统计学常用分布及其分位数

1、§ 1.4常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当Xi、X2、Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，x2的i分布称为自由度等于n的2分布，记作 Z2 (n),它的分布密度P(z)=z 0其他,n ii 2-Uu2 e d u ,式中的-0称为Gamma® 数，且】1 =1,1 =店。/ 2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z12丿相互独立，且丫2(n), z2(m，贝y 丫+z2(n+m。证明：先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再

2、根据 2分布的定义以及上述随机变量 的相互独立性，令y=x 2+X2+xn, z=xn 1+X2 2+xn m,y+z= x 2+X2+xn+xnxn 2+xn m, 即可得到丫+Z2(n+m。2. t分布若X与丫相互独立，且X N(0,1) , 丫2(n)，则Z = x 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Zt ( n)，它的分布密度P(z)=心)rz2 n ().请注意:t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这 时，t分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以 得到。3. F分布若X与丫相互独立，且X0 2(

3、n)，丫0 2(m), 则Z=X 丫的分布称为第一自由度等于n第二自由度等于n mm的F分布，记作 ZF ( n, m)，它的分布密度P(z)=-1z2请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度l2丿i2丿n m(m n z) 20,其他ZF ( n, m)时，F ( m ,n )。1Z的次序有关，当4. t 分布与 若Xt( n),F分布的关系 则 Y=X2 F(1,n)证：Xt( n) , X的分布密度P(x)=1)|ln丿<2；.nn】n 12 。Y=X 2 的分布函数 Fy (y) =PY< y=PX 2 <y。当 厂0 时，F,y)=0, PY(y)=0 ;

4、当 y>0 时，F,y) =P-. yvXv, y=_； P(x)dx=2 0y P(x)dx,Y=X 2的分布密度nn2PY(y)=-r1 十 nI< 2丿1 -1y21 n(n y) 2与第一自由度等于精彩文档1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此 Y=X2F（1, n）。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从 各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查 分位数表。有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用 的需要，有三种不同的称呼，即a分位数、上侧a分位数 与双侧a分位数，它们的定义

5、如下：当随机变量X的分布函数为F（ X），实数a满足0 < a <1 时，a分位数是使PX< X a =F（ X a ）= a的数X a ,上侧a分位数是使PX >入=1 - F（入）=a的数入，双侧a分位数是使PX<入1=F（入1）=0.5 a的数入1、使PX> 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的数入 2。因为1- F（入）=a, F（入）=1 - a,所以上侧a分位数入 就是1- a分位数X 1- a ；F（入1）=0.5 a, 1- F（入2）=0.5 a,所以双侧a分位数入1就是0.5 a分位数X o.5 a，双侧a分位数入2就是1- 0.

6、5a分位数X 1- 0.5 a。2）标准正态分布的a分位数记作Ua , 0.5 a分位数记作U 0.5 a , 1- 0.5 a 分位数记作U 1- 0.5 a。P(x)P(x)J£Ox当 X N(0,1)时，PXV Ua =F o,i(u a )= a,PX<U 0.5 a = F 0,1 (u 0.5 a )=0.5 a,PXvu 1- 0.5 a = F 0,1 (u 1- 0.5 a )=1 - °5 a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当a =0.5 时，ua =0 ；当 a <0.5 时，u a <0。ua =- u 1- a。如果在标准正态

7、分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u 1- a，然后得到ua =- u 1- a。论述如下：当 X N(0,1)时，PX< u a = F 0,1 (u a )= a,PX< u 1- a = F 0,1 (u 1- a )=1 - a,PX> u 1- a =1 - F 0,1 (u 1- a )= a,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，ua =- u 1- a o例如，u 0.10 =- u 0.90=- 1.282 ,u 0.05 =- u 0.95 =- 1.645 ,u 0.01 =- u 0.99 =- 2.326 ,u 0.025 =- u 0.97

8、5 =-1.960 ,U 0.005 =- u 0.995 =-2.576。又因为P|X|V U 仁0.5 a =1 - a,所以标准正态分布的 双侧a分位数分别是U i- 0.5 a和-U i- 0.5 a。标准正态分布常用的上侧a分位数有：a =0.10， U 0.90 = 1.282 ；a =0.05 ,U 0.95 =1.645 ;a =0.01 ,U 0.99 =2.326 ;a =0.025 ,U 0.975 =1.960 ;a =0.005 ,U 0.995 =2.576。3)卡平方分布的a分位数记作 2 a (n)2ao例如，2 0.005 =0.21,2 0.025 (4)=

9、0.48 ,2 0.05 (4)=0.71 ,2 0.95 =9.49 ,2 0.975 t分布的a分位数记作t a (n)=11.1 ,2 0.995 (4)=14.9。当Xt (n)时，PX<t a (n)= a,且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有t a (n)= - t 1- a (n)，论述同 Ua =- u 1- a。例如，t 0.95 (4)=2.132 ，t 0.975 (4)=2.776 ，t 0.995 (4)=4.604 ， t 0.005 (4)= - 4.604，t 0.025 (4)= - 2.776， t 0.05 (4)= - 2.13

10、2。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t a (n)，可用Ua作为t a (n)的近似值。oxaxoxax5) F分布的a分位数记作Fa (n , m)。Fa (n , m)>0，当 XF (n , m)时，PX<Fa (n , m)= a1 1P 1 >1=1-a, 11卩丄= a,X F 1_： (m, n)XF 1-: (m, n)又根据F分布的定义，1F(n,m,P-<Fa (n, m XX因此 F a (n, m=10F1 - ?(m ,n )当 x F(m n)时，PX< F i- a (m n)=l - a,a ,例如，F 0.95 (

11、3,4)=6.59, F 0.975 (3,4)=9.98,另外，当a较小时，在表中查不出F a (n, m)，须先查Fi- a (m n)，再求 Fa (n,m)=1F (m , n )论述如下:F 0.99 (3,4)=16.7, F 0.95 (4,3)=9.12,F 0.975 (4,3)=15.1, F 0.99 (4,3)=28.7,19.1211F 0.01 (3,4)= 药，F 0.025 (3,4)= 二，F 0.05 (3,4)=28.715.1【课内练习】1.求分位数0.05 (8)，0.95 (12)2. 求分位数 t 0.05(8)， t 0.95(12)。3. 求分

12、位数 F0.05 (7,5)， F0.95 (10,12)。4. 由u 0.975 =1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由t 0.95 (4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位 数。6. 若X(4) , PX<0.711=0.05 , PX<9.49=0.95，试写出有关的分位数。7. 若XF(5,3) , PX<9.01=0.95 ，丫F(3,5) , Y<5.41= 0.95，试写出有关的分位数。8. 设X、X、X相互独立且都服从 N(0,0.09)分布， 试求 P >1.44。习题答案：1. 2.73， 21.0。2.-1.860， 1.782。3.， 3.37。4. 1.960 为上侧 0.025 分位数，