(完整版)三角形角平分线、中线、高线证明题

1、2证题的思路：找夹角（）性质1、全等三角形的SAS已知两边 找直角（ HL ）对应角相等、对应边相找第三边（SSS等。）2、全等三角形的若边为角的对边，则找 任意角（AAS）找已知角的另一边（）已知一边一角SAS对应边上的 高对应相边为角的邻边 找已知边的对角（）AAS等。找夹已知边的另一角（）ASA3、全等三角形的找两角的夹边（）对应角平分线相等。已知两角ASA4、全等三角形的找任意一边（）AAS对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形 周长相等。( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全

2、等。(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平

3、分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向

4、两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中， AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是 _.ABDC例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB、AC上， DEDF，D是中点，A试比较 BE+CF与 EF的大小 .EFBDC3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.ABDEC二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC，AD平分 BAC ，且 AD=BD，求证： CDACACBD03、如图，已知在 VABC

5、内，BAC60 ，C400 ，P，Q分别在BC，ACA上，并且 AP，BQ分别是BAC ，ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPBQPC4、如图，在四边形求证：ACABCD中， BCBA,ADCD，BD平分0ABC ，ADBC5、如图在 ABC中，ABAC，1 2，P为 AD上任意一点，求证 ;AB-ACPB-PCA12PBCD三、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中， B=60°， ABC的角平分线 AD,CEA相交于点 O，求证： OE=ODEOBCDA2、如图， ABC中， AD平分 BAC，DGBC且平分 BC，DEEAB于 E，DF AC于 F.BGCF（

6、1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC= ，求 AE、BEbD的长 .三、解答题 :( 共 55 分 )10. 如图 , ABC中, C=90°,AB=2AC,M是 AB的中点 , 点 N在 BC上,MN AB.求证 :AN 平分 BAC.(7 分)A1 2MBNC11. 已 知 : 如图 AC、 BD 相 交 于 点 O,AC=BD, C= D=90° , 求证:OC=OD.(8分)DCOAB12. 已 知 : 如 图 ,AB=AE,BC=ED, B= E,AF CD,F 为 垂 足 , 求证:CF=DF.(8 分)ABECFD13. 在 ABC 中 ,

7、BD、 CE 是高 ,BD 与CE 交于点O, 且 BE=CD,求证:AE=AD.(8 分)14. 已知如图 ,AB=AC,BAC=90°,AE 是过 A点的一条直线 , 且 B、C在DE的异侧 ,BDAE于 D,CEAE于 E, 求证 :BD=DE+CE.(8分 )ACDBCEAB15. 已知如图 , 在 ABC中, BAC=2B,AB=2AC,求证 : ABC是直角三角形?( 8 分)16. 已知如图 , 在 ABC中, 以 AB、AC为直角边 , 分别向外作等腰直角三角形 ABE、ACF,连结 EF,过点 A 作 ADBC,垂足为 D,反向延长 DA交EF于点 M.(1) 用圆

8、规比较 EM与 FM的大小 .(2) 你能说明由 (1) 中所得结论的道理吗 ?(8 分)FMEABDC全等三角形1将直角三角形（ ACB为直角）沿线段 CD折叠使 B 落在 B处，若 ACB=60°，则 ACD度数为 _AADB'HECB第1题图第 2题图B第 3题图DC2如图， ABE和 ACD是 ABC分别沿着 AB、AC边翻折 180°形成的，若 BAC=150°，则 EFC的度数为 _3已知 ABC中， ABC=45°，AC=4，H是高 AD和 BE的交点，则线段 BH的长度为 _4如图， ABC 是等边三角形，点D 、 E 、 F 分

9、别是线段AB 、 BC 、CA 上的点，（1）若 ADBE CF ，问 DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论；AFDBEC（ 2）若 DEF 是等边三角形， 问 AD BE CF 成立吗？试证明你的结论5如图所示，已知 1=2，EFAD于 P，交 BC延长线于 M，求证：2M=（ ACB-B）CA1 2EDEPFBDCM AFB6 ABC中， A=90°， AB=AC，D为 BC中点， E、F 分别在 AC、AB上，且 DEDF，试判断 DE、DF的数量关系，并说明理由7. 已知：如图， ABC 中， ABC45°，CDAB 于 D ，BE 平分ABC ，且 BE AC

10、于 E ，与 CD 相交于点 F， H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G （ 1）求证：（ 2）求证：BFAC ；CE1BF ；2AADFEDG110o OBHCBC8. 如图，点 O 是等边 ABC 内一点， AOB 110o， BOC 将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60o 得 ADC ，连接 OD （1）求证：COD 是等边三角形；（2）当150o时，试判断 AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时， AOD 是等腰三角形？9如图， ABC中， E、F 分别是 AB、AC上的点 AD平分 BAC； DE AB，DFAC；ADEF以此三个中的两个为

11、条件，另一个为结论，可构成三个命题，即 ? ， ? ， ? 试判断上述三个命题是否正确，并证明你认为正确的命题AEGFBDC10 已知：如图， ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点 D 作 DG BC ，交 AC 于点 G ，在 GD 的延长线上取点E ，使 DEDB ，连接 AE， CD （ 1）求证： AGE DAC ；（ 2）过点 E 作 EF DC ，交 BC 于点 F ，请你连接 AF ，并判断 AEF是怎样的三角形，试证明你的结论AEDGBFC11. 如图所示 , 已知点 C 为线段 AB上一点 , ACM、 BCN是等边三角形. 试说明 :（ 1）AN = BM;（ 2）CD

12、=CE（ 3）连接 DE，猜想： CDE的形状 DE与 AB的位置关系。(4) 若把原题中“ ACM和 BCN是两个等边三角形”换成两个正方形 ( 如图所示 ),AN 与 BM的关系如何 ?请说明理由 .12、工人师傅常用角尺平分一个任意角 , 做法如下 : 如图所示 , AOB 是一个任意角 , 在边 OA、OB上分别取 OM=ON,移动角尺 , 使角尺两边相同的刻度分别与 M、N重合 . 过角尺顶点 P 的射线 OP便是 AOB 的平分线 , 根据做法 , 结合图形写出已知、求证、证明 .13、操作：如图， ABC是正三角形， BDC是顶角 BDC 120°的等腰三角形，以 D为

13、顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AB、AC边于 M、N两点，连接 MN探究：线段 BM、MN、NC之间的关系，并加以证明14、已知 : 如图分别以 ABC的每一条边 , 在三角形外作等边三角形 , ABD、 BCE、 ACF, 求证： CDAEBF.15、已知：如图 , 在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中点,AE,BF,CD 分别交于 P,M,N 在每一组全等三角形中 , 有三个三角形全等 , 在图中全等三角形的有几组？请指出它们，并且选择一组给出证明CONAMB16.(2003 ·广东 ) 如图 , 在 RtABC中,AB=AC,BAC=90

14、°,O 为 BC的中点 .(1) 写出点 O到 ABC的三个顶点 A、B、C的距离的关系 ( 不证明 );(2) 如果点 M、N分别在线段 AB、AC上移动 , 在移动中保持 AN=BM, 请判断 OMN?的形状 , 并证明你的结论 .2、如图，已知 1=2， C=DDEF证明： A=F2341ABC3、已知：如图， ABCD， 1 B， 2 D求证： BEDEAB4、如图， ABCD，求证： A+C+AEC=360°ECD5、如图，若 ABCD，猜想 A、 E、 D 之间的关系，并证明之。AECBD7、 如图，平行四边形 ABCD中，ABCD，ADBC，E 为 AD的中点，在不添其他字母和线段的情况下，回答下列问题：（ 1）图中哪一个三角形的面积与三角形 ABE的面积相等？（ 2）图中哪些三角形的面积与三角形 ABC的面积相等？（ 3）如果平行四边形 AB