几何证明——线段与差模型(中级)

1、几何证明一一线段和差模型（中级）【知识要点】在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（a二bc），或者两条线段之差等于一条线段（a =b c）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。截长法：如果要证明线段等式 a = b c，可以在长的一条线段 a上截取一条线段等于 b （或者c），然 后只需证明线段a上去掉b （或者c）之后剩下的线段等于 c （或者b ）就行了。

2、补短法：如果要证明线段等式 a =b c，可以先将短的两条线段 b和c拼接在一起形成一条长线段 d， 然后只需要证明a=d就行了。截长补短的方法比较灵活， 要根据具体的题目条件， 作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型， 希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。【经典例题】例1、（ 1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，.EAF =45 I求证：EF = DE BF 。（2）正方形 ABCD中，点E在CD延长线上，点 F在BC延长线上,$<5EAF = 45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?（3）正方形 ABCD中，点E在DC

3、延长线上，点 F在CB延长线上,y0-EAF二45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?例 2、正三角形 ABC 中，E 在 AB 上，F 在 AC 上.EDF =60。DB = DC , BDC =120。请问EF、BE、CF有什么数量关系?A例 3、已知：AC 平分.BAD , CE _ AB , . B . D =180°，求证：AE 二 AD BE。AC例4、正方形ABCD中，对角线 AC与BD交于O,点E在BD上，AE平分/ DAC求证：AD EO .2AB例5、已知，如图，在 UABC中，AB AC，BAD CAD，P为AD上任一点.求证：AB - AC PB -

4、PC。【提升训练】1、如图，已知 ABC中，边BC上的高为CD， B =2. C，求证：CD = AB BD 。2、已知：AD 平分 BAC，AC =AB BD，求证： B = 2 C。AC3、已知.ABC =3. ACB , . BAE 二.CAE , BE _ AE，求证：AC _ AB = 2BE。4、如图，在.'ABC中，MBAC =60 , AD是三BAC的平分线，且 AC =AB BD，求£ ABC的度数。5、如图，四边形 ABCD中，AB / DC , BE、CE分别平分.ABC、. BCD，且点E在AD上。求证:BC = AB DC 。6、如图所示，JABC是

5、边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的-MDN，点M、N分别在AB、AC上，求 ：AMN的周长。C7、如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, . C =90 , E为CD的中点，EF / AB交BC于点F。（1）求证：BF =AD CF ；（ 2）当 AD =1, BC =7，且 BE 平分.ABC 时，求 EF 的长。8、已知AABC中，.A =60,，BD、CE分别平分.ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明。PE _ AB, PF _ AC 垂足9、己知，AABC中，AB = AC，CD _ AB，垂足为

6、D，P是BC上任一点,分别为E、F .（ 1）求证： PE PF =CD ；（ 2）若P在BC延长线上，求证： PE - PF =： CD 。P10、（ 1）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是边BC的中点。.AEF =90：，且EF交正方形外角-DCG的平行线CF于点F，求证：AE = EF。（2）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是边BC上（除B，C外）的任意一点。 AEF = 90，且EF交 正方形外角 DCG的平行线CF于点F，求证：AE二EF。(3)如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点。.AEF =90，且EF交正方形外角.DCG的平行线CF于点F，求证：AE = EF 。BC EG11、在等边.：ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N , D为. ABC外一点，且/MDN =60 ，.BDC =120，BD -CD。探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 AAMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系。(1)如图图11，当点M、 N边AB、图2AC 上，且 DM 二 DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是此时Q二L