高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

1、高中数学基本不等式的巧用ab1基本不等式：ab2(1)基本不等式成立的条件：a 0， b 0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号2 几个重要的不等式2 b22ab(a，bR)；(2)b a 2(a，b 同号 )；(3)ab a b 2， R)；(1)aa b2(a b(4)a2 b2ab 2(a， bR)223 算术平均数与几何平均数a b设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4 利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时， x y 有最小值

2、是 2p.(简记：积定和最小 )p2(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， xy 有最大值是 4 .(简记：和定积最大 )一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab 逆用就是2 b2ababaa b 22；2 ab(a， b 0)逆用就是 ab2(a， b 0)等还要注意 “ 添、拆项 ”技巧和公式等号成立的条件等两个变形(1)a2 b2ab 2ab(a，bR，当且仅当 ab 时取等号 )；222b2baa(2)2 2 ab1 2 1(a0，b0，当且仅当 a b 时取等号 )ab这两个不等式链用处很大，注意掌握它们三个注意(1)使用

3、基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等” 的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“ 拆”“ 拼 ”“ 凑 ”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“ 定”“ 等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1） 32 1 2（ 2）x 1yx2xyx解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知 x5 ，求函数 y4x21的最大值。44x5技巧二：凑系数例1. 当时，求 yx(82x) 的最大值。技巧三 ： 分离例 3. 求 yx27x 10 ( x1)

4、的值域。x 1。技巧四 ：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)a的单调性。xx例：求函数 yx25 的值域。x24练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .（ 1） yx23x1,( x0)（2） y 2x1, x3(3) y2sin x1 , x(0, )xx3sin x2已知 0 x1，求函数 yx(1x) 的最大值 . ； 3 0x2y x(23x) 的最大值 .，求函数3条件求最值1. 若实数满足 ab2 ，则 3a3b 的最小值是.变式：若 log 4xlog 4 y 2 ，求11x的最小值 . 并求 x, y 的值y技巧

5、六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 x 0, y0，且 191xy，求 x y 的最小值。变式： （ 1）若 x, yR 且 2xy1，求 11 的最小值xy(2) 已知 a,b, x, yR且 ab1 ，求 xy 的最小值xy2y 22技巧七、已知x， y 为正实数，且x 2 1，求 x1 y的最大值 .1技巧八：已知a， b 为正实数，2b ab a 30，求函数 y ab 的最小值 .技巧九、取平方5、已知 ，为正实数， 3 2 10，求函数3x2的最值 .x yxyWy应用二：利用基本不等式证明不等式1已知 a,b, c 为两两不

6、相等的实数，求证：a2b2c2abbcca1）正数 ， ，c满足 1，求证： (1 )(1 )(1c) 8a ba b cababc例 6：已知 a、 b、 cR ，且 abc1。求证：1111118abc应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知 x0, y0 且 191，求使不等式xym 恒成立的实数m 的取值范围。xy应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 a b 1, Plg a lg b, Q1(lg a lg b), Rlg( a b) ，则 P, Q, R 的大小关系是.22解：（ 1） y 3x 2 12 23x 2 1 26 值域为 6， +）2x2x（ 2）当 x 0 时，

7、 y x1 2x 1 2；xx111当 x0 时， y x x = （ x x） 2 x x= 2值域为（，2 2 ，+）解：因 4x5 0 ，所以首先要 “调整” 符号， 又 (4 x 2)1不是常数， 所以对 4x2 要进行拆、 凑项，4 x55, 5 4x 0 ，15 4x12 3 1xy 4 x 25344 x54 x当且仅当 54x1，即 x 1时，上式等号成立，故当x 1 时， ymax 1。4x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。注意到 2x(82x)8为

8、定值， 故只需将 yx(82x) 凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号当 x2 时， yx(82x) 的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项，再将其分离。当, 即时 , y2（x1)45 9 （当且仅当 x 1 时取“”号）1x解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x 1，化简原式在分离求最值。y2）= t25t4t45(t 1) 7(t1 +10ttt当, 即 t =时 ,y2t459（当 t =2 即 x 1 时取“”号）。t评注

9、：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ymg( x)AB( A0, B0) ，g( x) 恒正或恒负的形式， 然后运用基本不等式来求最值。g (x)解：令x24 t(t2)，则 yx25x241t1( t2)x24x24t因 t 0,t11，但 t1解得 t1 不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为 y1在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y5t。t2所以，所求函数的值域为5 ,。2分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正数，3

10、a3b 2 3a3b23ab6当 3a3b 时等号成立，由ab2 及 3a3b 得 a b1即当 ab1时， 3a3b 的最小值是 6错解 ：x0, y 0 ，且 191，x y19xy29 2xy12 故xy min 12 。xyxyxy错因：解法中两次连用基本不等式，在x y 2 xy 等号成立条件是 xy ，在 1929 等号成立xyxy条件是 19即 y9x , 取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解 ： x 0, y 0, 191， x yx y1 9y 9 x 10 6 10 1

11、6xyx yx y当且仅当 y9 x 时，上式等号成立，又191，可得 x4, y12 时， xy min16。xyxy分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a 2 b 2ab。2同时还应化简1 y 2 中 y2 前面的系数为1，x 1y 2 x2 1 y 2 2x1y 222221 y 2下面将 x，2分别看成两个因式：2x2 (1y 2)2x2y 21x1y 22 22 23即 x1 y2 2 x1 y 232 222 42 2 42分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接

12、用基本 不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。30 2b30 2b 2 b 2 30b法一： a b1，ab b 1bb 1由0得， 0 15ab令tb+1， 1 16， 2t2 34t 31 2（t 16） 3416 2t16 8tabttttt 18y1当且仅当t 4，即 3， 6 时，等号成立。ab18ba法二：由已知得： 302 a2 22ab 30 22abababbab令 ab则u22 2300， 5 2 3 2uuu1 ab 32 ，ab 18， y 18点评： 本题考查不等式abab（

13、a, bR）2的应用、 不等式的解法及运算能力； 如何由已知不等式 aba2b30R ）出发求得 ab 的范围， 关键是寻找到 a b与 ab 之间的关系， 由此想到不等（a, b式 ababR ），这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围 .（a, b2变式： 1. 已知 a0，b0， ab ( a b) 1，求 a b 的最小值。2. 若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。a ba2 b2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2，本题很简单23x 2y2（3x ） 2（2y ） 2 23x 2y 25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过

14、平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 0，23 2y 2 3x 2y102 3 2y10 ( 3x) 2 (2y)2 10 (3x 2y) 20WW xx W 202 5变式 :求函数 y2 x152 x( 1x5 ) 的最大值。22解析：注意到 2x1与 52x 的和为定值。y 2( 2 x 152 x )24 2 (2 x 1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y 0 ，所以 0y22当且仅当 2x 1 =52x，即 x3故 ymax2 2 。时取等号。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。分析：不等式右边数字8 ，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2 ”连乘，又111 ab c2 bc，可由此变形入手。aaaa解：a、b、cR， abc1。111abc2