项公式为 an=3n-1, n N.(2)设 bn=| 3n-1-n- 2| , nC M, b=2, b2=1.当 n>3 时，由于 3n-1>n+

14、2,故 bn=3n-1-n- 2, n>3.设数列bn的前n项和为Tn,则Ti=2, T2=3.当 23 时，Tn=3 9(1W31 3(n 7)(n 2)23n n2 5n+1122,n 1*2,n N所以 Tn3n n2 5n 112 ,nn(n 1)d219 .解：(1)设等差数列an的公差为d,则&=na3a 3d由已知可得a15a1 10d解得 ai=1, d=-1.故数列an的通项公式为an=2-n.(3 2n)(1 2n)2 2n 3 2n 1,1(2)由(1)知1一a2n 1a2n 1，1从而数列1a2n 1a2 n-的前n项和为120 .解：（1）设等差数列an

15、的公差为d, a3= 6, a6 = 0.a1 + 2d= - 6a + 5d=0ai 10,解得d=2.an= 10+(n1) X2=2n12. 设等比数列bn的公比为q.- b2 = a+a2+a3= 24, b= 1 8. . 8q= 24, .q=3.bn的前n项和为= 4(1 3n).b1 1 一 q 一 8 1 一 3Sn=1-q1321.解：(1)等比数列bn的公比q b3 9 3 b23所以 b1 殳 1,b4 b3q 27 q设等差数列an的公差为d.因为 a1=b1=1, a4=b4=27,所以 1+13d=27，即 d=2.所以 an=2n-1(n=1,2,3,).(2)由(1)知，an=2n-1, bn=3n-1.因此 Cn=an+bn=2n- 1+3n-1.从而数列Cn的前n项和 n-1Sn=1 +3+(2 n-1)+1 +3+3n(1 2n 1) 1 3n2 3n 121 3222.解析：（1）由题意，得S