第八章-A组---郑州升达经贸管理学院.

1、第八章多元函数(A)1、证明： 1(4，3，1)，2 (7，1，2)，3(5，2，3)为顶点的三角形是等腰三角形.2、在 y 轴上求与点 A(1 ，-3，7)和 B(5，7，-5)等距离的点 .3、在 XOY 平面上求一点，使它与点A(1， -1，2)，B(3，1，4)，C(-2，-2， 2)三点距离相等 .4、分别写出点 (3， -1，4)，关于 xoy 平面，关于 yoz 平面，关于 oz 轴，关于坐标零点 O(0，0， 0)对称点的坐标 .5、作出下列平面图形：（ 1） x+ y+ z =1（2）x+ y+ z =0（3）x+ y =1（4）z =16、作出下列空间曲面的图形：（1）x2

2、2（ ）y = x2（ ）2 2+y =123 (x-1) +y =1（4）x222（ ） zx 2y2+y +(z- 1) =157、求下列二次函数的定义域D，并描绘出 D 的区域图形：（1） z2x 2y2（3） z4x - y2ln( 1- x2 - y 2 )（5） f (x, y)ln( 2 - x - y)（7） u1y21x2（2）z =ln(1-x2)（4）f(x,y)xyy（6） uarcsin8、设函数 f ( x， y)x 22xy 3y2求 f(1,1)的值 .9、若 f (x) 1x 2 ( x 0),求 f ( y ).x10、若 f (x， y)2x y2 ,y)

3、.x2y求f (1,x11、若 f ( xy, y )x 2y 2 ,求 f ( x, y) .x12、若 f ( xy, xy)2x 2xy2 y2 , 求 f ( x, y) .13、求下列二次函数的极限 .（ 1） limsin 3( x2y 2 )（2） lim arcsin x2y222x0xyx0y0y102（ 3） limexy cos y2x2y 24（4） lim22x01xyx0xyy0y 0（ 5） lim ysin 1（6） lim xsin 1x0xyx0xyy0y014* 求下列二次函数的极限 .（ 1） limx 2- yx2y2x 0y 015*证明极限 lim

4、xyxyx0y016*证明极限 limxxyx0y017* 判断函数f ( x， y)（ 2） limx y22x 0xyy 0不存在 .不存在 .xyy 2,x2y20x2, 在(0，0)处是否连续 .0,x2y20xyx 2y2018、 设函数 f ( x， y)x2y 2, 求 f x (0,0)f y (0,0) .0x2y2019、 z f ( x, y) exy siny ( x -1) arctanx,求 f x (1,1)f y (1,1) .y20、求下列函数的一阶偏导数：（ 1） z x 4y 44x2 y 2（ ）x2 zxyy（ 3） zx（4） z x sin( x

5、y)（5） zcos x2y2y（ 6） ztan x2（7） zx y（8） zln( x y2 )y（ 9） zarctan y（ 10） zarctan xy（11） zln yx1 - xyln x（ 12）u1（）xzx2y 2z213 u ()yy（ ） u = x yz（ 14）uxz1521、计算下列函数在给定点处的偏导数.（1） zxy求 zx (1,2),zy (1,2)x - y（2）zex2y2求 z (0,1),zy (1,0)x（3）zarctany，求 zx (1,1) ,zy ( 1 1)x（4） zln(xy ) 求 zx (1,1) ,Z y (1,1)22

6、、求下列函数的二阶偏导数：（1） zx 2 y x y（ 2） zx arcsin y（3） zcos2 ( x 2 y)（4） zexy223、证明下列各题：（1）若 zf (axby) ,则 bzaz .xy（2）若 zln( n xn y ) ,且 n2 , 则 xzyz1 .xyn（3）若 zln x2y2 ,则 2 z2 z0 .x2y2（4）若 uln(tan xtan y tan z), 则 ? u sin 2x? u sin 2 y? u sin 2z 2 .? x? y? z24、求下列函数的金微分（1） z ln 1 x 2y 2（2） z x ln y（3） z x2xy

7、2sin( xy)（ 4） u = xy + yz + zx（5）z =xcosy（ 6） ux sin( yz)25、（ 1）求函数 zy ,当 x 2, y1, x0.1,y0.2时的全增量和全微分 .x（ 2）求函数 z5x 2y 2 ,当x1, y2, x0.05, y0.1 时的全增量和全微分 .26、利用全微分求下述函数在给定点的近似值：（1） ln( x - 3y)(6.9 , 2.06)（2） x 2 y 3 z4(1.05 ,0.9, 3.01)27、设圆锥体的底半径 R 由 30cm 增加到 30.1cm，高 H 由 60cm 减少到 59.5cm,试求圆锥体体积变化的近似

8、值 .28、一扇形的中心角为60，半径为 20cm，如果中心角增加 1，为使扇形面积保持不变，应将扇形半径减少多少（计算到小数点后三位）？29、求下列复合函数的一阶导数（全导数）.x（1） zxe y ,x cost ,ye2t（2） zarcsin(x - y) ,x3t ,yt 3（3） uxy ,xt ,ycos2t , z e-3tyz（4） ue2x ( yz) ,ysin x ,z2 cosx30、求下列复合函数的一阶偏导数 .（ 1） zx3 yxy2 , xs cost, ys sint（ 2） zeu , ulnx 2y 2 , yarctan yx（ 3） zx arcta

9、n(xy), xt 2 , yset（ 4） z xeyye x , x et , y s t 231、求下列复合函数的一阶偏导数 .（ 1） zf ( x 2y 2 , exy ),（2） zyf ( x2y 2 )（ 3） uf (x, xy, xyz)（4） u xy zf (y)x32、求下列复合函数的拐定的偏导数.（ 1）2 z2 z（ 2） u f (x2y222 u,3 uzf (ax, by),x2,x yz),x yx y z（ 3） zf (x, y ),2 z,2 zxx 2y2、求下列方程所确定的隐函数y = y ( x ) 的一阶导数 .33（ 1） x2xyey0（

10、 2）xcosx+ycosx =1（ 3） x y = y x（4） sin(xy)x 2 y 2xy34、求下列方程所确定的隐函数zz x, y的一阶偏导数 .（ 1） z32xzy0（ ）3sin( x2 yz)x 2 yz2（ 3） xln z（4） y2 zex y- sin(xyz)0zy35、求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数 .（1） 32z（ ）xt 22zz3xyz1,2z ln zedt0,x yyx y36、求下列函数的极值 .（ 1） f x, y6x x2 4yy 2（ 2） f x, ye2 x x y 22 y（ 3）fx, yx2 y 28x y（ ） f x

11、, y 3x 2 y y33x23y224xy37、下列函数在给定条件下的条件极值.（ 1） f x, y2x y, x24 y 21（ 2） f ( x, y, z)xyz, x22 y23z26、求曲面 xy z21 0 上离原点最近的点 .3839、求表面积为 12 的无盖长方形水箱的最大容积.40、求坐标原点到曲线x1 3y30 的最近距离。41、某养殖场饲养的种鱼，若甲种鱼放养x（万尾）乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为3xy x, 4x2 y y,0 求使产鱼总量最大的放养数 .43、设生产某种产品必须投入两种要素，x1 , x2 分别为两要素的投入量， Q 为产业量

12、，若生产函数 Q2x x2其中,为正常数，且1 ，假设两种要素的价格分别为p1, p2 ，试问，当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？44、画出积分区域，并计算下列二重积分 .（ 1）xy 2 dxdy, D 0,1 0,1 .D（ 2）2 ydxdy, D 是由直线 x=0， y=0，y=x-1 所围成的闭区域 .D 1 x（ 3）x， ）（ ， ）和（ ， ）的三角形闭区域.ye dxdy, D 是顶点分别为（ 002 46 0D（ 4）ex ydxdy, D 是由 x y 1所确定的闭区域 .D（ 5）( y2x)dxdy, D 是由抛物线 xy 2 , x3 2

13、 y2所围成的闭区域 .D（ 6）sin x dxdy, D 是由直线 y x, y2 和曲线 xy3 所围成的闭区域 .Dy45、通过交换积分次序计算下列二次积分.3y 2（ 1）1dxxe 2dy（ ）1dxx sin y020dyxxy（ 3）55dx（ ）322dxy ln x4dxsin y dy1y1x 1（ 5）15dx1y2（ ）6dy6 cos x0xx2 edy60ydxx46、利用极坐标计算下列二重积分 .2（ 1）ydxdy, D 是由 y 1x2 , yx, y0 所围成且 x 0Dx（ 2）sinx2y 2 dxdy, D 为 x, y2x2y 24 2D（ 3）arctan y dxdy ,D : 1x 2y 24, x0, y0Dx（ 4）ln(1x2y2 ),D:x2y21,x0,y0dxdyD47、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分，并计算积分值.（ 1）22 x x2221x221dx(x) dy（ ）2( x)2dy0y2dxxy0011x2223（ ） 2x y x2y2（ 3）2dxdydxdy1x( xy )40x0148、利用二重积分计算下