结构化学练习之量子力学基础习的题目附参考问题详解

1、实用标准文案量子力学基础习题一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_ 。1102、德布罗意关系式为_ ；宏观物体的值比微观物体的值_ 。1103、在电子衍射实验中， 2 对一个电子来说，代表_ 。1104、测不准关系是_ ，它说明了 _ 。1105、一组正交、归一的波函数1，2，3， 。正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、( x1， y1， z1， x2， y2， z2) 2 代表 _ 。1107、物理量xpy - ypx 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_。1108、质量为m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，(1) 体系哈密顿算符的

2、本征函数集为_ ；(2) 体系的本征值谱为 _ ， 最低能量为 _ ；(3)体系处于基态时，粒子出现在0 l /2 间的概率为 _ ；(4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长_；(5)若该粒子在长l 、 宽 为 2l的长方形势箱中运动，则 其本征函数集为_ ，本征值谱为 _ 。1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数211( x， y， z)=_ ； 当 粒 子 处 于 状 态211时，概率密度最大处坐标是_ ；若体系的能量为7h 2，其简并度是 _ 。24ma1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E= 3h2 2的简并度是 _，4ma2

3、7h2的简并度是 _。E'=8ma2精彩文档实用标准文案m1m21111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为=的一维谐振子，其势能为m1 m2=2/2 ，它的薛定谔方程是 _ 。V kx1112、1927 年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的 K 线 ( 波长为 154 pm的单色 X射线 ) 产生的衍射环纹相同，电子的能量应为 _J 。1113、对于波函数j 、 j ，其归一性是指，正交性是指。?或满足,?1114、若算符 F 满足则算符F为厄米算符 。1115 、一个质量为m 的微观粒子在箱长为a的一维势箱中运动时，体系的势

4、能为，体系的零点能为。1116、质量为m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，(1) 体系哈密顿算符的本征函数集为 _ ；(2) 体系的本征值谱为 _，最低能量为 _ ；1117、质量为 m 的粒子被局限在边长为a的立方箱中运动。波函数211( x， y， z)=_ ； 当 粒 子 处 于 状 态211时，概率密度最大处坐标是_ ；若体系的能量为7h 2，其简并度是 _ 。24ma1118、对于立方箱中的粒子，考虑E< 15h2/(8ml2) 的能量范围。在此范围内有个态？在此范围内有个能级？1119、对氢原子 1s态：(1)2 在 r为 _处有最高值；(2)径向分布函数 4 r 2

5、2在 r为 _处有极大值；(3)电子由 1s态跃迁至 3d态所需能量为 _ 。1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出级？在此范围内有个状态？E15h22 的能量范围，在此范围内有个能8m a精彩文档实用标准文案二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：-()(A) Einstein(B) Bohr(C) Schrodinger(D) Planck1202 、 任 一自 由 的 实 物 粒 子， 其 波 长 为 ， 今 欲 求 其能 量 ， 须 用 下 列哪 个 公 式-()(A)Eh c(B)Eh22m 2(C)Ee(12.25)2(D) A

6、，B， C 都可以1203、下列哪些算符是线性算符-()(A)d(B)2dx(C)用常数乘(D)1204、下列函数中(A) coskx(B) e-bx(C) e-ikx(D)e kx2(1)哪些是d的本征函数；dx-()(2)哪些是的d2本征函数；dx 2-( )(3)哪些是d2和d的共 同本征函数。dx 2dx-()1205、线性算符R?具有下列性质R?( U + V ) =R? U+ R? VR? ( cV) =c R? V式中c为复函数，下列算符中哪些是线性算符？精彩文档实用标准文案-( )(A)?=常数A U= U，(B)?B U=U*(C)?2C U=U(D)?dUD U =dx(E

7、)E UU?=1/1206、电子自旋存在的实验根据是：-( )(A)斯登 -盖拉赫 (Stern-Gerlach)实验(B)光电效应(C)红外光谱(D)光电子能谱1207、一个在一维势箱中运动的粒子，(1)其能量随着量子数n 的增大： -( )(A)越来越小 (B)越来越大 (C)不变(2)其能级差n+1-n 随着势箱长度的增大：-()EE(A)越来越小 (B)越来越大 (C)不变1208、立方势箱中的粒子，具有E=12h 2的状态的量子数。n n n是-()28maxy z(A) 211(B)2 3 1(C) 222(D) 2131209、处于状态( x)=sinx 的 一维势箱中的粒子，出

8、现在x= a 处的概率为 -a4( )(A)P=(a ) = sin(· a ) = sin=24a442(B)P=(2(D)P=aa4)2=1(C)P=2( a ) =12a4a(a) 2=14a(E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对精彩文档实用标准文案1210、在一立方势箱中，7h 2的能级数和状态数分别是( 势箱宽度为l ，粒子质量E24m l为m)：-()(A) 5，11 (B) 6， 17(C) 6， 6(D) 5，14 (E) 6， 141211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选 )-（）(A) 光电流大小与入射光子能量成正比(B) 光电流大小与入射光子频率

9、成正比(C) 光电流大小与入射光强度成正比(D) 入射光子能量越大，则光电子的动能越大1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：-（）(A) de Br?glie(B) A. Einstein(C) W. Heisenberg(D) E. Schr? dinger1213 、 微 粒 在 间 隔 为 1eV应的 二 能 级 之 间 跃 迁 所 产 生 的 光 谱 线 的 波 数 v为： -（）(A) 4032 cm-1(B) 8065cm-1(C) 16130cm-1(D) 2016cm-1(1eV=1.602× 10-19 J)1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的

10、数值是：-（）(A) 6.02× 10-23 尔格(B) 6.625× 10-30 尔格·秒(C) 6.626× 10-34 焦耳·秒(D) 1.38× 10-16 尔格·秒1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：-（）(A)薛定谔(B)狄拉克(C)海森堡(D)波恩1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择 )：-（）精彩文档实用标准文案( ) 电子自旋 ( 保里原理 )( ) 微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征( ) 描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的( ) 微观体系的力

11、学量总是测不准的，所以满足测不准原理1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：-（）(A)由经典的驻波方程推得(B)由光的电磁波方程推得(C)由经典的弦振动方程导出(D)量子力学的一个基本假设1218、一电子被1000V 的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？（ A） X 光区（ B）紫外区（ C）可见光区（ D）红外区1219、由戴维逊革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d 为 104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为45o ，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V）？-()（A）<10（B）25（C）70（D）150122

12、0、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n，下面论述正确的是？（ A）可取任意整数（ B） 与势箱宽度一起决定节点数（ C） 能量与 n2 成正比例（D） 对应于可能的简并态三、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画，错误的题号后画×）1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。1302、波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的。1303、任何波函数( x， y， z， t ) 都能变量分离成( x， y， z) 与( t ) 的乘积。1304、=cosx， px 有确定值，p2x 没有确定值，只有平均值。1305、一维势箱中

13、的粒子，势箱长度为 l ， 基态时粒子出现在x=l /2 处的概率密度最小。1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。精彩文档实用标准文案1308、光照射到金属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。四、简答题1401、对一个运动速率v<<c 的自由粒子，有人作了如下推导：hhE1mvpmvvv2ABCDE

14、结果得出 11 的结论。问错在何处？说明理由。21402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？1403、被束缚在0<x<a 区间运动的粒子，当处于基态时，出现在 0.25 a x 0.7 a 区间内的概率是多少？1404、一维势箱中一粒子的波函数n( x)=(2/l ) 1/2 sin( nx/ l ) 是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。（ A）p xp?xx? =( h / 2 ) 2d 2（）2（）（）H2?2mdx1405、说明下列各函数是? 2? z三个算符中哪个的本征函数？H， M ，M2pz，2px 和2p11406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为2

15、sin n x ， a 为势箱的长度，试问当aa粒子处于 n=1 或 n=2 的状态时，在 0 a/4 区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，n 取几时更大一些，请通过计算说明。3?2d2cos d(2) 的本征函数，若是，本征1407、 5cos 3cos是否是算符 Fdsin d值是多少？精彩文档实用标准文案1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道1,2 ,3 是已归一化的）a.112b.1241212231409、已知一函数f ( x)=2e 2x，问它是否是p?x 的本征函数？相应的本征值是多少？1410、有一粒子在边长为a 的一维势

16、箱中运动。(1) 计算当 n=2 时，粒子出现在 0 x a/4 区域中的概率；(2) 根据一维势箱的 2 图，说明 0x a/4 区域中的概率。五、证明题1501、已知一维运动的薛定谔方程为:h2d2+V（ x） =E82m dx21 和2 是属于同一本征值的本征函数，证明 :1d 2-2d 1=常数dxdx1502、试证明实函数2 ()=(1/) 1/2 cos2 和 2 ()=(2/) 1/2 sin2 cos 都是 方程d 2d2 +4( )=0的解。1503、证明函数 x+i y，x-i?的本征函数， 相应的本征值是多少？y 和 z 都是角动量算符 M z1504、已知有2n 个碳原

17、子相互共轭的直链共轭烯烃的分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为E =k 2 h 2k=1， 2， ， 2nk8mr2 (2n1) 2其中， m是电子质量， r 是相邻碳原子之间的距离，k 是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带( 即电子基态到第一激发态的激发跃迁) 波长 与 n 成线性关系。 假定一精彩文档实用标准文案个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l ，而此台阶位于l /2 l 之间。1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。1506、证明厄米算符的本征值是实数。?是厄米算符，证明?2也是厄米算符。1507、已知 A和 B( A+ B) 和 A 11 2

18、1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数cos是三维2空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。2212( r 211 22已知r)r2(sin )r22) 。2mrrsin sin 1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数 11 2cossin e i是在三维空间中运动的自由粒子（势能 V=0）的薛定谔方程2的解，并求粒子的能量。2 1211 22已知2(r 2)2(sin )r22) 。2mrrr rsin sin 1510、证明波函数 11 2cossin e i是角动量平方的本征函数，并求粒子的2角动量。已知角动量平方算符?

19、 222cos 12。(22 )Msin 2sin 六、计算题1601、波长 =400 nm的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯的临阈波长为600 nm。1602、光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少？(1 eV=1.602× 10-19 J， 电子质量e=9.109 × 10-31kg)m1603、设体系处在状态=c1211+ c2210中， 角动量 M 和 M 有无定值。其值为多少？2z若无，则求其平均值。精彩文档实用标准文案1604、函数( x)= 22 sin x - 32

20、sin 2 x 是不是一维势箱中粒子的一种可能aaaa状态？ 如果是， 其能量有没有确定值 ( 本征值 ) ？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？1605、在长为l 的一维势箱中运动的粒子，处于量子数为n 的状态，求：(1) 在箱的左端 1/4 区域内找到粒子的概率；(2) n 为何值时， 上述概率最大？(3) 当 n时， 此概率的极限是多少？(4) (3)中说明了什么？1606、(1)写出一维简谐振子的薛定谔方程；(2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是20= () 1/4 exp-2x2/2此处，=(42k / h2) 1/4 ，试计算振子处在它的最低能级时的能量

21、。(3)波函数在 x 取什么值时有最大值？计算最大值处2 的数值。1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l =100nm，计算量子数为n 时的 de Broglie波长以及n=1 和 n=2 时氢分子在箱中49nm到 51nm之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m1 和 m2 的质点， 用长为 R的、没有质量的棒连接着，构成一个刚性转子。(1) 建立此转子的 Schr ? dinger 方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数；(2) 求该转子基态的角动量平均值。已知角动量算符?h。M= M z=-i216

22、09、氢原子中， 归一化波函数：（和都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a）R；能量出现的概率是（ b）；角动量平均值是（c） ；角动量出现的概率是（ d）；角动量 Z分量的平均值是（e）；角动量 Z 分量出现的概率是（ f ）。精彩文档实用标准文案1610、已知类氢离子的某一状态波函数为：则（ a）此状态的能量为；（ b）此状态的角动量的平方值；（ c）此状态角动量在Z 方向的分量为； （ d）此状态的值分别为；(e) 此状态角度分布的节面数为；2125、多电子原子的一个光谱支项为3D2， 在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨道角动量等于（ a）； 原子总自旋角动量等于（ b）；原

23、子总角动量等于（ c）； 在磁场中 ， 此光谱支项分裂出（ d）个蔡曼 ( Zeeman ) 能级 。2403、一个电子主量子数为4 ， 这个电子的l ， m， ms 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？量子力学基础习题参考答案1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、 E=hp=h/1102、hh , 小pmv1103、电子概率密度1104、x· pxh2精彩文档实用标准文案微观物体的坐标和动量不能同时测准,其不确定度的乘积不小于h 。*21105、(a)id= 0,i ji(b)*i d= 1i1106、电子 1 出现在 x1, y1, z1,同时电

24、子2 出现在 x2,y2,z2 处的概率密度1107、-i· h(xy-y)2x1108、(1)=2 sinn xn=1, 2, 3,ll(2)E =n 2h 2;h2(3)1/28ml28ml2(4)增长(5)=2sinnxx2nyyllsin2l2lE =nx2h 2+n y2h 28ml28m(2l ) 21109、(1)211( x, y, z) =8 sin2x siny sinza 3aaa(2)(a/4,a/2,a/2) (3a/4,a/2,a/2)(3)61110、3, 4h2212E1111、8 22 k x1112、T =p21h 2-17J2m2m=1.016

25、× 101113、(*jd， ij ）*jd0， ij）i1（i*)*1*1114、（Fd( Fd ）（F2 d(F 1)2 d ）h21115、零，8m a21116、(1)=2 sin n xn=1, 2, 3,l l(2)E = n2 h2;h28m l28m l2精彩文档实用标准文案1117、 (1)211( x, y, z) =8sin 2x siny sinza3aaa(2) (aaaaaa/4,/2,/2) (3/4,/2,/2)(3) 61118、17， 51119、(1) O 或核附近(2) a0 或 52.3 pm(3) 8× 13.6/9 eV2112

26、0、E =( n2n 2n 2 )hxyz8ma2共有 17 个状态 ,这些状态分属6 个能级。1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）1201、(D)1202、（ B）1203、(D)1204、(1) B, C(2) A, B, C(3) B, C1205、(A), (D)1206、(A)1207、(1) B(2) A1208、（ C）1209、（ E）1210、（ B）1211、(C),(D)1212、(A)1213、（ B）1214、(C)1215、(C)1216、(A) ,(B)1217、(D)1218、(A)1219、(C)1220、(C)1300、判断题（对判断给出

27、的命题的对错，正确的题号后画，错误的题号后画×）精彩文档实用标准文案1301、×1302、×1303、×1304、×1305、×1306、×1307、×1308、×1309、1310、×1400、简答题1401、A,B 两步都是对的, A 中 v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u, C 中用了= v/, 这就错了。 因为 = u/ 。又 D中 E=h12是粒子的总能量 , E 中 E=mv 仅为 v<<c 时粒子的动能部分 , 两个能量2是不等的。所以 C,E都错。

28、1402、(1)单值的。(2) 连续的 , 一级微商也连续。(3) 平方可积的 , 即有限的。1403、P=0 .75 a 20 .25 a1404、(A).a不是(C).不是sin2 (x ) d x= 0.5+1= 0.818a(B).是 , 本征值为 n2h2/(4l 2)(D).是 , 本征值为 n2h2/(8ml2)pzp0?21405、 22, ?共同的本征函数是H, ?MM z?22px 为共同2 p1 和 2 p 1 的线性组合 , 是 H, ?M的本征函数2p1是 ? 2?共同的本征函数H, M, M z2a/ 42n x2 a/ 42 n x=sindxsin1406、P0aaa 0adx=11sin n42n2n=1， P= 1142nn=2， P= 1 .4精彩文档实用标准文案n=2 时，粒子出现在0 a/4 区间概率更大些。1407、 d cossin dd 2cos2 cosddcos3 3sin cos2 dd22 cos3 3cos3 6sin 2 cosd?3F 5 cos 3cos=215cos3 30sin2 cos 3cos 15 cos3 3cos2 30 cos3 30sin 2 cos 6 cos230 cos3 30cos3 30cos3 30 sin2 c