等腰直角三角形模型、三垂直模型

1、实用标准文案全等三角形的经典模型（一）题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（ AC=BC或 90°，45 ，45）. 如图 1；常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图 2；补全为正方形 . 如图 3，4.CC45°45°BAABD图 1图 2图3图4精彩文档典题精练【例 1】 已知：如图所示，Rt ABC中， AB=AC，BAC90°，O为 BC的中点，写出点 O到 ABC的三个顶点 A、 B、 C 的距离的关系（不要求证明）如果点 M、 N分别在线段AC、 AB上移动，且在移动中保持AN=CM.

2、试判断 OMN的形状，并证明你的结论.如果点 M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持BONAN=CM，试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明【解析】 OA=OB=OC连接 OA, OA=OCBAOC 45 ° AN=CM ANO CMO ON=OM NOAMOC NOABONMOCBON 90 NOM 90AC MBONAC M OMN是等腰直角三角形 ONM依然为等腰直角三角形，证明： BAC=90°， AB=AC， O为 BC中点N BAO= OAC= ABC=ACB=45°， AO=BO=OC，在和中，BANOCMOAN CMOBAOC

3、AOCO ANO CMO（ SAS） ON=OM， AON= COM，又 COM AOM=90°， OMN为等腰直角三角形【例 2】 两个全等的含30 ， 60 角的三角板ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在一条直线上，连接BD ，取 BD 的中点 M ，连接 ME ， MC 试判断 EMC 的形状，并说明理由【解析】 EMC 是等腰直角三角形证明：连接AM 由题意，得DEAC ,DAEBAC90 ,DAB90. DAB 为等腰直角三角形. DMMB，MACMBDEACMBDEAC实用标准文案MAMBDM,MDAMAB45MDEMAC105 ， EDM C

4、AM EMMC,DMEAMC 又EMCEMAAMCEMADME90 CM EM， EMC 是等腰直角三角形【例 3】 已知：如图， ABC 中， ABAC ， BAC90°， D 是 AC 的中点， AFBD于 E，交 BC 于 F ，连接 DF 求证：ADBCDFA作 ANB【解析】 证法一：如图，过点BC于N，交 BD于MABAC，BAC，90 °3DAM45°C，3C45 ° AFBD ，1BAE90 °BAC90 °，2BAE 90° 12 在 ABM和 CAF 中，121ABACB3C ABM CAF AMCF 在

5、 ADM和 CDF中，ADCDDAMCAMCF ADM CDFADBCDF 证法二：如图，作CMAC 交 AF 的延长线于 M AFBD，3，2 90° BAC 90 °， 12 90°，133在 ACM和BAD 中，B13ACABACMBAD90° ACM BAD MADB， AD CMADDC，CMCD在 CMF 和 CDF 中，AEFA32DMENFA21DEFMDCCC精彩文档CFCFMCF°DCF 45CMCD CMF CDF MCDF ADBCDF 【例 4】 如图，等腰直角 ABC 中， ACBC ， ACB90°， P

6、 为 ABC 内部一点，满足PBPC ，APAC ，求证：BCP 15 ADAPPBCBC【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP，易证 ADP 是等边三角形，DAP60，BAD 45 ，BAP15，PAC 30，ACP75，BCP15【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题， 若遇到不易解决或解法比较复杂时， 可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例 4 为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选 1】如图， Rt ABC中， BAC=90°， AB

7、=AC， M为 AC中点，连结BM，作 ADBM交 BC于点 D，连结 DM，求证 : AMB=CMDAAEMEMBCB1CDD2NF【解析】 作等腰 Rt 关于对称的等腰 Rt ，延长交于点，ABCBCBFCADCFN ，由正方形的性质，可得=，AN BMAN BM易证 Rt ABM Rt CAN， AMB= CND， CN=AM，实用标准文案 M为 AC中点， CM=CN， 1= 2，可证得 CMD CND， CND= CMD， AMB= CMD【探究二】判定三角形形状【备选 2】如图， Rt ABC中， BAC= 90°， AB=AC， AD=CE， AN BD于点 M，延长

8、BD交 NE的延长线于点 F，试判定 DEF的形状FFAADDMMEEBCBCNNKH【解析】 作等腰 Rt ABC关于 BC对称的等腰Rt BHC，可知四边形ABHC为正方形，延长AN交 HC于点 K， AKBD，可知 AK=BD，易证 :Rt ABD Rt CAK， ADB= CKN， CK=AD， AD=EC， CK=CE，易证 CKN CEN， CKN= CEN，易证 EDF= DEF， DEF为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图， Rt ABC中， A=90°， AB=AC， D为 BC上一点， DE AC， DF AB，且 BE=4，CF=3，求 S矩

9、形 DFAEBGNBDEMDECFACFA【解析】 作等腰 Rt ABC关于 BC的对称的等腰Rt GCB，可知四边形为正方形，分别延长、交、于点、 ，ABGCFDEDBG CGN M可知 DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知 S=S=DM·DN=3 4=12矩形 DFAE矩形 DMGN【探究四】求线段长【备选 4】如图， ABC中， AD BC于点 D， BAC=45°， BD=3， CD=2，求 AD的长精彩文档AAFECBCDBDG【分析】 此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐， 本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但=4

10、5°，若分别以、为对称轴作 Rt ADBBACABAC的对称直角三角形和Rt ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形【解析】以 AB为轴作 Rt ADB的对称的 Rt AEB，再以 AC为轴作 Rt ADC的对称的 Rt AFC可知 BE=BD=3，FC=CD=2，延长 EB、 FC交点 G， BAC=45°，由对称性，可得EAF=90°，且 AE=AD=AF，易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，设 AD=x，则 BG=x 3， CG=x 2，在 Rt BCG中，由

11、勾股定理，得22x 2x 352 ，解得 x=6，即 AD=6【探究五】求最小值【备选 5】如图， Rt ABC中， ACB=90°， AC=BC=4，M为 AC的中点， P为斜边 AB上的动点，求 PM+PC的最小值AADPPMMCBCB【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt 关于AB对称的 Rt，可知四ACBADB边形 ACBD为正方形，连接CD，可知点 C关于 AB的对称点D，连接 MD交 AB于点 P，连接 CP，则 PM+PC的值为最小，最小值为: PM+PC=DM=2242 25实用标准文案题型二：三垂直模型常见三垂直模型例题精讲【引例】已知 AB BD，

12、ED BD， AB=CD， BC=DE，求证： ACCE；若将 CDE沿 CB方向平移得到等不同情形，ABC1D ，其余条件不变，试判断 AC C1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由 .EEEEAAAAEA12BCDBC1CDB C1D(C)BC1DCC1BDC【解析】 ABBD， EDBDBD90在ABC 与CDE 中ABCDB D BC DE ABC CDE （ SAS） 1E2E90 ACE 90 , 即 AC CE图四种情形中，结论永远成立，证 明方法与完 全类 似， 只要证明 ABC C1DE ACBC1ED精彩文档C1 EDDC1 E90DC1EACB90

13、 AC C1E典题精练【例 5】 正方形 ABCD 中，点 A 、 B 的坐标分别为0，10 ， 8，4 ，点 C 在第一象限求正方形边长及顶点 C 的坐标（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 .）yDyDCCAA213FBEBOxxOG【解析】 过点 C作 CG x 轴于 G，过 B 作 BE y 轴于 E，并反向延长交CG于 F点 A 、 B 的坐标分别为0，10， 8，4 BE=8， AE=6， AB=10四边形 ABCD是正方形， AB=BC1390239012AEBBFC90 AEB BFC CF=BE=8， BF=AE=6 CG=12 EF=14 C(14

14、， 12) ，正方形的边长为10【点评】 此题中三垂直模型：【例6】如图所示，在直角梯形 ABCD 中，ABC90， AAD BC ， ABBC ， E是 AB 的中点， CEBD 求证： BEAD ；E求证： AC 是线段 ED 的垂直平分线； DBC 是等腰三角形吗？请说明理由B【解析】ABC 90 ， BDEC ， ECBDBC90 ， ABDDBC90，ECBDMCABD ，实用标准文案 ABCDAB90 ，ABBC ， BAD CBE ， ADBE E 是 AB 中点， EB EA由得： AD BE ， AEAD ADBC ，CADACB 45 ， BAC45 ，BACDAC由等腰三

15、角形的性质，得：EM MD ，AM DE即 AC 是线段 ED 的垂直平分线 DBC 是等腰三角形， CD BD由得： CDCE ，由得：CEBD CDBD ， DBC 是等腰三角形巅峰突破【例 7】 如图 1，是等边三角形，、E分别是、上的点，且= ，连接、ABCDABBCBD CEAE CD相交于点 P请你补全图形，并直接写出APD的度数 =；如图 2， Rt ABC中， B=90°， M、 N分别是 AB、 BC上的点，且 AM=BC、BM=CN，连接 AN、 CM相交于点 P请你猜想 APM=°，并写出你的推理过程CCPNABABM图1图2C【解析】 图略， 60&

16、#176; 45°证明：作 AE AB且 AECNBM .EPN可证 EAM MBCME MC， AMEBCM .ACMBMCB 90 ,CMBAME 90 .MBEMC90 . EMC 是等腰直角三角形 , MCE45 .又 AEC CAN（ SAS） ECANAC. EC AN. APMECM 45 .精彩文档实用标准文案复习巩固题型一等腰直角三角形模型巩固练习【练习 1】 如图， ACB、 ECD均为等腰直角三角形，则图中与CBDC全等的三角形为_.【解析】 AECEADB【练习 2】 如图，已知Rt ABC 中ACB90°， ACBC ， D 是BC 的中点，CEA

17、D ，垂足为E BF AC ，交 CE 的延长线于点F 求证：AC2BF 【解析】 ACB90°， BF AC ， ACDCBF 90°，ADCCAD90° CE AD，FCBADC90°，CADFCB 又 ACCB， ADC CFB DC FB D是BC的中点， BC 2BF ，即AC 2BFCDEABF题型二三垂直模型巩固练习【练习 3】 已知：如图，四边形ABCD是矩形（ AD AB），点 E 在 BC上，且 AE =AD， DF AE，垂足为 F请探求 DF与 AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明【解析】 经探求，结论是： DF = A

18、BAD证明如下：四边形 ABCD是矩形， B= 90 ， ADBC，BF DAF= AEBEC DF AE， AFD= 90 ， AE= AD， ABEDFA AB= DF【练习 4】 如图， ABC 中， ACBC ，BCA90°， D 是 AB 上任意一点，AECD 交 CD 延长线于E， BFCD 于 F 求证： EFBFAE 【解析】 根据条件，ACE 、CBF 都与BCF 互余，ACECBF AEDFCB精彩文档在 ACE 和 CBF 中，ACCB ，AECCFB90°， ACECBF 则CE BF，AE CF，EFCECFBFAE【练习 5】 四边形 ABCD是

19、正方形如图 1，点 G是 BC边上任意一点( 不与 B、C两点重合 ) ，连接 AG，作 BF AG于点 F，于点求证：ABF；DEAGEDAE在中， 线段 EF与 AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可， 不需要证明 )；如图 2，点 G是 CD边上任意一点 ( 不与 C、D两点重合 ) ，连接 AG，作 BF AG于点 F，DE AG于点 E那么图中全等三角形是，线段 EF与 AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可，不需要证明) ADADFEFEGBGCBC图 1图 2【解析】 在正方形中，BAD90°ABCD AB=AD BAFDAE 90 °BAFABF90ABFDAE在 ABF和 DAE中ABFDAE ,AFBDEA,ABDA, ABF DA