北航机械考研971972动力学课后答案概6

1、机械振动基础当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化时，称之为振动。振动是社会生活和工程问题中普遍存在的一种现象，力学和机械系统中的振动称为机械振动。在研究一个具体的力学或机械系统的振动时，常常将系统抽象为较简单的力学模型，利用力学理论建立系统的运动方程，然后利用数学工具求解，分析结果并与实验结果进行比较。机械振动理论作为动力学的一个专题，现已发展成为一个独立的分支学科。在理论力学中仅仅限于介绍一些振动理论中常用的方法及对一些振动现象作简单讨论。一、线性振动系统的弹簧-质量模型在力学系统中，产生振动的基本要素是有质量的物体和产生弹性恢复力的元件。所以在机械振动研究中，都是将系统抽象成弹簧-

2、质量模型。二、 弹簧质量系统的自由振动系统受初始扰动，仅在恢复力作用下产生的振动称为自由振动。如果将坐标原点取在系统的静平衡位置，单自由度系统的振动微分方程都可以写成如下标准形式： (13-1)对于弹簧-质量系统，其中m是物块的质量，k是弹簧的刚度系数，称为系统的固有频率，写出系统的标准振动(微分)方程（131），就可以求解出系统的固有频率。由常微分方程理论，上述方程有如下形式的解： (13-2)其中是积分常数，由运动的初始条件(也称初始扰动)确定。显然，系统的运动是以静平衡位置为中心的简谐运动。值得一提的是，如果坐标原点不是取在系统的静平衡位置，则系统的运动微分方程会略为复杂一点，但最终得出

3、的解仍然表示系统以静平衡位置为中心作简谐振动。所以系统的运动规律与坐标系的选取无关。不过，在机械振动理论中，不论是单自由度，还是多自由度或连续体，一般都是取系统的静平衡位置为坐标原点，这样选取可使得方程和解的表达式较简洁。三、振动系统的特征量周期：系统振动一次所需的时间，记为T，其单位是秒(s)。频率：每秒内振动的次数，记为，其单位是赫兹(Hz)，1Hz表示每秒振动一次。振幅：系统偏离静平衡位置的最大距离，此处记为A。相位：称为相位，它决定了系统在瞬时t的状态(位置)。是瞬时t=0的相位，称为初相位。系统的自由振动有以下特点：系统自由振动的角频率、频率和周期完全决定于系统的结构参数(对于质量-

4、弹簧系统，是质量块的质量和弹簧的刚度系数)，而与运动的初始条件无关。因此，又称为系统的固有频率。系统自由振动的振幅与初相位则与运动的初始条件有关。四、单自由度质点系的微幅自由振动一个在势力场中的单自由度质点系以稳定平衡位置为中心作微幅自由振动时。其运动微分方程可由拉格朗日方程导出。取广义坐标为x，在经过线性化后，方程有如下形式： （133）其中：称为等效质量，称为等效刚度系数。记：，则方程就完全等同于单自由度的质量-弹簧系统。所以一个保守力场中的单自由度质点系在稳定平衡位置的微幅自由振动可以等效化成质量弹簧力学模型。五、单自由度系统的阻尼振动考虑一类粘滞阻力(也称线性阻力)，即阻力大小与速度成

5、正比，方向与速度方向相反，表示成数学形式则为：。其中常数c称为粘阻系数，值与介质和振动系统的几何形状有关，可由实验确定。单自由度粘滞阻力系统的阻尼振动模型可简化为一个带阻尼的质量-弹簧振子。以静平衡位置为坐标原点，运动微分方程为 (134)其中：称为阻尼系数。该方程为单自由度系统阻尼振动的标准形式。由微分方程理论知道，上述方程的解具有如下三种形式：(1) 当 (欠阻尼)时： 其中是积分常数，由运动的初始条件确定。从解的形式可以看出，欠阻尼情况下的系统运动是一种振幅衰减的振动，幅值随时间按指数规律减小；振动频率为，它小于系统固有频率。阻尼振动的周期严格说来，衰减振动不是周期运动。由于位移-时间图

6、上的两个相邻波峰的间隔时间相等，所以习惯上仍将该时间间隔称为衰减振动的周期，其值为：。当时，可近似认为：。 (2) 当 (过阻尼)时：(3) 当 (临界状态)时：对于后面的这两种情况，系统的运动已没有往复性，随着时间的延续，系统渐趋向平衡位置。六、单自由度系统的无阻受迫振动对于正弦型干扰力，系统不存在(或不计)阻力时，受迫质量弹簧系统的运动微分方程为 (13-5)式中：。由线性微分方程理论知，该方程的解是其齐次方程的通解和非齐次方程的特解的迭加。方程的通解为 (13-6)其中是积分常数，由初始条件决定。对解稍作分析就可以看出，系统的运动是两部分的合成。第一部分是以系统的固有频率所作的振动，且振

7、幅和相位由系统的初始条件确定，称为自由振动项；第二部分以激励频率振动，称为受迫振动项。振动研究中一个倍受关注的问题就是受迫振动项的振幅与激振频率的关系。受迫振动项的振幅与激振频率的关系曲线称为幅频特性曲线。不难看出，当系统的固有频率与激振频率很接近时，受迫振动项的振幅会变得很大。我们将时的振动称为共振。共振时，方程的通解为： (13-7)可以看出，受迫振动项的振幅随时间不断增大，这将引起系统的毁坏。在实际问题中总是存在阻尼的，阻尼会限制振幅的无限制增大。另外，当振幅较大时，会产生非线性效应，这些都会限制振幅的无限制增大。七、单自由度系统的有阻受迫振动在粘滞阻尼的情况下，系统强迫振动的运动微分方

8、程为 (13-8)仍然考虑小阻尼的情况，该方程通解为 (13-9)其中，是积分常数，由初始条件决定。解中的第一部分称为衰减振动，即它会随时间很快衰减掉(如果是临界阻尼或大阻尼情况，这一部分会衰减得更快)。剩下的第二部分为受迫振动。由于阻尼存在，受迫振动的振幅不再无限增大。不难看出，当阻尼增大时，振幅显著下降。在阻尼存在时，当时，振幅具有极大值，所以对于有阻尼的受迫振动，共振频率是。如果阻尼很小，仍可近似地认为共振频率为。八、隔振与减振研究振动的主要目的是消除或减轻振动的危害，工程上常用隔振或减振措施。隔振是将振源与需要防振的设备用隔振器隔离。如果被隔离的是振源，称之为主动隔振；如果被隔离的是设

9、备，称之为被动隔振；减振是指减小干扰力的力幅或受迫振动的振幅，这可通过消除或减弱振源、调整固有频率以避免在共振区内工作或增大阻尼等措施来实现。九、二自由度系统的线性自由振动对于多自由度质点系，通常是利用拉格朗日方程来列写系统的运动微分方程。二自由度线性系统的自由振动模型可以等效成二自由度的质量-弹簧系统。其运动微分方程为： (13-10)设该方程的解具有形式将其代入方程，可得： （13-11）该方程具有非零解的条件是： （13-12）这就是特征方程，也称频率方程。从特征方程中可以解出，代回方程（13-11）再解出与之比。称为系统的固有频率，称为系统的固有振型(或模态)，通常取。对于二自由度系统

10、，由线性代数理论，有如下的结果：(1) 系统有两个固有频率；(2) 对于每个固有频率，都对应有一个振型；(3) 固有频率和振型取决于系统的参数，与初始条件无关；(4) 如果两个固有频率重合：，则对应于该固有频率就有两个不同的振型；(5) 如果是运动方程的解，则也是方程的解。综上所述，再由线性方程的解的叠加性，可以得到二自由度线性振动的通解：其中是积分常数，由初始条件确定。以上结果可以推广到多自由度线性系统。思考题与习题（机械振动基础） 13-1. 总结建立振动方程的方法与求系统的固有频率的方法。13-2 对有限自由度系统的微幅振动，在进行线性化时有两种方式。我们在例13-3中已展现了这两种方式：一种是先对拉格朗日函数作近似，然后代入拉格朗日方程；还有一种方式是先利用拉格朗日方程写出运动方程，然后再作近似。两种方式的得出的方程一定相同吗？13-3 验证：对于单自由度系统的阻尼振动，对于过阻尼状态和临界状态，系统至多只能在平衡位置往复一次。13-4 质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆(如图所示)。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量。求摆作微幅摆动的周期。 题