提高例题：相交线与平行线培优

1、七年级数学：相交线与平行线一、知识要点：1平面上两条不重合得直线，位置关系只有两种：相交与平行、2、两条不同得直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交、即，两条直线相交有且只有 一个交点。3、垂直就是相交得特殊情况、有关两直线垂直，有两个重要得结论：(1) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2) 直线外一点与直线上所有点得连线中，垂线段最短。4.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点得角中，如果两个角分别在两条直线得同一方，并且都在第三条直线得同侧，具有这种关系得一对角叫做;如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线得两侧，具有这种关:如果两个角都在两直线之间，但它

2、们在第三条直线得同旁，具有这种关系得一对角叫做5.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么那么这两条直线平行、简单说成: 线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行、简单说成:7在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线&平行线得性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等、简单说成:、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等、简单说成:、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补、简单说成:方法指导：平行线中要理解平行公理， 能熟练地找出“三线八角”图形中得同位角、内错角、 同旁内角，并会运用与“三线八角”有

3、关得平行线得判定定理与性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例1如图(1)，直线a与b平行，/1=(3x+70),/2=(5x+22),求/3得度数。解：a/b,/3=/4(两直线平行，内错角相等) /1 +/3=/2+/4=180(平角得定义) /1= /2(等式性质)则3x+70=5x+22解得x=24系得一对角叫做6.平行线得判定：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么这两条直线平行、简单说成:、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,、两条直线被第三条直a即/1=142 /3=180-/1=38评注：建立角度之间得关系，即建立方程（组）图，就是几何计算常用得方

4、法。例2.已知：如图（2）,AB/EF/CD,EG平分/BEF, /B+/B-/D=24，求/GEF得度数。解：AB/EF/CDB=/BEF, /DEF=/D（两直线平行，内错角相等）B+/BED+/D =192 （已知）B+/BEF+/DEF+/D=192（/B+/D）=192 （等量代换）B+/D=96 （等式性质）B-/D=24 （已知）B=60 （等式性质）BEF=60 （等量代换）即/ 2则/即/图/ EG平分/BEF（已知）1/GEF= /BEF=30。（角平分线定义）2例3.如图（3）,已知AB/CD，且/B=40，/D=70，求/DEB得度数。解：过E作EF/AB/ AB/CD

5、（已知） EF/CD（平行公理） / BEF=/B=40 /DEF=/D=70。（两直线平行，内错角相等）/DEB=/DEF-/BEF/DEB =/D-/B=30评注：证明或解有关直线平行得问题时，如果不构成“三线八角” 图（3）例4.已知锐角三角形ABC得三边长为a,b,c,而ha,hb,he分别为对应边上得高线长,求证：ha+hb+hev a+b+c分析：对应边上得高瞧作垂线段，而邻边瞧作斜线段证明：由垂线段最短知，hav c,hbv a,hcv b以上三式相加得ha+hb+hcv a+b+c研究垂直关系应掌握好垂线得性质。1.以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2.垂线段最短。例5.

6、如图（4）,直线AB与CD相交于0,EF AB于F,GH CD于求证EF与GH必相交。分析：欲证法。证明：假设EF、，则应添出辅助线。EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证EF与GH不相交。GH就是两条不同得直线EF/GHDEF ABGH AB又因GH CD故AB/CD (垂直于同一直线得两直线平行)这与已知AB与CD相交矛盾。所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交评注：本题应用结论：(1)垂直于同一条直线得两直线平行。(2)两条平行线中得一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线； 例6.平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线

7、产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交 点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个 交点；一1贝y n条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)=一n(n-1)2评注：此题就是平面上n条直线交点个数最多得情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例7.6个不同得点，其中只有直线？解：6条不同得直线最多确定：直线，即能确定得直线为3点所在得直线外得3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上得3点最多有3 X3=9条直线，加上3点所在得直线共有：3+9+1=13条1般地，平面上n个点最多可确

8、定直线得条数为：1+2+3+(n-1)=-n(n-1)23条直线中得第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段,每一段将它所在得区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域； 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域11推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+ n(n +1)= (n2+n+2)块不同22得区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同得区域?例9.平面上n条直线两两相交，求证所成得得角中至少有一个角不大于图(4)3

9、点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条5+4+3+2+1=15条直线，除去共线得3点中重合多算得2条15-2=13条。另法:1800评注:证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角n(n 1)X 2=n(n-1)对，即2n(n-1)个角2平面上任取一点0,将这n条直线均平行移动过点0,成为交于一点O得n条直线，这n条直线将以O为顶点得圆周角分为2n个(共n对) 互不重叠得角：1、2、3、2n由平行线得性质知，这2n个角中每一个都与原来n条 直线中得某两条直线得交角中得一个角相等，即这2n个角均就是原2n(n-1)个角中得角。n若这2n个角均大于，则1+2+3+2n2nx创=360nn

10、1+2+3+2n=360,产生矛盾1、2、3、2n中至少有一个小于1800原来得2n(n-1)中至少有一个角不小于1800评注：通过平移，可以把原来分散得直线集中交于同一点，从而解决问题。例10. (a)请您在平面上画出6条直线(没有三条共点)，使得它们中得每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。(b)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点)，使得它们中得每条直线都恰 与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：(a)在平面上任取一点过A作两直线m1与n1。在n1上取两点B,C,m1上取两点D,G。过B作m2/m1,过C作m3/m1,D作n2/n1,过G作n3/n1,

11、这时m2、m3、n2、n3交得F、H、丨四点，如图所示。由于彼此平行得直线不相交， 所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。(b)在平面上不能画出没有3线共点得7条直线，使得 其中每条直线都恰与另外3条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它 个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另根据直线去计数这些交点，共有3X 7=21个交点，21计数一次，所以这7条直线交点总数为 一 =10、5个，27条直线就是画不出来得。m3、n2、在过E、m2miCn1Fn2 Im33条相交，3条直线交得得3个不同得交点。 但每个交点分属两条直线，被重复因两直线相交只有一因为交

12、点个数应为整数，矛盾。所以，满足题设条件得三、巩固练习1.平面上有5个点，其中( )条A.6 B.7 C.82.平面上三条直线相互间得交点个数就是A.3 B.1或3 C.1或2或3仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线(D不一定就是1,2,33.平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有(A.36条B.33条C.24条D.21条4.已知平面中有n个点A, B,C三个点在一条直线上，A,D, F, E四个点也在一条直线上,除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这 不同得直线，这时n等于()(A)9(B)10(C)115.若平行直线AB、CD与相交直线E

13、F、GHn个点作一条直线， 那么一共可以画出(D)12相交成如图示得图形,则共得同旁内角38条A.4对6.如图,A.90B.8对 已知FD/BE,则/B.135C.12对D.16对1 +/2-/3=(150C.)D.180EB7.如图，已知AB/CD，/&平面上有5个点，每两点都连一条直线，有_交点9._平面上3条直线最多可分平面为_ 个部分。10.如图，已知AB/CD/EF,PS GH于P, /FRG=110则/PSQ=1 =/2,则/E与/F得大小关系_ ;5点之外这些直线最多还问除了原有得11.已知A、B就是直线L外得两点，则线段AB得垂直平 分线与直线得交点个数就是12.平面内

14、有4条直线，无论其关系如何，它们得交点个数不会超过_ 个。13.已知：如图，DE/CB，求证：/AED=/A+/B14.已知：如图，AB/CD，求证：/B+/D+/F=/E+/GF16.第14题CE平分ECD17.18.平面上两个圆三条直线，最多有多少不同得交点？平面上5个圆两两相交， 最多有多少个不同得交点？最多将平面分成多少块区域? 一直线上 平面上有 平面上有第15题19.20.到？画出图形。5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？8条直线两两相交，试证明在所有得交角中至少有一个角小于23O10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办n+9

15、 0- n10,选B。5直线EF、GH分别“截”平行直线CD分别“截”相交直线EF、4+6=16对2对同旁内角，共4对；直线AB、 共12对。因此图中共有同旁内角答案1.5个点中任取2点，可以作4+3+2+1=10条直线，在一直线上得3个点中任取2点，可作2+1=3条，共可作10-3+1=8（条）故选C2平面上3条直线可能平行或重合。故选3.对于3条共点得直线，每条直线上有 条不重叠得线段对于3条不共点得直线，每条直线上有 条不重叠得线段。故共有21条不重叠得线段。故选DD4个交点，截得3条不重叠得线段，3条直线共有95个交点，截得4条不重叠得线段，3条直线共有124.由n个点中每次选取两个点

16、连直线,直线上，可以画出可以画出n（n0条直线，若ABC三点不在一条2 3条直线，若A, D,E,F四点不在一条直线上，可以画出6条直线，n(n 1)326238.整理得n2n 900,(n 10)(n 90)0.EB6.V FD / BE/2=/AGF/AGC=/1-/3/1+/2-/3=/AGC+/AGF=180BAD=/CDA(两直线平行，1 =/2(已知)BAD+/1 =/CDA+/2(等式性质)EAD=/FDA选B7.解：AB/CD内错角相等）（已知）即/ AE/FD/E=/FAB、CD，各得GH，各得6对同旁内角,8解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线

17、只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（个）又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1=6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5X 6=30个交点，所以有交点得个数应为45-30=15个9.可分7个部分10.解 /AB/CD/EF/APQ= /DQG=/FRG=110 同理/PSQ=/APS/PSQ=/APQ-/SPQ=/DQG-/SPQGABCA ADE4SFI I第10题R H=110-90=2011.0个、1个或无数个1）若线段AB得垂直平分线就就是L,则公共点得个数应就是无数个；2） 若AB L,但L不就是AB得垂直平分线

18、，则此时AB得垂直平分线与L就是平行得关 系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若AB与L不垂直，那么AB得垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点得个数 为1个12. 4条直线两两相交最多有1+2+3=6个交点13.证明：过E作EF/BA/2=/A（两直线平行，内错角相等）DE/CB,EF/BA/ 1 =/B（两个角得两边分别平行，这两个角相等）/ 1+/2=/B+/A（等式性质） 即/AED=/A+/B14.证明：分别过点E、F、G作AB得平行线EH、PF、贝U AB/EH/PF/GQ（平行公理）/ AB/EH /ABE=/BEH（两直线平行，内错角相等）同理：/HEF= /E

19、FP/PFG=/FGQ/QGD= /GDC/ABE+/EFP+/PFG+/GDC= /BEH+/HEF+/FGQ+/QGD（等式性质）即 /B+/D+/EFG=/BEF+/GFD15.证明： DE平分/CDA CE平分/BCD/EDC=/ADE/ECD =/BCE （角平分线定义）/CDA +/BCD=/EDC+/ADE+/ECD+/BCEGQ,=2(/EDC+/ECD)=180DA/CB又CB ABDA AB第15题16.两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有直线最多有3个不同得交点，即最多交点个数为：17.（1）2个圆相交有交点2X 1=1个，第3个圆与前两个圆相交最多增加 第4个圆与前3个圆相交最多增加 第5个圆与前4个圆相交最多增加 5个圆两两相交最多交点个数为：（2）2个圆相交将平面分成2个区域4个交点，三条2+4 X3+3=172X 2=4个交点，这时共有交点2+2 X 2=6个2X 3=6个交点，这时共有交点2+2 X 2+2X 3=12个2X 4=8个交点2+2X 2+2X 3+2X 4= 203个圆相瞧作第3个圆与前2个圆相交，最多有2X2=4个不同得交点，这4个点将 第3个圆分成4段弧，每一段弧将它所在得区域一分为二，