高等数学第一章1-5作业答案

1、第49页习题 1-51 计算下列极限x 2 5（ 1） limx 2 x 3将 x2代入到 x25 中，由于解析式有意义，因此x3lim x252259x2x323（ 2） limx23x3 x21将 x3 代入到解析式x23 中，解析式有意义，因此x212323limx320x3x2131（ 3） limx22 x12x1x1将 x1 代入到解析式中，分子为0，分母为0，因此该极限为0 型，因式分解，可得022x2x1x1x10limlimlim0x21 x 1x 11x1 x 1 x 1 x2（ 4） lim 4x322x2xx03x2x将 x0 代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此

2、该极限为0 型，因式分解，可得04x32x2xx 4x22x 1lim4x22x 11lim2limx 03x 2xx0x 3x 2x03x 22xh 2x2（ 5） limh0h将 h0 代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为0 型，因式分解，可得0222 xh hl i mx hxhl i ml i mx 2hx 2h 0h0hh 0（6） lim 211xx2x由于 lim 22， lim10 ， lim202xxxxx因此由极限四则运算法则可知lim211lim 2lim1lim22002xx2xx2xxxx（7） limx212x2x1x当 x时，分子，分母，因此该极限为

3、型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是x2 ，再利用极限四则运算法则，可知：x2111lim1 lim1101x2x2limlimxx21 111x2x x 1x2lim 2lim20022lim2xxxxxxx（8） limx2xx43x21x当 x时，分子，分母，因此该极限为型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是x4 ，再利用极限四则运算法则，可知：x2x11lim1lim100x2x3x2x3xxlimlim0x43x21113110xx13lim1limlim0x2x4x24xxxx（ 9） limx26 x8x25x4x 4x 4 代入到解析式中，分子为 0，分母为 0. 因

4、此该极限为 0 型，因式分解，可得02x 2 x 4lim x6x 8lim x 2 4 22limx 4 x25x 4x 4 x 1 x 4x 4 x 1 4 13（ 10） lim 1121xx2x由于 lim 111， lim 21xx22xx因此由极限四则运算法则可知lim1121= lim11lim211 2222xxxxxxx（ 11） lim111.1242nnSna11qn（等比数列求和公式为1， a1 为首项， q 为公比）q1n1111121.121n14n1122122l i m11.1l i m 21l i m1221n1nnnn 1n24222（ 12） lim123

5、 .( n1)2nn（等差数列求和公式为Sn a1an）n21 23. (n 1)n 1 n1n222123.( n1)n21lim2lim22nnnn2（ 13） limn1n2n35n3nl i mn 1 n 2 n 31n 1 n 2 n 31 n 1n 2n 3 115n35 nl i mnn5 nl i ml i ml i m1 1 1nnn nn nn 551 3（ 14） limx 1 1 x1 x3lim13limx2x 13（通分）x 1 1 x1 x3x 11 x3limx2x32（整理）x11xlimx1x21x1xx2x1limx2（因式分解，消去公因子）1xx2x13

6、13第二题 计算下列极限1. limx32x2x22x2由于 limx220 ，因此，该极限不能利用商的极限运算法则。x222x2limx20但由于 limx 202x2lim x32x288x2 x3x2因此由无穷小与无穷大的关系定理可知：limx32x22x 2 x22. limx22x1x由于 lim2x1 不存在，因此该极限不能利用商的极限运算法则.x但由于 lim 2 x1212limxx20xxx1因此由无穷小与无穷大的关系定理可知：x2limx2x11103. limlimx302 x3x1112xx2x2x3因此由无穷小与无穷大的关系定理可知：lim 2x3x 1x第三题1. lim x2 sin 1x 0x由于 lim sin 1 不存在，因此不能利用乘积的极限运算法则。x0x但是 lim x20，因此 x2是 x0 时的无穷小x0又因为 sin 11 ，是有界函数x因此由定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可知，lim x2 sin 10x 0x2. lim arctan xx x由于 lim arctan x 不存