授课题目不定积分

1、授课题目(不定积分)分部积分法 熟练掌握基本的不定积分公式，熟练掌握分部积分法。重点：分部积分法。难点：分部积分法怎样计算不定积分呢xcosxdx,我们已经知道，如果猜测 是函数cosxdx,sinx，cF(x),xsinx, f(x),xcosx的一个反导数，是否正确呢对函数按乘积法则求导,F(x),(xsinx),sinx，xcosx与f不同，多出一项 。但是，我们知道sinxdx,cosx，c cosx如果给，即FGf(x)g(x)dxd,f(x)g(x),f(x)g(x)，f(x)g(x), dx d,f(x)g(x),f(x)g(x)dx，f(x)g(x)dx, ,dxd,f(x)g

2、(x)dx,f(x)g(x),f(x)g(x)dx ,dx ,f(x)g(x)dx,f(x)g(x),f(x)g(x)dx ,如果不定积分f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx比较容易计算，算出.这种思路方法叫做分部积分法(integration by parts一般地，称公式udv,uv,vdu ,为分部积分公式(formula of integration by parts分部积分的作用是把求udvvdu转化成求 因此，sinx,G(x),cosx，xsinx,那么G(x),(cosx，xsinx),xcosx，sinx,sinx,xcosx所以xcosxdx,cosx，xsinx，c

3、,把上面的思路对一般的函数表达出来就是：为了计算 按照导数的乘积法则那么,就有可能)。)。利用分部积分法 即把被积函数的一部分,求,f(x)dxf(x)dxu(x)dv(x)的关键是：将 改写成 的形式，凑成。dv(x)dx与二、分部积分法举例例1求xsinxdx.,解 设 那么u,cosx,v,xxsinxdx.,x(,cosx),(,cosx)dx,xcosx，cosxdx,xcosx，sinx，c,2x但是，为什么不选择u,xv,sin,呢如果这样22222xxxxxsinxdx,()(sinx),()d(sinx),()(sinx),()cosxdx ,22222x而积分cosxdx.

4、更加不容易计算，此路不通，不符合分部积分的思路。 因,2此在运用分部积分方法时，怎样选择uv和是个问题，解决这个问题的有效途 径是多观察，多积累。10例2求x(1，x)dx. ,10u,x,dv,(1，x)dx,解 设2 x(1，x)dx.,x(1，x),(1，x)dx,x(1，x),(1，x)，c,2x例3求2xedx.,1xx2u,e,2xdx,dv解 设 同时 ，按分部积分法du,edx,dv,x2xxxxxxx2xedx,2xd(e),2xe,2edx,2xe,2e，c,2(x,1)e，c ,例4求xlnxdx,112解 设u,lnx,xdx,dv同时du,dx,dv,d(x)，按分部

5、积分法x2222xxxlnln()lnlnI,xxdx,xd,x,dx,222 222xxxx,x,dx,x,，clnln,2224例5求4xcos(3x)dx ,u,4x,dv,cos(3x)dx解 设1114xcos(3x)dx,4xd(sin3x),4x(sin3x),sin3xd(4x) ,333 4444x(sin3x),sin3xd(3x),x(sin3x)，cos3x，c,3939 2x例6求ecosxdx,解2x2x2x2x2x2x ecosxdx,ed(sinx),esinx,sinxd(e),esinx,2esinxdx,2x2x2x2x2x ,esinx,2ed(,cos

6、x),esinx,2(e(,cosx)，2(,cosx)d(e),2x2x2x ,esinx，2ecosx,4ecosxdx,12x2x即ecosxdx,e(sinx，2cosx)，c,5一般地，当被积函数是如下形式时，必须采用分部积分法：f(x) naxf(x),xena(1) 这里是正整数，为常数；nf(x),xsinbxn(2) 这里是正整数，为常数；b1nf（x）,xlnxn（3） 这里是正整数；nnf（x）,xarctgx,f（x）,xarcsinx,n（4） 这里是正整数；axf（x）,esinbx（5）， 这里a,b为常数。并且一般的规律是，对（1）（2）两种情况，宜将指数函数或

7、三角函数与合 起dx来凑成；对（3）（4）两种情况，宜将幂函数与合起来凑成;而第（5）类函dvdxdv数的积分往往需要连续几次使用分部积分法（参考例）。再举一例子说明，有时为了计算不定积分，凑微分法和分部积分法这两种方法 需要同时使用。例7求sinxdx ,2x,u先设法去掉根号，令 或x,u2sinxdx,sinud（u）,2usinudu ,这时，再利用分部积分法usinudu,ud（,cosu）,u（,cosu）,（,cosu）du,ucosu，sinu，c ,所以sinxdx,2（,ucosu，sinu），c,2xcosx，2sicx，c ,最后，请大家注意：在计算导数的时候，我们知道

8、，初等函数的导数一定 还是初等函数。作为求导数的逆运算，是不是可以说初等函数的反导数一定是初等函数呢 答案是否定的，也就是说：初等函数的反导数不一定仍然是初等函数，例如2sinxx,x ,exlnx这些函数的反导数都不能用初等函数表示！但是，这并不意味着这些函数没有 反导数，实际上，任何连续函数都有反导数，也就是说，按照上面介绍的积分的计算方 法，是计算不出积分2sinxx,x edx,dx,dx,xlnx的。它们的计算需要借助一种称为无穷级数的数学方法。1.计算下列不定积分：（P 5.（1）-（12）225,2.设 计算f(0),1,f(2),3,f(2),5,xf(2x)dx,0 xx,3.设f(e),xe,f(1),求. f(x) b f(g(x)g(x)dx如果需要计算定积分a,那么，按照不定积分，因该存在函数F,使得.f(g(x)g(x)dx,F(g(x)，c,按照微积分学基本定理，有bb f(g(x)g(x)dx,F(g(x),F(g(b),F(g(a)aa,g(b)g(b)同时，由于f(u)du,F(u),F(g(b),F(g(a)g(a)g(a), u,g(x)bg(b)结合起来就有f(g(x)g(x)dx,f(u)du ag(a),这就是定积分的换元积分公式。2x1例求dx232,(1，x)1233解 因为，令,积分变为x