直线圆锥曲线与向量的综合问题.

1、直线圆锥曲线与向量的综合问题高考考什么知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的情况直线： ax byc 0BxC 0 (或 A' y2B' y C' 0)曲线： f (x, y)Ax 20（ 1）没有公共点方程组无解（ 2）一个公共点i) 相交A0ii ) 相切A0 ,0（ 3）两个公共点A 0,02连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：21AB1 k x1x21k 2 y1y23以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4. 几何与向量综合时可能出现的向量内容（1） 给出直线的

2、方向向量或；（2）给出与相交 , 等于已知过的中点 ;（3）给出, 等于已知是的中点 ;（4）给出, 等于已知 A、 B与 PQ的中点三点共线 ;（5） 给出以下情形之一： ；存在实数； 若存在实数, 等于已知三点共线 .（6） 给出（7） 给出于已知是钝角 ,给出，等于已知, 等于已知是的定比分点，为定比，即,即是直角,给出, 等于已知是锐角。, 等（8）给出, 等于已知是的平分线。（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形 ;（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形 ;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在中

3、，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（ 13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（ 14）在中，给出等于已知通过的内心；（ 15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在中，给出, 等于已知是中边的中线 ;高考怎么考主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（ 1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（ 2）考查学生把向量作

4、为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。高考真题1. 2012 ·上海卷 若 n(2,1)是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为 _(结果用反三角函数值表示 )arctan2 解析 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率由已知可得直线的斜率k× 1 1，k 2， ktan，所以直线的倾斜角 arctan2. 22.2012 重·庆卷 如图 1 3，设椭圆的中心为原点O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左、右焦点分别为F 1，F 2

5、，线段 OF1， OF2 的中点分别为 B1， B2，且 AB1B2 是面积为 4 的直角三角形图 13(1) 求该椭圆的离心率和标准方程；(2) 过 B1 作直线 l 交椭圆于 P， Q 两点，使 PB 2 QB2，求直线 l 的方程解： (1) 设所求椭圆的标准方程为x2y2a2 b2 1(ab 0)，右焦点为 F 2(c,0)c因AB12 是直角三角形，又 |AB1212 为直角，因此 |OA | |OB 22 a2 b2B| |AB |，故B AB|，得 b 2.结合 c2222222c2得 4b a b ，故 a 5b ， c 4b，所以离心率e a5 5.在 RtAB1B2 中，

6、OAB1B2，故SAB1B2 1·|B1B2| |OA|· |OB2| |OA|· c·b b2.22由题设条件 SAB12 4，得 b2 4，从而 a2 5b2 20.B因此所求椭圆的标准方程为：22x y 1.204(2) 由 (1)知 B1 ( 2,0)，B2(2,0)由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为： x my 2.代入椭圆方程得 (m25)y2 4my 160.设 P(x1， y12， y21， y2 是上面方程的两根，因此)、Q(x) ，则 yy1 y24m ， y1216 ，m2 5·ym2 5又B2P (x

7、1 2， y1)， B2Q (x2 2， y2)，所以 (x1 2)(x2 2) y1 222QB P·By ( my1 4)(my2 4) y1y2 ( m2 1)y1y24m(y1 y2) 162216 m 1 16m2162m 5m 516m2 64，m2 5264 0，解得 m ±2.由 PB2QB 2，得 B2P·B2 Q 0，即 16m所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x 2y 2 0 和 x 2y 20.3 2012 湖·北卷 设 A 是单位圆 x2 y2 1 上的任意一点， l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与 x

8、轴的交点，点M 在直线 l 上，且满足 |DM | m|DA|(m>0，且 m 1)当点 A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线 C.(1) 求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2) 过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于 P， Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H .是否存在 m，使得对任意的 k>0 ，都有 PQPH？若存在， 求 m 的值；若不存在，请说明理由解： (1) 如图 (1) ，设 M(x， y)， A(x0， y0)，则由 |DM | m|DA |(m 0，且 m 1)，可得 x

9、 x0， |y| m|y0 |，所以 x0 x， |y0| 1 |y|.因为点 A 在单位圆上运动，所以x02 y02 1.m将式代入式即得所求曲线2 y2C 的方程为 x m 1(m0，且 m 1)2因为 m(0,1) (1， )，所以当 0 m 1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为( 1 m2， 0)， (1 m2，0) ；当 m 1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，m2 1)， (0，m2 1)(2) 方法 1：如图 (2) 、 (3)，对任意的k0，设 P(x1， kx12， y21， kx11)， H (x)，则 Q( x)， N

10、(0， kx )，直线 QN 的方程为 y2kx kx1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m2 4k2)x2 4k21212 m2 0.x x k x依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由韦达定理可得x1x2 4k2x1，即 x2m2x12.因为点 H 在直线 QN 上，所以 y2 kx1 2kx22km2x1 .22m24km2 4k2m 4k于是 PQ ( 2x1， 2kx1 )，4k2x12km2x1 22，2 .PH (x2 x1， y2 kx1)2m 4km4k 4 2 m2 k2x122，而 PQPH 等价于 PQ·PH 0，即 2m2 0，又 m 0，得 mm2

11、4k222y故存在 m 2，使得在其对应的椭圆x 2 1 上，对任意的k 0，都有 PQPH .方法 2：如图 (2) 、(3) ，对任意x1(0,1)，设 P(x1， y1)，H (x2， y2)，则 Q( x1 ， y1)， N(0， y1)2222，因为 P，H 两点在椭圆 C 上，所以m x1y1m12 y22两式相减可得 m2 12 x22m2x22 y22 m2，(x)( y) 0.依题意，由点 P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P， H 不重合，故( x1 x2)(x1 x2 ) 0.于是由式可得y1 y2 y1 y2 m2.又 Q， N， H 三点共线，所以kQN kQ

12、H，即2y1y1 y2x1 x2 x1 x2.x1x1 x2于是由式可得kPQ·kPH y1 y1 y21 y1 y2 y1 y2m2· ·2.x1 x1 x22 x1 x2 x1 x222，而 PQPH 等价于 kPQ PH 1，即 m 1，又 m0，得 m·k222y故存在 m 2，使得在其对应的椭圆x 2 1 上，对任意的k 0，都有 PQPH .24 大纲文数2011 ·全国卷 已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C： x2y 1 在 y 轴正半轴上的焦点，过F 且2图 14 斜率为 2的直线 l 与 C 交于 A、 B 两点，点 P

13、满足 OA OB OP0.(1) 证明：点 P在C上；(2) 设点 P 关于点 O 的对称点为Q，证明： A、 P、B、 Q 四点在同一圆上【解答】(1)证明： F(0,1)， l 的方程为 y2x 1，代入 x2y21 并化简得4x2 2 2x 1 0.2设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，P(x3， y3 )，则 x 2 6， x 2 6，1424x1 x22， y1 y22(x1 x2) 2 1，22由题意得x3 ( x1 x2) 2 ， y3 ( y1 y2) 1.所以点 P 的坐标为 2，1 .222， 1满足方程 x2 y经验证，点 P 的坐标 1，故点 P 在椭圆 C 上

14、22(2) 证明：由 P 2，1和题设知 Q2， 1 ，PQ 的垂直平分线l的方程为 y22212 x.设 AB 的中点为 M，则 M2 ，1， AB 的垂直平分线l 2 的方程为 y2x1.4224由、得 l 1、 l 2 的交点为 N 2， 1.88|NP| 22 2 112 311，2888|AB|1 22 ·|x2 x1|32，23 2|AM| 4 ，|MN|22 211233，82884|NA|AM|2 |MN |2 311，8故|NP| |NA|.又|NP| |NQ|， |NA| |NB|，所以 |NA| |NP| |NB| |NQ|，由此知 A、 P、 B、 Q 四点在

15、以 N 为圆心， NA 为半径的圆上x2y215 2012 ·福建卷 如图椭圆E： a2b2 1(a b 0)的左焦点为F1 ，右焦点为F2，离心率e2，过 F1的直线交椭圆于A、 B 两点，且 ABF 2 的周长为8.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 设动直线 l： y kxm 与椭圆平面内是否存在定点 M，使得以E 有且只有一个公共点 PQ 为直径的圆恒过点P，且与直线 x 4 相交于点 Q.试探究：在坐标M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由解： 解法一：(1) 因为 |AB | |AF 2| |BF 2| 8，即 |AF 1| |F1B| |AF 2| |BF2

16、 |8，又 |AF 1| |AF 2| |BF1 | |BF 2| 2a，所以 4a 8， a 2.又因为 e 12，即 ca 12，所以 c 1，所以 ba2 c23.22故椭圆 E 的方程是 x4 y3 1.ykx m，得 (4k2 3)x2 8kmx 4m212 0.(2) 由 x2y24 3 1，因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点P(x0， y0且0，)，所以 m 0即 64k2m2 4(4k2 3)(4m2 12) 0，化简得 4k2 m2 3 0.(*)此时 x0 4km 4k， y0 kx0 m 3，所以 P 4k， 3 .由x 4，得 Q(4,4k m)4k2 3m

17、mm my kxm假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在 x 轴上设 M(x1, 0 对满足 (*) 式的 m、 k 恒成立0)，则 MP ·MQ4k3因为 MP x1， MQ (4 x1,4km)，mm12k 3 0， 由MP ·MQ 0，得 16k 4kx1 4x1 x12kmmm2整理，得 (4x1 4)m x1 4x1 3 0.(*) 由于 (*) 式对满足 (*) 式的 m，k 恒成立，4x1 4 0，解得 x1 1.故存在定点 M(1,0) ，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.所以x12 4x1 3 0，解法二： (1)同解法一ykx m，

18、得 (4k2 3)x2 8kmx 4m212 0.(2) 由 x2y24 3 1，因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点P(x0， y0)，所以 m 0 且 0，即 64k2m2 4(4k2 3)(4m2 12) 0，化简得 4k2 m2 3 0.(*)此时 x0 4km 4k， y0 kx0 m3，所以 P 4k， 3x 4，.由4k2 3mmm my kxm，得 Q(4,4km)假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在 x 轴上取 k 0， m 3，此时 P(0， 3)， Q(4， 3)，以 PQ 为直径的圆为 (x 2)2 (y3)2 4，1交 x 轴于点 M

19、 1(1,0)， M2(3,0)；取 k 2， m 2，35 23 245此时 P 1， 2 ， Q(4,0)，以 PQ 为直径的圆为x 2 y 4 16，交 x 轴于点 M 3(1,0)， M4(4,0)所以若符合条件的点M 存在，则 M 的坐标必为 (1,0) 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点：4k3因为 M 的坐标为(1,0)，所以 MP m 1， m ， MQ (3,4k m) ， 12k12k30，从而 MP·MQ 3mm M(1,0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.故恒有 MPMQ ，即存在定点突破重难点例1过点 ( ,y) 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正

20、半轴交于A,B两点，点与点关于y轴对称，OP xQP为坐标原点，若 BP2PA 且OQAB1D），则点 P 的轨迹方程是（A 3x23 y21(x0, y0)B 3x23 y21(x0, y0)C 3 x223 x223y 21(x0, y0)D3 y21(x0, y0)222x2例 2 已知椭圆C1： y 1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与C1 有相同的离心率(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点，求直线 AB 的方程A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， OB 2OA22解： (1)由已知可设椭圆C2的方程为 y2x 1(a>2)，a43a2 43y2

21、x2其离心率为 2 ，故a2 ，则 a 4，故椭圆C2 的方程为 1641.(2) 解法一： A，B 两点的坐标分别记为 (xA， yA)，( xB， yB)，A， B 不在 y 轴上，因此可设直线AB 的方程为 y kx.由OB 2OA及 (1)知， O， A，B 三点共线且点将 y kx 代入 x2y21 中，得 (1 4k2)x2 4，所以 xA24，41 4k22 2将 y kx 代入 16y x4 1 中，得 (4 k2)x2 16，21622所以 xB2，又由 OB 2OA，得 xB 4xA，4 k即1616，4 k214k2解得 k ±1，故直线 AB 的方程为 y x

22、 或 y x.解法二： A， B 两点的坐标分别记为 (xA， yA)， (xB， yB)，三点共线且点 A， B 不在 y 轴上，因此可设直线AB 的方程为 y kx.由OB 2OA及 (1)知， O， A，B2将 y kx 代入 x4 y21 中，得 (1 4k2)x2 4，24所以 xA1 4k2，由 OB 2OA，2得 xB216， yB216k，1 4k21 4k22224 k22yx22将 xB，yB代入1641中，得1 4k2 1，即 4 k 14k，解得k ±1，故直线AB 的方程为y x 或y x.例 3. 在平面直角坐标系x O y 中，直线l与抛物线y2 2x相

23、交于A、 B 两点（ 1）求证：“如果直线 l 过点 T（ 3， 0），那么 OA OB 3”是真命题；（ 2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 解 （ 1）设过点 T(3,0)21122的直线 l 交抛物线 y=2x 于点 A( x, y ) 、B( x , y ).当直线 l的钭率不存在时, 直线 l 的方程为 x=3, 此时 , 直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6)、B(3, 6). OA OB =3；0 ，当直线 l的钭率存在时 , 设直线 l 的方程为 yk( x 3) ，其中 k由 y22x得 ky 2 2 y 6k 0 y1 y26y k(

24、x 3)又 x1 1 y12 , x21 y2 2 ，221 ( y y ) 2 OA OB x x2y yy y 3 ，11241212综上所述，命题“如果直线l 过点 T(3,0)，那么 OA OB =3”是真命题；(2) 逆命题是：设直线l交抛物线 y2=2x 于 A、 B 两点 , 如果 OA OB =3, 那么该直线过点T(3,0). 该命题是假命题 .例如：取抛物线上的点A(2,2) ，B(1，此时 OA OB =3, 直线AB的方程为：2(x1)，而 T(3,0),1)y 3不在直线 AB上；2OA OB说明：由抛物线yx上的点 A (x1,y 1) 、 B (x 2,y 2)

25、满足=3，2=2可得 yy= 6，或 y y =2，如果 y y = 6，可证得直线AB 过点 (3,0) ；如果 y y =2，12121212可证得直线 AB 过点 ( 1,0),而不过点 (3,0).例 4 已知 A,B 为抛物线 x2=2py( p>0) 上异于原点的两点，OAOB 0，点 C坐标为（ 0， 2p）（1）求证： A,B,C 三点共线；（2）若 AM BM （R）且 OMAB 0 试求点 M的轨迹方程。（ 1）证明：设 A(x1, x12 ), B( x2, x2 2 ) ，2 p2 p由OAOB0 得 x1x2x12 x2 20,x1 x24 p2 ，2p 2 p

26、又AC ( x1,2 px12 ), AB (x2x1 , x22x12 )2 p2 px1x22x12(2 p x12 ) ( x2x1 ) 0，2p2pAC / AB ，即 A,B,C 三点共线。OMAB 0AMBMOMABM（2）由（1）知直线ABC及（R ）知过定点，又由，垂足为，所以点 M的轨迹为以 OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+( y-p ) 2=p2( x 0，y 0) 。x2y21(a,b0) 的两个焦点F、F，点 P在椭圆 C上，且 PFF F， | PF|=414例5椭圆，| PF|=.a2b2121121233（I）求椭圆 C的方程；（II）若直线

27、 l 过圆 x2+y2+4x-2 y=0 的圆心 M交椭圆于 A、 B 两点，且 A、 B 关于点 M对称，求直线l 的方程。解法一： ( ) 因为点P 在椭圆 C上，所以2aPF1PF26 ， a=3.在 Rt PFF 中， F FPF2PF225, 故椭圆的半焦距c=5,121221222所以椭圆C的方程为x 2y2从而 b=a c =4,9 1.( ) 设 A，B 的坐标分别为（ xy4, y ）、（ x ,）.1122由圆的方程为（2 1)2所以圆心的坐标为（ 2，1）.从而可设直线l的方程为= (x+2)+1,+2）+(=5,xyMy k代入椭圆 C的方程得（ 4+9k2） x2+(

28、36 k2+18k) x+36k2+36k27=0.因为 A， B关于点 M对称 .所以 x1x218k 29k2.8249k2，解得 k9所以直线 l的方程为 y8 (x2)1,即 8x-9 y+25=0.(经检验，符合题意)9解法二： ( ) 同解法一 .22( ) 已知圆的方程为（所以圆心 M的坐标为（2，1） .x+2） +( y 1) =5,设 A，B的坐标分别为（ x1, y1） ,(x2, y2).由题意 x1x2 且x1 2y121,x2 2y2 21, 9494由得(x1x2 )( x1x2 ) ( y1 y2 )( y1y2 )0.94因为 A、 B关于点 M对称，所以 x

29、 + x = 4, y + y =2,1212代入得 y1y2 8 ，即直线 l 的斜率为8 ，x1x299所以直线 l 的方程为 y 1 8 （ x+2），9即 8 9 +25=0.( 经检验，所求直线方程符合题意.)xy例 6 设 F1、 F2 分别是椭圆 x2y 21的左、右焦点 .4（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2 的最大值和最小值 ;（）设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点A、B，且 AOB为锐角（其中 O为坐标原点） ，求直线 l的斜率 k 的取值范围 .解：（）解法一：易知 a2,b1, c3，所以 F13,0, F23,0，设 Px, y，则 PF1 PF23