考点圆与方程(含空间直角坐标系)(汇编)

1、精品文档温馨提示：高考题库为Word 版，请按住Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点 7圆与方程（含空间直角坐标系）2010 年高考题1.(2010广东高考文科 6）若圆心在 x 轴上、半径为5 的圆 O位于 y 轴左侧， 且与直线 x+2y=0 相切，则圆 O的方程是（）A ( x5) 2y25B ( x5) 2y 25C ( x 5) 2y 25D ( x 5) 2y25【命题立意】 本题考察直线与圆的位置关系 .【思路点拨】 由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.【规范解答】 选 D设圆心为 (a , 0) (a0)，则 ra20，解得

2、 a5 ，所以，所求圆的方12522程为： ( x2y25，故选 D .5)2. （ 2010湖北高考理科9）若直线 yxb 与曲线 y3 4xx2 有公共点，则 b 的取值范围是（）A. 122 , 122 B.12 ,3C.-1,12 2 D.122 ,3【命题立意】 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生数形结合、运动变化观点的应用和运算求解能力【思路点拨】 将方程 y34xx2 作等价变形，然后借助函数图像，利用运动变化的观点得到直线y x b 在与曲线 y34xx2有公共点时 b 的取值范围 .精品文档精品文档y31o24【规范解答】 选 D. y34xx2y3由图可知当直线 yx

3、b 过点（ 0， 3）( x2)2( y3)24时 b 取最大值3；当直线 yxb 与圆 ( x2) 2( y3)24 相切且切点在圆的下半部分时对应的b 取最小值.由yx b消去 y可得 x2(2b10) x (b3) 20 ，由=0得 b122或(x2)2( y3)24b 122 （舍去） .3. （ 2010江西高考理科）直线y kx3 与圆 (x3)2( y 2)24 相交于M， N 两点，若MN23 ，则 k 的取值范围是 ( )A3,04C333,3B,30,4D2,03【命题立意】本题主要考查直线与圆位置关系的判定及利用数形结合法解题的能力.【思路点拨】方法一：数形结合，利用圆心

4、到直线的距离进行判定.方法二：联立方程组利用根与系数的关系及弦长公式求解.【规范解答】 选 A（方法1）由题意，若使MN23，则圆心到直线的距离3k23d 1，即k21 ，1解得3k 0 . 故选 A.4（方法 2）设点 M,N 的坐标分别为,y1), (x2,y2)，将直线方程和圆的方程联立得方程组（ x1ykx3，消去 y 得 ( k21)x22(k3) x 60 ，( x3) 2( y 2)24由根与系数的关系得x1x22(k3) , x1x2k6，k 2121由弦长公式知 | MN |1k 2| x1x2 |1k 2(x1x2 )24x1 x2 =精品文档精品文档1 k22(k3)24

5、620k 224k12，k 2k 21k 211|MN |23 ,20k224k1223 ，即 8k( 4k3）0 ，k 213k0 ，故选 A.44. （ 2010上海高考理科5）圆 C : x2y22x4y40 的圆心到直线 l ： 3x 4 y 40 的距离d【命题立意】考查圆的方程和点到直线的距离公式【思路点拨】先求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求值31424【规范解答】 由圆的方程可知圆心坐标为（C 1，2），由点到直线的距离公式，可得 d3 3242答案： 35. （ 2010四川高考理科4）直线 x 2 y 50 与圆 x2y28相交于 A、 B 两点，则 AB.【命题立意

6、】 本题主要考查点到直线的距离公式、圆的弦长公式及其直线与圆的位置关系.【思路点拨】 直线和曲线的相交弦问题，需联立方程组，利用弦长公式求解，特别地，直线和圆相交求弦长，可用圆心到直线的距离、半径求解.【规范解答】（方法1） 设x2 y50,y得2A x1, y1 )，B( x2, y2 )，由消去5x10x 7 0，由根（y28.x2与系数的关系得x1x22, x1x27,5x1x2(x1 x2 )24x1x24 15，5AB12x254151 （ ） x122 3 .255（方法 2）因为圆心到直线的距离d5 ，5所以 AB 2 r 2d 2285 23.精品文档精品文档答案： 236.

7、（ 2010海南宁夏高考理科T15）过点 A(4,1)的圆 C与直线 xy1 0 相切于点B(2,1)则圆C的方程为.【命题立意】 本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.【思路点拨】 由题意得出圆心既在点A, B 的中垂线上， 又在过点 B(2,1)且与直线 x y 10 垂直的直线上，进而可求出圆心和半径 .【规范解答】 由题意知，圆心既在过点B(2,1) 且与直线 x y10 垂直的直线上，又在点A, B 的中垂线上 . 可求出过点B(2,1)且与直线 xy 10垂直的直线为 xy30 ， A, B 的中垂线为 x 3，联立xy 30x3C (3

8、,0) ，方程3，解得，即圆心xy0半径 r CA2 ，所以，圆的方程为 (x3)2y 22 .答案： ( x3)2y227. （ 2010广东高考理科2）已知圆心在x 轴上，半径为2 的圆 O位于 y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.【规范解答】 设圆心坐标为 (a , 0) ，则 a02 ，解得 a2 ，又圆心位于 y 轴左侧，所以 a 2 .2故圆 O的方程为 ( x2) 2y22 .答案： ( x2) 2y 228. （ 2010天津高考文科4）已知圆 C 的圆心是直线 x-y

9、+1=0与 x 轴的交点，且圆C与直线 x+y+3=0相切。则圆 C 的方程为【命题立意】 考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系.【思路点拨】 圆心到与圆相切直线的距离即为圆的半径.【规范解答】 由题意可得圆心（-1,0 ），圆心到直线 x+y+3=0 的距离即为圆的半径，故22y22 .r2 ，所以圆的方程为 （ x+1 ）2精品文档精品文档22答案：（x+1 ） y 29. （ 2010江苏高考9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 x 2y24 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的距离为1，则实数 c 的取值范围是 _【命题立意】 本题考查直线与园的位置关系 .

10、【思路点拨】 由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线的距离小于1，从而求出 c 的取值范围 .【规范解答】 如图，圆 x 2y24的半径为 2，圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的距离为 1,问题转化为坐标原点（0， 0）到直线12x-5y+c=0 的距离小于1.c1, c 13, 13 c 13.即12252答案：13c1310. （2010 山东高考理科16）已知圆 C过点（ 1,0 ），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ： yx1 被圆 C所截得的弦长为22 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生

11、的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】 根据弦长及圆心在x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再根据垂直关系可求直线方程.【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为( a, 0)， 则 由 题 意 知 ：( | a-1| )2 +2=(a-1) 2 ，解得 a=3或 -1 ，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3， 0），2因为圆心（ 3， 0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0 ，即 m=-3 ，故所求的直线方程为x+y-3=0 .答案： x+y-3=0【方法技巧】 1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化

12、运算. 如“垂直于弦的直径必平分弦” ，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等. 在解题时应注意灵活运用.2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.精品文档精品文档11. （ 2010山东高考文科6）已知圆 C过点（ 1,0 ），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ： yx1 被该圆所截得的弦长为22 ，则圆 C 的标准方程为.【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】 根据弦长及圆心在x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出

13、圆的半径.【规范解答】 设圆心坐标为 (a,0) ，圆的半径为 r ，则由题意知：( | a-1| )2 +2=(a-1) 2 ，解得 a=3或 -1 ，又2因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3 0），r2(a )123( )14,2故所求圆的，方程为 ( x3)2y 24. .答案： ( x 3)2y24【方法技巧】 1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算. 如“垂直于弦的直径必平分弦” ，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等. 在解题时应注意灵活运用 .2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用

14、“设而不求”的技巧.12. （ 2010湖南高考文科14）若不同两点P,Q 的坐标分别为（ a， b），（3-b ， 3-a ），则线段 PQ的垂直平分线 l的斜率为,圆（ x-2 ）2+（ y-3 ）2=1 关于直线对称的圆的方程为。【命题立意】 以朴素的两点坐标要求求满足条件的斜率，切中运用公式的要害。第二小问以圆为依托考查对称图形的求法，主要考查学生对圆的性质的掌握。【思路点拨】 第一问直接利用两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1. 第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称。【规范解答】设 PQ 的垂直平分线的斜率为k，则 k 3ab =-1 ， k=-1.而且 P

15、Q 的中点坐标是3ba( 3 a b ,3 ab ) ， L 的方程为： y- 3a b =-1 (x-3a b ) ， y=-x+3,而圆心 (2,3) 关于2222直线 y=-x+3对称的点坐标为 (0,1) ，对称图形的方程为：x2+(y-1) 2=1.【方法技巧】 一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b) 关于 y=x+c的对称点是 (b-c,a+c)。2009 年考题13. （ 2009 辽宁高考）已知圆 C与直线 x y=0及 x y 4=0 都相切，圆心在直线x+y=0 上，则圆 C 的方程

16、为（）精品文档精品文档（ A） ( x 1)2( y1)22(B)( x1)2( y1)22(C) ( x 1)2( y1)22(D)( x1)2( y1) 22【解析】选 B. 圆心在 x y 0 上, 排除 C、D,再结合图象 , 或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可 .14. （ 2009 浙江高考）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A 3B 4C 5D 6【解析】 选 B. 由于 3，4，5 构成直角三角形 S，故其内切圆半径为r= 3 4 512, 当该圆运动时，最多与直角三角形S 的两边也有4 个交点。15. （ 200

17、9 上海高考） . 过圆 C：(x 1)2( y 1)21的圆心，作直线分别交x、 y 正半轴于点 A、 B， AOB 被圆分成四部分（如图） ，若这四部分图形面积满足 SS￥S S|,则直线 AB有（）（A）0条（B）1 条（C）2条（D）3条【解析】 选 B. 由已知，得：SIV SIISIIISI, ，第 II ，IV 部分的面积是定值，所以，SIV SII 为定值，即 SIII SI, 为定值，当直线AB绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选 B。16. （ 2009湖南高考）已知圆C1 ： (x1)2+ ( y1)2=1，圆 C2 与圆 C1 关于直

18、线 x y 10 对称，则圆 C2的方程为（）（ A） ( x2) 2 + ( y2)2 =1（ B）（ C） ( x2) 2 + ( y2)2 =1（ D）(x2) 2 +( y2)2 =1(x2) 2+ ( y2)2=1精品文档精品文档【解析】 选 B. 设圆 C2 的圆心为（ a，b），则依题意，有解得：a2 ，对称圆的半径不变，为 1，故选 B.a1b11022，b11a1b217. （ 2009 陕西高考）过原点且倾斜角为60 的直线被圆 学 x2y24 y0 所截得的弦长为（）科网（ A）3（B）2（ C）6（ D）23w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】 选 D. 过原

19、点且倾斜角为60的直线方程为3xy0,圆x2（ y24的圆心（ 0， 2）到直线的距离为2）d3021,因此弦长为 2R 2d 224123316. （ 2009 重庆高考）直线 yx1 与圆 x2y21的位置关系为（）A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离【解析】 选 B. 圆心 (0,0) 为、到直线 yx1，即 xy 1 0的距离 d122，2，而 0122选 B。18. （ 2009 重庆高考）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（ 1，2）的圆的方程为（）A x2( y 2) 21B x2( y 2) 21C (x 1)2( y 3)21D x2( y 3)21【解析】 选 A.

20、方法 1（直接法）：设圆心坐标为(0, b) ，则由题意知(01)2(b2) 1，解得 b 2，故圆的方程为x2( y2) 21。方法 2（数形结合法） ：由作图根据点 (1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为（0， 2），故圆的方程为x2( y 2)21方法 3（验证法）：将点（ 1，2）代入四个选择支排除B，D，又由于圆心在y 轴上，排除 C。19. （ 2009上海高考）过点 P( 0,1) 与圆 x 2y 22x3 0 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ()精品文档精品文档（ A） x 0（ B） y 1（ C） x y 1 0（ D） x y 1 0【解析】 选 C.

21、 点P( 0, 1)在圆x2y22x3 0内，圆心为（， ），截得的弦最长时的直线为，方C 10CP程是 x y1 ，即 xy 1 0 。1 120. （ 2009 安徽高考）在空间直角坐标系中，已知点A（ 1，0， 2）， B(1 ， -3 ， 1) ，点 M在 y 轴上，且 M到 A 与到 B的距离相等，则M的坐标是 _。【解析】 设 M (0,y,0) 由 12y24 1 ( 3 y) 2 1可得 y1故 M (0, 1,0)答案 : (0,-1， 0)w.21. （ 2009广东高考）以点（2，1）为圆心且与直线 x y6相切的圆的方程是.【解析】 将直线 xy6 化为 xy6 0 ,

22、 圆的半径 r| 216 |5,112所以圆的方程 ( x2) 2( y 1)225w.w.w.k.s.5.u.c.o.m252答案 :( x 2)2( y1)2222.（ 2009 天津高考）若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60 （ a0）的公共弦的长为23 ，则 a_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m。【解析】 由知 x2y 22ay 60 的半径为62a 2( a1)2(3) 2a，由图可知 6解之得 a 1答案:1.23. （ 2009 全国）已知AC、BD 为圆 O : x2y24 的两条相互垂直的弦，垂足为M1,2,则四边形 ABCD 的面积的最大值为。【解析】 设圆心

23、 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、 d2 ,则 d12 +d22OM 23 .精品文档精品文档四边形 ABCD 的面积 S1|AC| |BD|2(4 d12 )(4- d22 )22(1d22 )(4- d22 )2(d22- 3)225240d223当 d223 时 S四边形 ABCD 有最大值为 5.2答案:5.24. （ 2009 全国）已知圆O： x 2y 25 和点 A（ 1，2），则过 A 且与圆 O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于【解析】 由题意可直接求出切线方程为y-2=1，即 x+2y-5=0, 从而求出在两坐标轴上的截距分别(x-1)2是 5 和 5 ，所

24、以所求面积为15525 。2224答案: 25425.（ 2009 湖北高考）过原点O作圆 x2+y2 6x 8y 20=0 的两条切线，设切点分别为P、 Q，则线段 PQ的长为。【解析】 可得圆方程是 ( x3)2( y4) 25 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ 4答案:426. （ 2009 四川高考）若 O1 : x2y 25 与 O2 : (xm) 2y220(mR) 相交于 A、 B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是.w【解析】 由题知 O1 ( 0,0), O2 (m,0) ，且5| m | 35，又 O1AAO2 ，所以m 2( 5)2(

25、2 5)225m5， AB 25 204 。5答案:4.27. （ 2009福建高考） 已知直线 l:3x+4y-12=0与圆 C:x12cos为参数 ) 试判断他们的公共y22sin(点个数 .【解析】 圆的方程可化为( x1)2( y2)24 .其圆心为 C (1,2) , 半径为 2.圆心到直线的距离 d| 3 (1)4 212|7324225精品文档精品文档故直线与圆的公共点个数为2.答案： 228. （ 2009 江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆 C1 : ( x 3)2(y 1)24和圆C2 : (x 4)2 ( y 5)24.（ 1）若直线 l 过点 A(4,0)，且

26、被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ，求直线 l的方程；（ 2）设 P 为平面上的点， 满足： 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线l1 和 l2 ，它们分别与圆 C1 和圆 C2相交，且直线 l1 被圆 C1截得的弦长与直线l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分 16 分。(1) 设直线 l 的方程为：yk( x4) ，即 kxy4k0由垂径定理，得：圆心C1 到直线 l 的距离 d22( 23 ) 21，2结合点到直线距离公式，得：|3k 14k |1, w

27、.w.w.k.s.5.u.c.o.mk 21化简得： 24k27k0, k0或 k724求直线 l 的方程为： y0或 y7( x 4) ，24即 y0 或 7x24 y280(2) 设点 P坐标为 (m, n) ，直线 l1 、 l2 的方程分别为：ynk( xm), yn1 ( x m) ，即： kx y n km 0, 1 x y n 1 m 0kkk因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线l2 被圆 C2 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得圆心C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m精品文档精品文档故有： | 3k1n

28、 km |45n1m |kk，1k 211k2化简得： (2mn) kmn3,或(mn8)km n 5关于 k 的方程有无穷多解，有：2mn0, 或m-n+8=0w.w.w.k.s.5.u.c.o.mmn30m+n-5=0解之得：点 P 坐标为 (3,13)或 (5,1) 。22222008 年考题29. （ 2008 山东高考）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y 0 和 x 轴相切，则该圆的标准方程是（）A (x 3)272B ( x 2)221（ y） 1( y 1)332( y 3)21D（ x221C (x 1)2）( y 1)【解析】 选 B. 设圆心为 (a,1)

29、, 由已知得 d| 4a3|1, a 2(舍15).230. （ 2008 广东高考）经过圆x22xy20 的圆心 C，且与直线 xy0 垂直的直线方程是（）A x y 1 0B x y 1 0C x y 1 0D xy 1 0【解析】 选 C. 易知点 C为 (1,0) ，而直线与 xy0垂直，我们设待求的直线的方程为y xb ，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为 b1，故待求的直线的方程为x y 10 （或由图象快速排除得正确答案） 。31. （ 2008 山东高考）已知圆的方程为x2 y2 6x8y 0. 设该圆过点（ 3， 5）的最长弦和最短弦分别为AC和 BD，则四边形

30、ABCD的面积为（）A10 6B20 6C30 6D40 6【解析】 选 B。将方程化成标准方程(x 3)2( y4)225 ，过点 (3,5)的最长弦（直径）为 AC 10,最短弦为 BD252 1246, S1 ACBD206.232. （ 2008 全国）若直线xy 1 与圆 x2y 21 有公共点，则（）ab1C111D11A a 2b 21 B a 2b 21a 2b 2a 2b2精品文档精品文档【解析】 选 D. 本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：dr ，d11， ( 1)2(1 )21(1)2(1)2abab33. （ 2008 安徽高考）若过点A(4,0) 的直线 l 与曲线 ( x2) 2y 21有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A3, 3B (3, 3)C 3, 3D (3 ,3)3333【解析】 选 C. 方法一：数形结合法（如图）另外，数形结合画出图象也可以判断C正确。方法二：利用距离与半径的关系点A 4,0在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为yk( x 4) ，即 kxy4k0，直线 l与曲线 (x2) 2y21 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径d2k4k1，k 21得 4k 2k21,k 213k