(完整版)三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例

1、三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角 (如图 )2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为 (如图 )3方向角相对于某一正方向的水平角(如图 )(1)北偏东 °即由指北方向顺时针旋转°到达目标方向(2)北偏西 °即由指北方向逆时针旋转°到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似【思考探究】1.仰角、俯角、方位角有什么区别？以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决在解决某些具体问

2、题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决在解决某些具体问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之如右图， D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点， ABAD，记 CAD， ABC.(1)证明： sincos 20；(2)若 AC3 DC，求 的值【变式训练】1.如图，在四边形ABCD 中，已知 AD CD，AD 10，AB14

3、， BDA 60°， BCD 135°，则 BC 的长为_求距离问题要注意：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理例题 2.如图所示，甲船由 A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行， 速度为15 2海里 /小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南 40 海里处的 B 岛1出发，朝北偏东tan 2 的方向作匀速直线航行，速度为10 5海里 /小时(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？(2)求

4、两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？测量高度问题一般是利用地面上的观测点， 通过测量仰角、 俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决例题 3， 如图，测量河对岸的塔形建筑 AB，A 为塔的顶端， B 为塔的底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端 B 处在同一海拔水平面上，现给你一架测角仪 (可以测量仰角、俯角和视角 )，再给你一把尺子 (可以测量地面上两点间距离 )，图中给出的是在一侧河岸地面 C 点测得仰角 ACB ，请设计一种测量塔建筑高度 AB 的方法 (其中测角仪支架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所

5、设字母表示 )【变式训练】 3. A、B 是海平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°， BAD120°，又在 B 点测得 ABD45°，其中 D 是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了例题 4， 在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距离 A 处 ( 3 1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A

6、处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船 此时，走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【变式训练】4.如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达2 处时，A乙船航行到甲船的北偏西120°方向的 B2 处，此时两船相距 10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？1解三角形的一般步骤(1)分析题意，

7、准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍2解斜三角形实际应用举例(1)常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等(2)解题时需注意的几个问题要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决从近两年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考查1(2012 ·江西卷 )E，F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则tanECF ()16233A.27B.3C. 3D.42(2012 ·陕西卷 )如图， A，B 是海面上位于东西方向相距5(33 )海里的两个观测点，现位于A 点北偏东 45&