船舶流体力学第6章(打印)

1、第六章 势流理论（一）势流指的是理想流体的无旋流动。本章主要讨论：理想不可压缩平面势流的求解方法。流场中各点的流体微团的旋转角速度为零的流动称为无旋流动（有势流动）。一般来讲，具有粘性的实际流体都作有旋运动；在某些情况下，粘性对流动的影响很小，以致可以忽略时，则可按理想流体处理。理想流体的运动可以是有旋的，也可以是无旋的。当流体是理想的，且质量力有势时，从静止或无旋状态起动的非恒定流动（水库泄水、波浪运动）、均匀来流绕物体的流动（除边界层外）都是无旋（有势）流动。势流理论，尤其是平面势流理论，具有很大的实用意义。实际流体运动，只有在切应力较小，可以忽略不计时，才可作为理想流体处理，有可能按有势

2、流来求得近似解。如绕流运动，将流场划分为两个区域：紧靠固体边界的粘性起作用的区域，用粘性流体边界层理论求解；不受固体边界阻力影响，粘性不起作用的区域， 用理想流体势流理论求解。§6.1 无旋运动和速度势一.速度势函数及势流：我们知道：每一流体微团的旋转角速度都等于零的流动，称为无旋流（无涡流）。这时： 对于无旋流，有： 由于无旋流有速度势函数存在，故无旋流又称为有势流。 满足拉普拉斯方程的函数，称为调和函数。分析有势流动时，显然只要求解拉普拉斯方程，找出未知函数，就可求得各流速分量。这就简化了分析求解过程。相应的速度势函数的拉普拉斯方程为: 二.速度势函数的性质：1.若流体不可压缩，

3、流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。2.流线与等势面相互垂直。 § 可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。§ 若为平面流动，则流线与等势线垂直。3.速度势对任一方向n的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。 三.不可压缩流体的平面势流：流场中各点流速都平行于某一平面，而且所有流动参数在此平面的垂直方向都不发生变化，这种流动称为平面流动。平面流动（或称二元流动）应满足的条件：平面上任何一点的速度和加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全相同。如图所示，机翼绕流为平面流动。比如，分析船舶在水

4、面上的垂直振荡问题。因船长比宽度及吃水深度大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如图所示，属于平面问题。又例如：平面流动采用平面直角坐标系，则不可压缩流体的平面势流应该满足： 如果存在物体壁面S，速度应该在物面上满足边界条件： 求解不可压缩流体平面势流问题的主要任务就是寻求满足以上方程组和边界条件的速度矢量。 边界条件又可写成： 对于不可压缩流体的平面势流，若采用平面极坐标系，则： 拉普拉斯方程为: §6.2 不可压势流的基本方程和边界条件一.拉普拉斯方程的解的可叠加性：势流的一个重要特性：可叠加性。势流叠加原理：几个简单势流叠加合成的流动仍为

5、势流（复合势流）。复合势流的速度势为简单势流的速度势的代数和，且满足拉普拉斯方程。 复合流动的速度等于被叠加势流的速度的矢量和。 二.欧拉方程的积分：理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。 式中： 同理，可得： 故： 将上式代入欧拉运动微分方程，得： 这个方程称为格罗米科兰姆方程。若流体是正压的，有： 若质量力有势，则：将以上二式代入格罗米科兰姆方程。可得： 1.定常、沿流线积分伯努利积分：方程（1）化简为： 上式沿流线积分，得： 这就是伯努利积分，它表明：对于正压的理想流体，在有势质量力作用下作定常流动时，同一流线上：这个方程也称为伯努利方程，我们曾在§4.1中得到，并详细

6、讨论过这个方程。 2.无旋流的积分柯西拉格朗日积分：对于无旋流动，有： 这时方程（1）化简为： 上式在全流场积分，得： 若流体不可压缩，则： 若质量力仅是重力，有：将以上二式代入方程（2），可得: （3）式将会在后面讨论波浪运动时用到。若流动定常，则（3）式化简为： （4）式就是重力作用下定常不可压缩流动的伯努利方程。三.势流问题的求解方法：势流问题的求解实际上就是寻求满足边界条件和初始条件的Laplace 方程的解（x，y，z，t）。 解拉普拉斯方程流体作用于固体的力和力矩。求解拉普拉斯方程的方法主要有：1.解析法：对于简单边界问题的拉普拉斯方程可用解析法求解。而工程问题一般边界条件较复杂，

7、不能求得解析解。2.奇点法（基本解叠加法）：利用几种简单的基本解叠加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则几个基本解叠加后的调和函数就是所需要的解。由于势流的基本解在数学上是奇性的，因而这种方法称为奇点法。3.保角变换法：这种方法适用于平面不可压缩势流。它将复杂边界经过多次保角变换转换成简单边界，求解之后再根据变换关系返回去以获得复杂边界问题的解。4.数值解法：这种方法适用于复杂边界问题的求解，它将微分方程改写为有限差分方程，将求解流场划分成网格，要求每一网格节点上的函数值与其周围四个节点上的函数值之间符合拉普拉斯方程所规定的差分关系。5.流网法：这种方法是一种手工图解法，它适

8、用于平面不可压缩势流，利用等势线和流线正交的特性，设法绘制出正确的流线、等势线网格流网。获得了正确的流网，就可求出流速以及流量等参数。y = Cj = C例图示为流体绕圆柱体无旋流动的部分等势线和流线，图中两簇曲线正交。由速度势函数和流函数的性质不难判断，部分曲线与圆正交的那一簇是等势线，而其中一条与物面相重合的那一簇是流线。 §6.3 二维流动和流函数二维流动（亦称二元流动）：流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为二维流动。二维流动包括平面流动和轴对称流动。一.流函数的定义：对于不可压缩流体的平面流动，由数学分析知： 这恰好是不可压缩流体平面流动的连续性微分方程。这表明，对于

9、不可压缩流体的平面流动，必有： 显然：只要是不可压缩流体的平面流动，就必有流函数存在。事实上只要是不可压缩流体的二维流动，不论是平面流动或是轴对称流动，都有流函数存在。二.流函数的性质：1.对于不可压缩流体的平面势流，流函数也满足拉普拉斯方程，是调和函数。对于xoy平面上的平面势流，有： 也就是说：对于不可压缩流体的平面势流，流函数亦满足拉普拉斯方程。2.等流函数线就是流线。 这正是流线微分方程。 3.流过任意曲线的单宽流量等于曲线两端点流函数的值之差，而与曲线形状无关。 证：如图，AB为任一曲线，在它上面任取微元长度dL。设垂直于平面的宽度为1，则流过dL的流量为： 显然：Q值仅取决于A,B

10、两点的流函数值，与曲线AB的形状无关。由于在物面边界上流函数的值是常数，所以物面边界也可以被当作是流场中的一条流线。反过来说，流场中任意一条流线也可以被看作是物面边界。如引入流函数之后，求解不可压缩流体平面势流问题，又可以写成求解方程： 这时，边界条件可写成： §6.4 复势和复速度对于不可压缩流体的平面势流，和同时存在，并有如下关系：这个关系称为柯西黎曼（CauchyRiemann）条件。引入复变函数 W（z）： 由复变函数的有关知识，我们知道： 复速度沿曲线L的积分为： 将 和 代入上式，可得：若L为封闭曲线，则： 即，绕封闭物面周线的复速度积分就等于绕物面的速度环量。若采用极坐

11、标，则： 可得极坐标下的复速度公式： 引入复势W之后，求解不可压缩流体平面势流问题就可以归结为求解复势 W（z）。这时，边界条件可写成： 总之，不可压缩流体平面势流的求解途径是：途径一： 即，在第二类边界条件下求解拉普拉斯方程，可以采用基本解叠加法或者数值方法求解，通常只适用于求解规则边界的流动问题。途径二： 即，在第一类边界条件下求解拉普拉斯方程，可以采用基本解叠加法或者数值方法求解，通常只适用于求解规则边界的流动问题。途径三： 这属于复变函数理论中求解析函数范畴的问题，可以采用保角变换。它适用于求解复杂边界的流动问题。例1.已知不可压缩平面流动的流函数： （1）求流速分量：（2）流动是否无

12、旋？若无旋，确定其流速势函数。解：（1）其流速分量为： 例2.设平面流动 (a) vx = 1, vy = 2； 流动 (b) vx = 4x, vy =-4y。（1）对于 (a) 是否存在流函数y ？若存在，求 y 。（2）对于 (b) 是否存在速度势函数？若存在，求 。解：（1）对于流动 (a) 有： 显然满足不可压缩流体流动的连续性方程，存在对应的流函数。积分后得到：y = y -2x (略去了积分常数) 。（2）对于流动(b) 有： 因此，满足无旋条件，存在相对应的速度势函数。积分后得到： = 2x2 -2y2 (已略去积分常数)§6.5 不可压平面势流的基本解一. 均匀直线

13、流： 把复势的实部和虚部分开，分别得到: 等势线: 流线: 对于a = 0: 二.平面点源和点汇：在无限平面上，若流体从一点沿径向直线均匀的流出，这种流动称为点源。在无限平面上，若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇。分析位于坐标原点的点源： Q 点源(汇)强度。 流线: q = C1 , 等势线: r = C2 。图片：平面点源流 ( Q > 0 ) 平面点汇流 ( Q < 0 ) 三.点涡：流体以某一点为圆心作圆周运动，这种流动称为点涡。 G 点涡强度。奇点点涡流 流线: r = C1 , 等势线: q = C2 。 图片： 四.平面偶极子：z = 0 点: 点

14、汇 Q z0点： 点源 Q 叠加后得到： 令 Dr ® 0，Q ® ¥，b 不变，并且： z0=Dz b -偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)。这里分析 b =p 的情况(即，点源沿 x 轴的正方向由左至右向点汇趋近)。 等势线流线由于点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本解与别的解叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，所以只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担心叠加这些基本解会改变无穷远处的速度边界条件三个基本解都具有奇异性。由于真实流场中不应该有无穷大的速度，所以通常要把它们布置在流场之外(物体区域内)。 例3: 理想不

15、可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az2 ( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为 p0，试求:(1) 上半平面的流动图案； (2) 沿 y = 0 的速度与压强。解: 令 z = reiq，于是: 所以: 令 y = 0，得到零流线： 它们是自原点出发的射线，把上半平面分成两个夹角为 90°的直角区域。流速为: 在 y = 0 ( 即q = 0 及 q = p ) 上， 对坐标原点和 y = 0 上的任意一点( r , 0 )或者( r , p )列出伯努利方程。于是得到 y = 0 上的压强分布为： 五.平面势流叠加的例子：不可压缩流体势流问题的主要

16、特点：.解是可以叠加的。 .流动对时间的依赖关系由边界条件反映。 .运动学问题与动力学问题可以被分开求解。 下面简单证明，如果：1，2，3 ¼¼ 是势流问题的解，则： = 1 + 2 + 3 + ¼¼ 也是势流问题的解。事实上: 由于：Ñ2 = Ñ21 + Ñ22 + Ñ23 + ¼¼ ，如果： Ñ21 = 0， Ñ22 = 0 ， Ñ23 = 0 ， ¼如果又有: 就是满足所给边界条件的势流的解。1.直线流与点源流的叠加：位于坐标原点，强度为Q的点源：

17、现分析叠加后的流速，驻点位置及流线方程： 这就是过驻点的流线方程。 如图，通过驻点的流线将流场分成两部分：由均匀直线流所引起的这部分流量皆在过驻点的流线之外流动，而由点源所引起的那部分流量皆在过驻点的流线之内流动。这样便可把通过驻点的流线视为固壁，仅分析其外部的绕流，这就是所谓的“二元半体绕流”。这种流动可完全模拟工程实际中的均匀流绕流桥墩头部的流动。2.螺旋流：现研究点汇与点涡叠加所形成的流场： 等势线方程为： 流线等势线螺旋流流线方程为： 在流场任意两点1，2 应用伯努利方程，有： 水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。若将点源与点涡叠加，则流体沿

18、螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。例4.设在（a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q。若平行于x轴的直线流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。 试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程。xyo 解：叠加后的流函数为： 叠加后的流场： 令=0 ，得零流线即物面方程为： 叠加后的势函数为： 驻点位置： 图片将流线替换成物面，该流动模拟流体绕卵形体的外部流动。点源推开流线，点汇收回流线。§6.6 绕圆柱体的流动一. 均匀流绕圆柱体的无环量流动：Voyxqra沿x轴正向的均匀直线流+位于原点偶极子： 流线(y = C)： 令 C = 0 ，

19、得零流线（即，通过驻点的流线）： 速度为 V¥ 的均匀直线流 + 强度为 2pV¥a2 的偶极子流 = 绕半径为 a 的圆柱体的流动。 令 r = a ，得到圆柱表面的速度： 故，驻点为： = 0 ，及= 。速度环量： 无环量绕流压力分布： 沿圆柱表面( r = a )， vr = 0。 将： 代入上式，得： 定义压力系数： 将： 代入上式，得： q 压强左右对称，上下对称。 图片圆柱受力： 圆柱无环量绕流无升力，无阻力。阻力为零：圆柱体在理想流体中作等速直线运动时，受到流体作用的阻力等于零。原因：没有考虑流体的粘性。绕圆柱的无环量流动理论分析的结果是： 升力 压力分布对称

20、于轴； 阻力 压力分布对称于 y轴。 但这个结论与实测结果不一致：理论分析的结果称为达朗贝尔谬理，它在理论上很有意义。达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为：.理想流体；.物体周围的流场无界；.物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点；.物体作等速直线运动；.物体表面流动没有分离。若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。二.均匀流绕圆柱体的有环量流动：VGoyxqra沿x轴正向的均匀直线流+位于原点偶极子+点涡： 令 r = a ，得到圆柱表面的速度： 驻点位置取决于点涡强度。 速度环量： 有环量绕流柱表面压强分布：沿柱表面( r = a )， vr = 0。 将： 代入上式，

21、得： 定义压力系数： 将： 代入上式，得：圆柱受力： V L o 圆柱有环量绕流有升力，无阻力。升力的大小：流体的密度、流速V、环量、和柱体长度的乘积。升力的方向：沿V方向逆速度环量旋转90°所对应的方向。升力产生的原因：图片圆柱：圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。机翼：机翼周围流场不对称、环量（形状、攻角）、粘性。实验表明，圆柱在运动流体中旋转，当： 柱体表面上的流体在粘性作用下随柱体一起旋转，而且基本上不会发生分离现象。此时的流动也就相当于圆柱体的有环量绕流，其环量近似为 2a2。所以，旋转圆柱体向前运动时会受到垂直于运动方向的横向力。这种现象称为马格努斯(Magnus

22、)效应。旋转的圆球形物体同样也会产生马格努斯效应。比如：旋转的排球、足球、乒乓球等都会在横向力的作用下改变其飞行方向。 德国工程师弗来脱纳尔于1924年利用马格努斯效应在他的试验船Buckan号上设置铅垂的旋转圆柱以代替风帆，即旋筒推进器。推力： L在船前进方向的分力。例5. 圆柱体长10m，直径1m，在空气中绕自身轴旋转，并沿垂直于自身轴方向等速移动，自然风u与V垂直。求圆柱体受力的流体作用力。V=40m/su=30m/sn=3.76r/s解： §6.7 布拉修斯公式分析用复势表达的受力公式：已知物体边界线 L 和流场复势 W（z）。obb pxyndlL物体受力： 上式中: ,

23、, 下面换一个角度分析。 如图所示在物体周线上取微弧长dl, 作用力为pdl在和方向的投影分别为：上式中，为dl的切线方向与方向的夹角。 得和方向的总力： 作用力F和共轭作用力定义为： 由伯努利方程可得物面上的压力： 而在物体周线上： 此即为计算作用在物体上流体动力的布拉休斯（Blasius）公式。 若绕任意形状柱体流动的复势W(z)=f(x+iy)已知，就可由Blasius公式求出作用在单位长度柱体上的共轭作用力，取实部即得，取虚部加负号就是。如图，流体作用在任意形状柱体的力上对坐标原点的力矩为： 将 代入 而V 是实数，故上式可写成：上式即为计算作用在物体上的流体动力矩的Blasius公式

24、。若绕任意形状柱体流动的复势(z)已知，利用上式，便可得单位长度柱体上作用力对原点的力矩。显然，要求任意形状物体剖面上的流体动力或动力矩，比如机翼、汽轮机叶片、水翼或螺旋桨剖面等，都可采用Blasius公式。实用中还经常用到升力系数、阻力系数和力矩系数： 式中：S是指定的特征面积，b是某一指定的特征长度。 §6.8 库塔儒柯夫斯基定理一.库塔儒柯夫斯基定理：在定常不可压平面势流中，作用在任意形状物体上的升力和阻力分别为： 证明如下： 如图，坐标原点位于物体剖面上，设物体周线以外无奇点。作一个任意半径的圆周l 将物体周线包围在内，则复速度在圆外处处解析（可展开为罗朗级数）,在无限远处流

25、体的流速为V，则有：lLy0x即复速度在无限远点解析。函数在无限远点解析时其罗朗级数只有负整数幂的项，故复速度可展开为：A0和A1的确定：对照以上两式可得： 因流体不可压缩，通过包围物体的任意周线l的体积流量为零。故有： 根据留数定理： 将上式代入Blasius公式便可计算出共轭作用力： 根据留数定理其积分结果为： 这就是库塔儒柯夫斯基定理。二.决定环量的后缘条件：如图所示，只有图（b）所示的流谱是符合实际的。也就是说，尖后缘的机翼剖面的后驻点必然在后缘上（或者说，在机翼剖面的后缘，上、下翼面的压力相等），这个条件称为库塔儒柯夫斯基条件。三.机翼绕流环量形成的物理过程：下面分析在静止流场中的机

26、翼从静止加速到0的过程中，环量产生的机理：启动前流体周线上G 0，且始终为零。 突然启动，速度很快达V0，此时流动处处无旋,绕翼型G 0。 流体绕过后缘尖点T流向翼背。 处速度为零，压力很高。流体从流向遇到很大逆压梯度，使边界层发生分离，形成反时针旋涡，即启动涡。起动涡流向下游，由汤姆逊定理知必产生一等值反向的涡（附作涡）。由于G附着的作用，驻点向后缘尖点T移动。在到达T点之前，不断有启动涡流向下游，也不断增大，B不断向T点推移，直至到达T点为止。机翼以速度继续前进，后缘不再有涡脱落，也不再变化。只与翼面的几何形状及的大小与方向有关。最终，翼型上、下两股流体在后缘T处汇合，流向下游。翼剖面上、

27、下两股流体将在翼剖面的后缘处汇合，形成如下流动图案： 翼型的上表面流线较密，速度大。 翼型的下表面流线稀，压力大。机翼升力的一部分是由流过上表面的空气把机翼吸起来。并且上表面产生的负压对全部升力的贡献大于下表面的贡献。吸力压力 压力系数分布曲线 例6.用Blasius作用力公式求有环量圆柱绕流的作用力。解：流场的复势及其导数： 受力： 由留数定理： 其中 这个结果与前面§6.6 的结果完全相同。例7. 已知流函数： 求： ）驻点位置； ）绕物体的环量； ）无穷远处的速度； ）作用在物体上的力。解： ）驻点位置(先求速度场)： 令，则零流线为 r = 5 的圆柱即为物面。在物面上，时，

28、V，所以： 令，有： 即驻点位置为： ）求环量：）求速度：）求合力：若kg，则：rVG 6.28×10 ， R0。§6.10 映 像 法这里研究奇点（点源（点汇）、偶极子、点涡等）周围存在固壁的流动。 Cl s´ s 如图，Cl为固壁，在域内有一组奇点S，如果在外放置一组镜像奇点S´，这两组奇点构成的流场中有一条流线与Cl重合。一.平壁面映像：例8.强度为Q的点源位于壁面右侧(2，0)点。求沿壁面速度分布。Q(2,0)壁面物理流动 QQ(2,0)(-2,0)xyo数学模型解：无界流点源复势： 映像点源复势： 流场： 例9. y =0 是一无限长固壁，在

29、y = h 处有一强度为G的点涡。求固壁 y = 0 上的速度。解： hGyx-G令 y = 0 ，得固壁面上的流速分布： 例如：Gyxz0=x0+iy0-GG-G例如： yxV¥z0=x0 +iy0R二.圆柱壁面的映像：例10.半径R的圆柱外z0处有一强度为Q的点源。 求：流场的复势。解：z0点源无界流复势为： 也就是说W（z）由3个奇点的复势组成：位于z的点源、位于z* 的等强度点源和位于圆心的点汇。 xyo-QQQ§§6.13 附加质量一.基本概念：物体在无界流体内的运动可分为两大类：1.匀速直线运动：坐标系固结于物体上仍为惯性系，为均匀来流绕物体的定常流动

30、。 可由前面介绍的方法求压力分布、合力、力矩等。2.非匀速直线运动：坐标系固结于物体上为非惯性系，为非定常流动问题。 不能采用前面介绍的方法求出压力分布、合力等。本节讨论无界流场中物体作非匀速直线运动的情形：无界流场中的非定常运动物体质量为m，物面为S。V(t)mstå如图，取半径非常大的球面, 内流体以加速度a运动。 物体运动使周围流体微团亦产生了大小和方向不同的加速度。 因此，推动物体的作用力不仅必须为增加物体的动能而作功，而且还要为增加周围流体的动能而作功。所以，外力将大于m。 称为附加质量（或称附连质量）。 F即为附加惯性力。 附加惯性力：物体加速周围流体质点时受到周围流体质点的作用力。由上面知I的方向与加速度方向相反。当0时I，即物体加速度运动时，I为阻力；当0时，I0，即物体减速时，I为推力。由于附加惯性力的作用，物体在理想流体中的变速运动相当于物体自身质量上增加了一个附加质量而在真空中运动。换句话说，理想流体增大了物体的惯性，使物体既难加速也难减速。 二.附加质量的计算：内流体动能： 对于在区域及外边界和内边界上所定义的单值连续函数P, Q, R ,由高斯定理：将上式用于流体动能表达式可得：由方向导数定义知： 式中等号右边第一项可略去不计。