六七八数理统计详细答案-若统计量f服从

1、第六、七、八章 数理统计抽样分布、参数估计、假设检验)、思考题统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。为什么说样本是随机变量？ 参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？ 在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？、单项选择题 设是来自正态总体的一个简单随机样本，(A) >(B) <设是来自正态总体的一个简单随机样本，(A )( B)( C)12341.2.为样本均值，则()。(C) >( D) <和S2分别为样本均值和样本方差，则()。(D)3.4.设是来自正态总体 N(0,1)

2、的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为(A )(B) S2设是来自正态总体的一个样本，(n-1 的分布的是)。)。5.( A)(B)设随机变量， ，则(A)(B)(C)。D)6.7.(C) (n-1)( D) (n-1)S2则下列统计量中，服从自由度为n-1 的 t分布的是C)D)总体均值的95%置信区间的意义是指这个区间 (A )平均含总体95%的值(C)有95%的可能含 设是来自总体 X 的样本，(A )当卩为已知时， (C)当卩为未知时，卩的真值E(X)=,(B)(D )当(B)平均含样本的 95%的值( D )有 95%的可能含样本均值 D(X) = T,则可以作为 当卩为已知时，

3、卩为未知时，设和是总体参数的两个估计量，说比更有效，是指(A)(B)( C)(设总体 X 服从正态分布，其中 置信水平1 a的关系是( (A )当1 a减小时，L变小 (C)当1 a减小时，L不变10. 设是来自总体 X 的样本，(A) S是t的矩估计量(C) S是T的无偏估计量 11设是参数的无偏估计量，且，则(A) 一定(C) 一定不8.)。9D)2(T)已知，当样本容量固定时，D(X)=T2 的无偏估计量的是(均值(B )当1 a减小时，(D )当1 a减小时， 2样本方差为$2,则(B)(D)B)D)。)。的置信区间长度L与L 增大 L 增减不定)S是T的极大似然估计量S是T的一致估计

4、量 )是的无偏估计量。不一定可能12.从正态总体中抽取容量为9的样本，测得样本均值=15，样本方差s2=0.42,2未知时，总体期望剧置信度为0.95的单侧置信下限为()(A)15-(0.4/3)1.8595(C)15-(0.16/9)1.8595(B) 15-(0.4/3)1.8331(D) 15-(0.16/9)1.833113.对正态总体的数学期望进行假设检验。如果在显著性水平那么在显著性水平a =0.01下0.05下，接受原假设Ho：卩=,( )。(A)必接受H。(B)可能接受，也可能拒绝Ho(C)必拒绝Ho(D)不接受，也不拒绝H。三、填空题1设为来自总体 X的一个简单随机样本，则服

5、从的分布为 。(注明参数)2. 设总体X的密度函数为，为X的一个简单随机样本，S2为样本方差，则E(S2)=。3设是来自总体的一个简单随机样本，是样本均值，贝廿=,=。4设总体 X的密度函数为，为来自该总体的一个简单随机样本，则参数的矩估计量 为。5已知,是未知参数的两个无偏估计，且与不相关，。如果也是的无偏估计，且是，的所有同类型线性组合中方差最小的，则a=, b=。四、计算题1. 设为正态总体的一个样本，。求(1) ; (2)所服从的分布。2. 设X1, X2, X3, X4是来自正态总体 N(0,1)的一个样本，令 Y=(X1+X2)2+(X3+X4)2，若统计量CY服从，求常数Co3.

6、 设为正态总体的一个样本，为使，求样本容量n的取值。4. 设是正态总体的一个样本，求概率(1) ；(2)25. 设从正态总体抽取一个容量为9的样本，测算得，S =1。(1) 若总体方差，求总体期望的置信度为0.95的置信区间(2) 若总体方差未知，求的置信度为0.95的置信区间6. 设总体X，为使的置信度为 0.95的置区间的长度不大于0.16，求抽取的样本的容量n的取值范围。7. 设总体X的密度函数为，其中未知参数。为X的一个样本，求的矩估计量。8. 设总体X的密度函数为，其中未知参数。为X的一个样本。(1) 求的最大似然估计量；(2)证明为的无偏估计(3) 求。9. 设总体X的概率密度为，

7、其中是未知参数。从总体 X中抽取简单随机样本，记 =min。(1) 求总体X的分布函数；(2) 求统计量的分布函数；(3) 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。10. 设总体的概率密度为其中(0<<1 )是未知参数。为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数。求的最大似然估计。11 .设总体X的概率密度函数为其中参数a,b均未知且b>0，为来自总体的简单随机样本。求参数 a,b的最大似然估计量。12. 假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X的简单随机样本。已知服从正态分布，(1)求X的数学期望E(X)(记E(X)为b);(2)求的置信度为

8、0.95的置信区间；(3)利用上述结果求 b的置信度为0.95的置信区间。13. 设是取自均匀分布总体的一个样本，若把，分别作为的估计量，问是否分别为的无偏估计 量？如何修正，才能得到的无偏估计。14. 某溶液中的水分服从正态分布，总体均值为。现抽取一容量为10的样本，测算得，。在水平下，检验假设；。15. 酒厂用自动装瓶机装酒，每瓶规定重量为500克，标准差不超过10克。某天取样9瓶，测算得，。假设瓶装酒的重量 X服从正态分布。问这天机器工作是否正常。()16. 设总体服从0- 1分布，参数未知，是取自此总体的一个样本，为样本均值，则对每个，样 本容量应取多大才能使。17. 设样本为总体的样

9、本，其中未知。设随机变量是关于的置信度为的置信区间的长度，求。18. 设总体X服从二项分布b(n,p)。检验假设H0：p=0.6, H1：pM 0.6检验的拒绝域取为。 设n=10, C1=1 , C2=9,求显著性水平和 p的真值为0.3时的第二类错误的概率。19. 关于正态总体的数学期望有如下二者必具其一的假设，H。：=0和H1：1。考虑检验规则：当时拒绝H。接受H1，其中，而是来自总体 X的一个样本。求犯第一类错误的概率和犯第二类错误的概率'-O五、证明题1 设为正态总体的一个样本，试证统计量 。2. 设为正态总体的一个样本，试证对任意固定的，是的无偏估计，其中是标准正态分布函数

10、。3. 设为来自正态总体的一个简单随机样本，? ? ?。证明：统计量服从自由度为 2的分布。第六、七、八章数理统计 参考答案(抽样分布、参数估计、假设检验)、思考题1. 统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。为什么说样本是随机变量？因为总体有各种取值，统计抽样工作中，得到的具体数值只是某一个数值被取到，或者说是某一个结果发生，实际样本同样会有各种取值且抽取之前不清楚哪一个值被抽 至打所以说样本是随机变量。2. 参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？置信区间是随机的。3. 假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？ 设犯第一类错误，即原假设成立而放弃原

11、假设，也即弃真的概率为，犯第二类错误，即原假设不成立而接受原假设，也即取伪的概率为， 在样本容量不变的情况下，减小贝U加大，加大则减小。要想同时减小犯两类错误的概率，应该加大样本容量。4. 在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？从题目的问法可以直接得到一个假设，其对立的论断为另一个假设。因为两个假设中 有且仅有一个含等号，我们总是将含等号的假设作为原假设，不含等号的作为备择假 设，这样当原假设中等号成立时，就可以确定检验统计量的分布了。二、选择题1. (B)，当n>1,显然。结论：XN (卩，/),在左右同样距离，方差小者概率大。2. ( C)设，YiN(0,1)，且 丫1

12、,Yn 相互独立，3. (D)4. (A ),与S2相互独立5. (C) 设 U N(0,1), V ，则.(注)6. (C)7. (A )T8. ( D )比较有效性的前提是都是无偏估计。9. (A ) o2已知时，卩的置信区间长度，当1 a减小时，a增大，而分位点变小，所以L变小。10. (D)因为S2不是0的矩估计量，所以S不是o的矩估计量；最大似然估计量与具体分布有关，不能肯定S是o的最大似然估计量；虽然S2是02的无偏估计量，但S不是o的无偏估计量；S2依概率收敛到 0,由依概率收敛的性质，S依概率收敛到 0从而S是o的一致估计量。11. (C)因为，所以一定不是的无偏估计量。12.

13、 (A)13. (A) a是犯第一类错误的概率，即拒真的概率，a越小，越不容易拒绝 Ho,故必接受H。三、填空题1. F (5, n-5)。2. 。提示：可用函数，性质3. n ,n/5。4. 。5. a=0.2 , b= 0.8.因为是的无偏估计，则，所以。由与不相关，计算求得极小值点为a=0.2，则b= 0.8。四、计算题1. ，与 Xn+1 相互独立，2. ， 同理*3.， ， ， *至少应取 164. ，5. （1）（2）6. 置信区间长，* n 至少取 257. 解*的矩估计8. 解（ 1）样本的似然函数为，取对数，令，得，所以为的最大似然估计量。（2）证明：因为，所以为的无偏估计。

14、（3）因为，而，及，所以，得。第（2）、（3）问的解法2:可直接求 凶|即|X|的分布，令Y=|X|,先求其分布函数,求导得概率密度函数，所以，即Y服从参数为B的指数分布，。9解当（2）的值域为（ , 对(3)10解：对样本值按照1或者1进行分组：,样本的似然函数为，所以。11. 解：样本的似然函数为。 (*)取自然对数令得。由于需从似然函数本身出发找 a 的最大似然估计。由(*)知，固定 b ，要使达到最大， a 应该取最大值，由于所以，当时，达到最大，故 a 的最大似然估计值为。综上， a ,b 的最大似然估计量分别为 ，。12. 解：(1)Y的密度为，于是(2) 因为，则的置信度为0.9

15、5 的置信区间为，计算得，于是的置信度为 0.95 的置信区间是 (-0 . 98,0 . 98) 。(3) 由( 2)知，则，由的单调递增性知，因此 b 的置信度为 0.95 的置信区间为。13. 解：设总体的密度为，其分布函数是， 则的密度为的密度为由此可知， ，不是，的无偏估计。为得到无偏估计可作如下修正：从 可得 ，将其代入中得：所以又，从而 =所以与的无偏估计分别为： ，14. 解：设，当 H0 真时，对于，查得临界值，得拒绝域为|t|w -1.8331计算在下，接受Ho,认为.15. 解：( 1)设，当时，检验统计量，对于，拒绝域为，计算，没有落入拒绝域，所以不拒绝Ho,认为与500没有显著性差异。(2)设，当时，检验统计量，对于，拒绝域为，计算，落入拒绝域，所以拒绝Ho,认为标准差已超过 10克。 综上，认为机器工作不正常。16. 解：，若为未知数，由此要对每一个，上述不等式都成立，只要求值使最大， 显然时，最大，所以当时，对每一个不等式均能成立。17. 解：当未知时，的置信度为的置信区间为，区间的长度，所以。由于，从而 =。18. 解：n=10，当 Ho 真时，Xb(10, 0.6)