几何的教育价值

1、几何的教育价值及地位如果说 ,数学是各国中小学课程中最为统一的一门学科的话,那么 ,几何就是其中最不统一的一部分 ,其原因就在于几何的多样性。几何的多样性首先反映 在它的特征上 ,其中包括作为空间科学的几何 ;作为概念和过程的直观表示的几何 ; 作 为数学理论与数学模型源泉的结合点的几何 ;作为思维和理解的一种途径的几何 ;作为 演绎推理教学范例的几何 ;作为应用的工具的几何等。其次反映在它的活动方式上。几何活动一般涉及三种认知过程:视觉、构造、推理 ,每一种过程通常又涉及多个方面 ,如从视觉上看 ,有维度上的不同 , 结构上的差 异 ,背景上的区分 ,位置上的变化 ;从构造上看 ,有实验性的

2、操作 , 直观的构造 ,概念的 形成 ,理论的构建 ;从推理上看 , 包括直觉的推理 ,归纳的推理 ,非严格的自然推理 ,严 密的演绎推理。正因为如此 ,几何既可以作为不同水平的创造活动的源泉 , 也可以成 为训练各种推理能力的场所 ;既可以作为日常生活中所必需的基础知识 , 也可以成为 解决各种问题的工具。此外还反映在课程处理的途径上。从认知过程看 ,有操作的、直觉的、演绎的或 者分析的几何 ;从课程结构上看 ,有静止的与动态的几何 ;从课程形式上看 ,又可以分 为实验几何、欧氏几何、仿射几何、解析几何、拓扑几何、非欧几何等。几何的多样性带来了几何众多的教育价值。从各国的研究情况看,几何的教

3、育价值主要表现在以下几个方面。1. 几何有利于形成科学世界观和理性精神 现代社会的一个显著特征是 ,科学已经成为社会的一个直接的生产力。因此,学校教育的一个重要方面是让学生熟悉如何构造科学理论的一个具体实例,熟悉科学的方法。在这点上 ,作为世界文明史上的一个科学系统 ,几何是极好的模型 , 因为几何 从简单而清楚的基础出发 ,运用推理的方法 （以若干明显的步骤 ）,有顺序地导出一系列 重要的推断 ,这些推断不仅有着广泛的应用领域 ,而且使人在这变幻 莫测的世界上体验到数学的确定性。正如爱因斯坦所说:“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进,以致它的每一个命题都是

4、绝对不容置疑的我这里说的是欧几里德几何。 推理的这种可赞叹的胜 利 ,使人类的理智获得了取得以后成就所必需的信心。 ”因此 ,学校中的几何教学有 助于学生科学世界观的形成。俄罗斯 （包括东欧的一些国家 ）的几何课程就比较重视 这一点。相比之下 ,西方所追求的理性精神则具有更为广泛的意义,它不仅包括方法论的成分 （如科学的世界观 ）, 也包括情感方面的因素（如科学的态度 ）。但即便如此 ,几何也仍然是一个很好素材。而且,这种意义上的拓广也有利于摆脱欧氏逻辑体系和演绎推理 （特别是传统三段论 ）的框框。2. 几何有助于培养良好的思维习惯波利亚说过 ,数学教育的意义并不是要教会学生去使用数学知识 ,

5、而是要培养学 生的思维习惯 ,一种数学文化修养。从这层意义上讲 ,几何是一种有效的训练手段。 几何材料具有深刻的逻辑结构、 丰富的直观背景和鲜明的认知层次。 通过几 何的学习可以使学生学会利用不同途径去解决问题,对几何结果形成合理的猜想对数量结论进行快速的估计,为解决具体问题提供直观的模型,进而养成推理严谨、言必有据和条理化的思维习惯。3. 几何有助于发展演绎推理和逻辑思维能力这一点 ,在欧氏几何两千多年的历史中已经得到了充分的肯定。正如英国学 者费克尔 （D. S. Fielker） 所说 :“欧几里德的那些定理之所以重要 ,不是因为它是有 用的 ,能够应用的或它们本身的价值 ,而是因为他们

6、是演绎推理系统的自然发展的一 部分。”当然 ,对于欧氏几何在发展演绎推理和逻辑思维能力中的作用,我们还是应该辨证地看待。首先 ,几何在培养逻辑思维和演绎推理能力方面仍有着重要的作用,这是毫无疑问的。因为几何要求对思维进行系统的、较为严格的训练,这有利于对演绎推理有较深入的理解。 当学生掌握了定义的作用并且学习只运用这些定义而不运用 他的直觉知识时 （这些知识常常凌驾于具有定义所呈现的性质的对象上）, 当他不得不谨慎地区分直觉的途径、直觉的真实性和证据与推理的方法时,他就开始理解什么是论证。正是在几何中 （而不是在代数中 ）产生的这种直觉和形式化的十分特殊的 联系 ,使得几何仍然成为启发逻辑思维

7、和培养演绎推理能力的最有效的途径。也正是因为这个缘故 ,几何不能被当作一个完全成熟的精确模型 ,而应该作为一 种训练工具 ,使学生通过训练掌握逻辑思维和演绎推理的基本方法:如发现解决问题的“好”的策略 ;从特殊情形探索出一般结果;寻找命题的不同证明;逐步地形成理论等等其次 ,在初级阶段 ,几何作为一种训练逻辑思维与演绎推理的工具,有它的长处 , 它的内容的直观性、难度的层次性、真假的实验性以及推理过程的可预见性, 使它成为训练逻辑思维与演绎推理的理想材料。但是 ,从本质上来说 ,逻辑思维与演绎 推理不能依赖于直观和直觉 ,因此 , 要使学生的逻辑思维水平达到较高层次 ,纯符号推理的代数证明应该

8、引起足够的重视此外 ,欧氏综合几何也不能被认为是中学中演绎方法的严谨的和逻辑的惟一 模型。已有一些学者提出用逻辑学或数学的其他材料（如组合数学等 ）来代替几何的教育功能 ,但 ICMI 的研究表明 ,到目前为止 ,还缺乏令人信服的证据和成功的实 验。而相比之下 ,几何材料则经历了上千年的千锤百炼。4. 几何是一种理解、描述和联系现实空间的工具按照 ICMI 的观点 ,“几何作为一种理解、描述和联系现实空间的工具,也许是数学中最直观、具体和真实的部分” 。当数学的其他分支经过多次的现代处理 而渐渐远离其生活源泉的时候几何 （ 特别是欧氏综合几何 ） 仍保持着与现实空间 的直接的丰富的联系。事实上

9、 ,初等欧氏几何本身就是对现实空间质朴地加以数 学化和直接应用的结果。 几何中几乎所有概念都是在对物理空间的具体概念进行 组织的过程中发展起来的。 这种局部组织对人类的日常活动仍有重要的意义。 学 生在他的一生中将面对具体的对象、具体的关系、具体的变换 ,它们可以分别形 象地表现为几何的对象、几何的关系、几何的变换。通过这种生动的类比 ,学生能够 建立实际情况的几何模型 ,从而用概括化的数学方法去解决问题。5. 几何能为各种水平的创造活动提供丰富的素材首先 ,几何能够为学生的个体活动提供丰富多采的问题和练习。可以说,没有哪一门学科的练习题能像几何习题这样 ,从教育性和科学性两方面都经过了千锤

10、百炼 ,从而形成了许多突出的优点 ,如几何题的综合性便于学生在研究时能够借助 于观察、实验、类比、直觉和推理等多种手段;几何题的层次性使得不同能力水平的学生都能从中得到益处 ;几何题的启发性可以使学生建立广泛的联系,并把几何应用于更多的领域 ;而几何题的系统化则有利于学生长期地有计划地进行训 练。其次 ,几何活动常常包含创造活动的各个方面,从构造猜想、表述假设、提供证明、发现特例和反例 ,到最后形成理论 ,这些过程在各种水平的几何活动中都可 以被发现。许多数学家都认为 ,虽然古典几何作为一门学科来说已经死亡,但各种水平的几何活动仍然是创造力的取之不尽的源泉。此外 ,创造活动的一个重要因素就是直

11、觉。一方面几何直觉在数学活动中常 常起着关键的作用 ,代数的分析中出现的众多的几何术语表明 : 在某种意义上 ,几何的 直觉已经渗透到一切数学领域中 ,甚至在那些看来几何是无所作为的领域内 , 几何直 觉仍然保持有强盛的生命力 ,其原因就在于几何直觉所能启示的东西是重要的 ,可接近的和有趣的 ,并且可以警告我们不致在问题、思想和方法的广阔沙漠中迷失方向。另一方面 ,随着计算机的普及 ,几何语言 （如图形、表格、图像等 ）已经 成为日常生活中一种重要工具 ,从而也为几何直觉在其他领域的广泛迁移提供了条件。 正因为如此 ,弗赖登塔尔认为 :“把这种从学生在物理空间的具体活动通过抽象、绘 图、作出模

12、型的有限步骤达到几何直觉的最高阶段的道路清楚地描绘 出来是有巨大的教育学方面的好处的。可以肯定的是:道路是存在的 ,并且几何教学的目标之一应该是按照使之成为学生数学思维的一种有效工具的道路,延长或改造原始的空间直觉” 。6. 几何可以作为各种抽象数学结构的模型过去 100 年的数学史表明 ,今天的几何既是线性代数的源泉也是其应用的领域。 不仅如此 ,许多重要的数学理论 （如希尔伯特空间 ,拓扑学 ,测度论 ,群论 ,格论 , 微分 几何和代数几何等 ）都可以通过几何的途径以自然的方式组织起来 ,或者从几 何模型中抽象出来。这些理论中的每一种都有它本身的几何面貌,尽管它们中没有一种在几何面貌中是完善的。 这