2010-2-28 函数极限换元法

1、函数极限的换元法函数极限的换元法是一种相当实用的方法. 正如积分换元法在积分计算中有着十分广泛的应用，函数极限的换元法在函数极限的计算中也有着十分广泛的应用. 运用函数极限的换元法，我们能够很快地求出许多复杂函数的极限. 下面就来介绍并证明函数极限换元法的有关定理. 一、x趋向于这类情形的换元法法则比较简单. 我们有法则1. 法则1 若存在，那么有. K=. T=.这个法则的内涵是很丰富的，它其实上包含18个具体的法则. 首先必须指出的是，都是形式上的符号，我们必须把它们代入后再理解. 之所以这么做，是为了法则表示的简洁，从而应用起来更有效率. 法则1告诉我们的是，把K任意取定一个符号，然后再

2、把T任意取定一个符号，所得到的命题是成立的. 也就是说，法则1告诉我们有18条法则是成立的. 下面的法则2和法则3会采用类似的记法.二、x趋向于这类情形的换元法法则比较复杂. 我们有法则2和法则3. 需要指出的是，为了形式上的简洁和记忆的方便，我们说x向于是指x从右边趋向于x0，也就是x0的右极限. 法则2 若存在，$UF(T), 对"tÎUF(T)有RK, g(t), (K)，那么有. K=. T=.该法则中有三个特别定义的符号，即(K), UF(T)与RK, g(t), t0. 形式上，当K=x0, , 时，(K)=x0. 规定UF(T)是一个集合，当T=t0时UF(T

3、)表示t0的某一个去心领域；当T=时UF(T)表示t0的某一个去心右领域；当T=时UF(T)表示t0的某一个去心左领域；当T=¥时UF(T)表示¥的某个邻域；当T=+¥时UF(T)表示+¥的某个邻域；当T=-¥时UF(T)表示-¥的某个邻域. 规定RK, g(t), x0是一个命题公式. 当K=x0时，表示命题g(t)¹x0；当K=时，表示命题g(t)>x0；当K=时，表示命题g(t)< x0.法则2实际上也包含了18个具体的法则. 这些具体的法则在证明的时候将会一一列出来. 法则2中定义了3个计算机程序意义上的

4、“函数”，这样做，可以把18个具体的法则用比较精炼的语言叙述出来，形式上简洁，记忆方便，运用灵活. 如果f(x)在x0处连续，那么当x趋向于x0时，我们有更加便捷的法则.法则3若f(x)在x0处连续，那么有.T=.法则3中，我们要求f(x)在x0处连续，至于左连续和右连续的情况，我们就不讨论了. 我们来分析一下三个法则的共同特点. 三个法则都要求所求极限存在，也就是说，这三个法则一般情况下是不能用来判断函数极限存在性的，而是用来在已经知道极限存在的情况下去计算函数极限的值. 其次，三个法则都是把计算转化为计算. 法则1和法则2总共包含36种具体情况，一般情况下，这两条法则就已经足够解决许多极限

5、的计算问题.三、证明下面我们仅就T=t0和T=¥的情况给出法则1和法则2的证明，法则3的证明比较容易，故从略. 首先来证明T=t0的情况.(1)若存在，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$M>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于，所以对于上面的M>0，总是$d>0，对"tÎ，有|g(t)|>M，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$d>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是

6、.(2)若存在，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$M>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于，所以对于上面的M>0，总是$d>0，对"tÎ，有g(t)>M，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$d>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(3)若存在，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$M>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e

7、. 由于，所以对于上面的M>0，总是$d>0，对"tÎ，有g(t)<-M，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$d>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(4)若存在，$d>0, 对"tÎ有g(t)¹ x0，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$d1>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于“，$d2, 对"tÎ有g(t)¹

8、;x0”，所以对于上面的d1>0，总是$d，0<d<d2，对"tÎ，有0<|g(t)-x0|<d1，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$d>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(5)若存在，$d>0, 对"tÎ有g(t)> x0，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$d1>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于“，$d2, 对"

9、tÎ有g(t)>x0”，所以对于上面的d1>0，总是$d，0<d<d2，对"tÎ，有0<g(t)-x0<d1，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$d>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(6)若存在，$d>0, 对"tÎ有g(t)< x0，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$d1>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于“

10、，$d2, 对"tÎ有g(t)<x0”，所以对于上面的d1>0，总是$d，0<d<d2，对"tÎ，有-d1<g(t)-x0<0，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$d>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.上面对T=t0的情况给出了证明，当T为时，证法完全类似，只需要把t0换成其它的形式，并且把Uo(t0)换成相应的区间，然后逐字逐句重复.然后来证明T=¥的情况.(1)若存在，那么有. 证明 设，

11、那么对"e>0, 总是$M>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于，所以对于上面的M>0，总是$N>0，对"tÎ，有|g(t)|>M，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$N>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(2)若存在，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$M>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于，所以对于上面的M>

12、;0，总是$N>0，对"tÎ，有g(t)>M，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$N>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(3)若存在，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$M>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于，所以对于上面的M>0，总是$N>0，对"tÎ，有g(t)<-M，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就

13、是，对"e>0，总是$N>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(4)若存在，$N>0, 对"tÎ有g(t)¹ x0，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$d1>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于“，$N2, 对"tÎ有g(t)¹x0”，所以对于上面的d1>0，总是$N>N2，对"tÎ，有0<|g(t)-x0|<d1，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|

14、<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$N>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(5)若存在，$N>0, 对"tÎ有g(t)> x0，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$d1>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于“，$N2, 对"tÎ有g(t)>x0”，所以对于上面的d1>0，总是$N>N2，对"tÎ，有0<g(t)-x0<d1，即g(t)Î，从而|fg(t)-A|<e. 总的来说就是，对"e>0，总是$N>0，对"tÎ，有|fg(t)-A|<e. 于是.(6)若存在，$N>0, 对"tÎ有g(t)< x0，那么有. 证明 设，那么对"e>0, 总是$d1>0, 对"xÎ，有|f(x)-A|<e. 由于“，$N2, 对"tÎ有g(t)<x0”，所以对于上面的d1>0，总是$N