421常用曲线的极坐标方程

1、4.2.1 常用曲线的极坐标方程常用曲线的极坐标方程 -直线的极坐标方程直线的极坐标方程新课引入新课引入思考思考1：在平面直角坐标系中：在平面直角坐标系中1.过点过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为_; 过点过点(3,3)且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为_ x=3x=32.过点过点(a,b)且垂直于且垂直于x轴的直线方程为轴的直线方程为_x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值以取任意值. 与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标就是

2、找出曲线上动点的坐标 与与 之间的关系，然后之间的关系，然后列出方程列出方程f ( , )=0 ，再化简并讨论，再化简并讨论.思考思考2: 怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？例例1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为/4的射线的极坐标方程的射线的极坐标方程.oMx4 分析：如图，所求的射线上分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是任一点的极角都是/4，其极径可以取任意的非负数。故所其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为求直线的极坐标方程为(0)4 新课讲授新课讲授引申引申1：求过极点：求过极点, 倾角为倾角为5/4的射线的极坐标方程的射线的极坐标方程 引申引申2：求过

3、极点：求过极点, 倾角为倾角为/4的直线的极坐标方程的直线的极坐标方程 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？条射线组合而成。原因在哪？z XxK为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为()4R 或或5()4R 原因在原因在0例例 2 设点设点P的极坐标为的极坐标为(0,0,) ，直线直线l过点过点P且与极

4、轴所成的角为且与极轴所成的角为a a,求直线求直线l的极坐标方程的极坐标方程. oxMPa a0 0 解：如图，设点解：如图，设点M(,) 为直线上除点为直线上除点P外外 的任意一点，连接的任意一点，连接OM，在在MOP中有中有 显然点显然点P的坐标也是它的解的坐标也是它的解.00sin()sin()aa00sin()sin()a a OPsinsinOMOMPOPM00sin()sin()aa00a上式是过（， ），倾斜角为 的直线的极坐标方程.010ll.直线 过极点，即 时，直线 的方程是什么？2M( ,)2lb.直线 过点且平行于极轴时，直线的极坐标方程是什么？练习练习1：z XxKa

5、sinb3.求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线，且垂直于极轴的直线l的极坐的极坐标方程标方程.ox AM求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤: :1.根据题意画出草图；根据题意画出草图；2.设点设点M(,)是直线上任意一点；是直线上任意一点；3.连接连接MO；4.根据几何条件建立关于根据几何条件建立关于,的方程，并化简；的方程，并化简；5.检验并确认所得的方程即为所求检验并确认所得的方程即为所求.4.设点设点A的极坐标为的极坐标为(a,0)，直线，直线l过点过点A且与极轴所成的且与极轴所成的角为角为, 求直线求直线l 的极坐标方程的极坐标方程.解：如图，设点解：如图，设点M(,), 为直线为直线l上上 异于异于A的点的点,连接连接OM，在，在MOA中有中有 a aoMx Asin()sin()a a aa a 即即sin()sinaaaaa显然显然A点也满足上方程点也满足上方程.练习练习2：按下列条件写出直线的极坐标方程：按下列条件写出直线的极坐标方程：(1)A(6)(2)B(5)(3)C(8)62(4)D(2 3,0)3经过极点和点， 的直线；5经过点，且垂直于极轴的直线；经过点， ，且平行于极轴的直线；经过点，且倾斜角为的直线.(1)5(2)cos5 (3) sin42(4) sin()33小结：小结： 直